1、第 1 页 共 50 页2012 年全国中考数学试题分类解析汇编(159 套 63 专题）专题 31：折叠问题一、选择题1. （2012 广东梅州 3 分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上，将ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A重合，若A=75，则1+2=【 】A150 B210 C105 D75【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。【分析】ADE 是ABC 翻折变换而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75。AED+ADE=AED+ADE=18075=105，1+2=3602105=150。故选 A。2.
2、（2012 江苏南京 2 分）如图，菱形纸片 ABCD 中，A=60 0，将纸片折叠，点 A、D 分别落在 A、D处，且 AD经过 B，EF 为折痕，当 DFCD 时， CF的值为【 】A. 312B. 36C. 2316D. 318【答案】A。第 2 页 共 50 页【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】延长 DC 与 AD，交于点 M，在菱形纸片 ABCD 中，A=60，DCB=A=60，ABCD。D=180-A=120。根据折叠的性质，可得ADF=D=120，FDM=180-ADF=60。DFCD，DFM=90，M
3、=90-FDM=30。BCM=180-BCD=120，CBM=180-BCM-M=30。CBM=M。BC=CM。设 CF=x，DF=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y，在 RtDFM 中，tanM=tan30= DF y3M2x， -1xy2。 CF x3-1Dy2。故选 A。3. （2012 江苏连云港 3 分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5角的正切值是【
4、 】A 31 B 21 C2.5 D 5【答案】B。【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，第 3 页 共 50 页ABBE，AEBEAB45，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，AEEF，EAFEFA045222.5。FAB67.5。设 ABx，则 AEEF x，an67.5tanFABt FB+21A。故选 B。4. （2012 广东河 源 3 分）如图，在折纸活动中，小明制作
5、了一张ABC 纸片，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，将ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A重合若A75，则12【 】A150 B210 C105 D75【答案】A。【考点】折叠的性质，平角的定义，多边形内角和定理。【分析】根据折叠对称的性质，AA75。根据平角的定义和多边形内角和定理，得12180 0ADA180 0AEA360 0（ADAAEA）AA150 0。故选 A。5. （2012 福建南平 4 分）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD上，将 AB、AD 分别和 AE、AF 折叠，点 B、D 恰好都将在点 G 处，已知 BE=1，则 EF
6、 的长为【 】第 4 页 共 50 页A 32 B 5 C 94 D3 【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。【分析】正方形纸片 ABCD 的边长为 3，C=90，BC=CD=3。根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。设 DF=x，则 EF=EGGF=1x，FC=DCDF=3x，EC=BCBE=31=2。在 RtEFC 中，EF 2=EC2FC 2，即（x1） 2=22（3x） 2，解得： 3x2。DF= 3 ，EF=1 5=。故选 B。6. （2012 湖北武汉 3 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将矩形 ABCD 沿直线
7、 DE折叠，点 A恰好落在边 BC 的点 F 处若 AE5，BF3，则 CD 的长是【 】A7 B8 C9 D10【答案】C。【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】根据折叠的性质，EF=AE5；根据矩形的性质，B=90 0。在 RtBEF 中，B=90 0，EF5，BF3，根据勾股定理，得22BEF54。CD=AB=AEBE=54=9。故选 C。7. （2012 湖北 黄石 3 分）如图所示，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8 cm，现将其沿 EF对折，使得第 5 页 共 50 页点 C 与点 A 重合，则 AF 长为【 】A. 25cm8 B. 25cm4 C. 25
8、cm D. 8cm 【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠对称的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】设 AF=xcm，则 DF=（8-x）cm，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合，DF=DF，在 RtADF 中，AF 2=AD 2DF 2，即 x2=62（8x） 2，解得：x= 25cm4。故选 B。8. （2012 湖北荆门 3 分）如图，已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 ，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，则图中阴影部分的周长为【 】A 8 B 4 C 8 D 6【答案】C。【考点】翻折变换（折叠问题）
9、 ，折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。【分析】如图，正方形 ABCD 的对角线长为 2 ，即 BD=2 2，A=90，AB=AD，ABD=45，AB=BDcosABD=BDcos45=2 =2。AB=BC=CD=AD=2。由折叠的性质：AM=AM，DN=DN，AD=AD，第 6 页 共 50 页图中阴影部分的周长为AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。故选 C。9. （2012 四川内江 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5 点 E、F 分别在 AB、CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折
