1、1中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。2、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。3、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。四、教学程序及设想1、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明
2、将纸片ABC（ABAC ）沿过 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD,展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF,展开纸片后得到 AEF（如图 1）。小明认为 AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。引出课题。2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片 ABCD 折叠，使得 D 点与B 重合，点 C 落在点 C处， 折痕为 EF，如果ABE20，则EFC （ ）A. 125 B. 80 C. 75 D. 无法确定2评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一
3、些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90、对边互相平行等。体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。1、如图所示，把一张长方形纸条 ABCD 沿 AF 折叠，已知ADB=20，那么，BAF 为多少度时，才能使ABBD ？（BAF 55）利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。若条件中没有任何一个角的度数已知时，该怎样思考？2、如图，四边形 ABCD 是一张矩形纸片，AD=2AB，沿过点 D 的折痕，将 A 角翻折，使 A 落在 BC 边上的 A1 处，则 E A1B= （本题
4、和上题的区别在于条件中没有任何一个角的度数是已知的，要把线段之间的关系转化角的度数，然后求得未知角的度数。在难度上有所加深，其目的在于培养学生综合运用所学数学知识解决问题的能力。）利用折叠的性质，除了可以求角的度数之外，还可以求线段的长度引出。归类二：求线段的长度例 2、如图在长方形 ABCD 中，AB=8,BC=10,经折叠，A 点落在 BC 边的 F 点处，折痕 DE 与 AB 的交点是 E，求EF 的长。解：连接 DF，设 AEX根据题意，AE EFX，DFAD BC10所以根据勾股定理得 CF6所以 BF1064因为 BE8X3所以根据勾股定理得：(8 X)24 2X 2所以6416X
5、160解得X5所以 EF 的长是 5（这道题基础性强，且有一定的综合性，有利于培养学生综合运用所学知识解决问题的能力。同时对应的练习题的设置，在上题的基础上综合性又有所提升，既巩固了基础知识又提升了学生综合运用数学知识解决问题的能力。同时又为综合运用做好了知识和技能的准备。）本题把折叠问题转化成轴对称问题，对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点即可得到相等的线段利用勾股定理求出未知线段体验感悟：1、将矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠，使 D 点与 BC 边的中点 D重合，若 BC = 8，CD = 9，则 EF = .2、已知矩形纸片 ABCD，AB=2 ，AD=1，将纸片折叠，使顶点
6、A 与边CD 上的点 E 重合。(1)如果折痕 FG 分别与 AD、AB 交与点 F、G(如图 1)，求 DE 的长；(2)如果折痕 FG 分别与 CD、AB 交与点 F、 G(如图 2)，AED 的外接圆与直线 BC 相切，求折痕 FG 的长。4（图中 FG 是折痕，点 A 与点 E 重合，根据折叠的对称性 ,已知线段AF 的长,可得到线段 EF 的长，从而将求线段的长转化到求 RtDEF 的一条直角边 DE. 图中，连结对应点 A、E，则折痕 FG 垂直平分 AE，取 AD 的中点 M，连结 MO，则 MO=DE，且 MOCD，又 AE 为 RtAED 的外接圆的直径，则 O 为圆心，延长
7、 MO 交 BC 于 N，则 ONBC，MN=AB,又 RtAED 的外接圆与直线 BC 相切，所以 ON 是 RtAED 的外接圆的半径，即ON=AE，根据勾股定理可求出 DE= ，OE= . 通过 RtFEO Rt AED，求得 FO= ，从而求出 EF 的长。 ）对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理。归类三：综合运用1、将边长 OA=8，OC=10 的矩形 OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点 C、A 分别在 X 轴和
8、 Y 轴上。在 OA、OC 边上选取适当的点 E、 F，连接 EF，将 EOF 沿 EF 折叠，使点 O 落在 AB 边上的点 D 处。图 图 图(1)如图，当点 F 与点 C 重合时，OE 的长度为 ；(2)如图，当点 F 与点 C 不重合时，过点 D 作 DGy 轴交 EF 于点 T，交 OC于点 G。求证：EO=DT；(3)在(2)的条件下，设 ()Txy，写出 y与 x之间的函数关系式为 ，自变量 x的取值范围是 ；(4)如图，将矩形 OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且 OC=10，OC 边上的高等于 8，点 F 与点 C 不重合，过点 D 作 DGy 轴交 EF 于点
9、 T，交 OC 于点 G，求出这时的 坐标 y与 x之间的函数关系式（不求自变量 x的取值范围） 。(1)5xyTGFE COBA DyxE BAC(F)ODxyGT FE BACOD()Txy，5(2)证明： EDF 是由 EFO 折叠得到的，1=2又 DG y 轴，1=32=3 DE=DT DE=EO， EO=DT (3) 4162xy (4)解：连接 OT，由折叠性质可得 OT=DT DG=8， TG=y， OT=DT=8-y DG y 轴， DG x 轴在 Rt OTG 中， 22TGO, 22)8(yx 4162xy 根据轴对称的性质：折叠部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的
10、对称轴，对称线段所在的夹角相等，在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形锐角三角函数解折叠题，可以使解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁。体验感悟：将平行四边形纸片 ABCD，按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落在 D处，折痕为 EF，（1）求证：BAE=DAF（2）求证：ABEADF（3）连接 CF，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形，证明你的结论。（通过写出分析过程，整理解题思路，根据分析过程，写出证明过程。整个解题过程可以简单概括为：读信息、定方法、找条件、理思路、写解题过程五步。使学生有章可循，从而避免学生手足无措，无处下手的现象发生。）五、
11、课堂小结解决折叠问题，要认真审题，弄清那些是翻折部分，哪些是翻折后重叠部分，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系，充分挖掘图形中的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，并迅速求解。xy 321GTE BAC(F)ODxy 12 TGFECOBA D6六、板书设计课后检测：一、 折叠后求角度1、把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 对折，使C、D 点分别落在 C1、D1 的位置上， EC1 交 AD 于 G，已知EFG=58，那么BEG= 。2、把一张长方形纸片 ABCD 按如图方式折叠，EM、FM 为折痕，折叠后的 B 点、C 点落在 BM 或 BM的延长
12、线上，那么EMF 的度数是（ ）。A 85 B 90 C 95 D 1003、如图 Rt ABC 中，B=90，AB=3cm，AC=5cm，将ABC 折叠，使点 C 与点 A 重合，得折痕 DE，则ABE 的周长为 。二、 折叠后求点的坐标4、 如图，在直角坐标系中放入一边长 OC 为 6 的矩形纸片 ABCO，将纸翻折后，使点 B 恰好落在 x 轴上，记为 B，折痕为 CE，已知tanOBC=34。（1）求出 B点的坐标；（2）求折痕 CE 所在直线的解析式。（3）作 BGAB 交 CE 于 G，已知抛物线 y= 通过 G 点，以 O 为圆心 OG 的长为半径的圆与抛物线是否还有除 G 点以外的交点？若有，请找出这个交点坐标。（一）折叠的性质：折叠图形中折叠部分在折叠前后1、对应角相等2、对应线段相等（二）运用：1、求角的度数；2、求线段的长度3、综合运用