10、叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1、D 1处，则阴影部分图形的周长为【 】A.15 B.20 C.25 D.30【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题） ，矩形和折叠的性质。【分析】根据矩形和折叠的性质，得 A1E=AE，A 1D1=AD，D 1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为 2（10+5）=30。故选 D。10. （2012 四川资阳 3 分）如图，在ABC 中，C90，将ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，已知 MNAB，MC6，NC 23，则四边形 MABN 的面积是【 】A 63 B 123 C 183 D 24
11、3【答案】C。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，相似三角形的判定和性质，【分析】连接 CD，交 MN 于 E，将ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，MNCD，且 CE=DE。CD=2CE。第 7 页 共 50 页MNAB，CDAB。CMNCAB。2CMNABSE1D4。在CMN 中，C=90，MC=6，NC= 23 ，CMN11S 62 32 ABCMN4S 4 3 。 ABC2 6 18 3四边 。故选 C。11. （2012 贵州黔东南 4 分）如图，矩形 ABCD 边 AD 沿拆痕 AE 折叠，使点 D 落在 BC 上的F 处，已知 AB
12、=6，ABF 的面积是 24，则 FC 等于【 】A1 B2 C3 D4【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】由四边形 ABCD 是矩形与 AB=6，ABF 的面积是 24，易求得 BF 的长，然后由勾股定理，求得 AF 的长，根据折叠的性质，即可求得 AD，BC 的长，从而求得答案：四边形 ABCD 是矩形，B=90，AD=BC。AB=6，S ABF = 12ABBF= 6BF=24。BF=8。 2AFB6810。由折叠的性质：AD=AF=10，BC=AD=10。FC=BCBF=108=2。故选 B。12. （2012 贵州遵义 3 分）如图，
13、矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1，FD=2，则 BC 的长为【 】A 32 B 6 C 25 D 23第 8 页 共 50 页【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题） ，矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点 E 作 EMBC 于 M，交 BF 于 N。四边形 ABCD 是矩形，A=ABC=90，AD=BC，EMB=90，四边形 ABME 是矩形。AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，EGN=A=90，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS） 。N
14、G=NM。E 是 AD 的中点，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM= 12CF= 。NG= 12。BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3 5。BF=2BN=5 22BCF516。故选 B。13. （2012 山东泰安 3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点重合，若 AB=2，BC=3，则FCB与BDG 的面积之比为【 】A9：4 B3：2 C4：3 D16：9【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】设 BF=x，则由 BC=3
15、得：CF=3x，由折叠对称的性质得：BF=x。点 B为 CD 的中点，AB=DC=2，BC=1。在 RtBCF 中，BF 2=BC 2+CF2，即 2x1(3)，解得： 5x3，即可得CF= 543。DBG=DGB=90，DBG+CBF=90，DGB=CBF。RtDBGRtCFB。第 9 页 共 50 页根据面积比等于相似比的平方可得： 2PCBDGSF416()39。故选 D。14. （2012 山东潍坊 3 分）已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将 ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=
16、【 】 A 512 B 5+12 C . 3 D2【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，相似多边形的性质。【分析】矩形 ABCD 中，AF 由 AB 折叠而得，ABEF 是正方形。又AB=1，AF= AB=EF=1。设 AD=x，则 FD=x1。四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， EFADB，即 1x。解得 15 x=2， 5x2（负值舍去） 。经检验 是原方程的解。故选 B。15. （2012 广西河池 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 MN，连结 CN若CDN 的
17、面积与CMN 的面积比为 14，则 MNB的值为【 】A2 B4 C 25D 26【答案】D。第 10 页 共 50 页【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点 N 作 NGBC 于 G，由四边形 ABCD 是矩形，易得四边形 CDNG 是矩形，又由折叠的性质，可得四边形 AMCN 是菱形，由CDN 的面积与CMN 的面积比为 1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得 DN：CM=1：4，然后设 DN=x，由勾股定理可求得 MN的长，从而求得答案：过点 N 作 NGBC 于 G，四边形 ABCD 是矩形，四边形 CDNG 是矩形，AD
18、BC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折叠的性质可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四边形 AMCN 是平行四边形。AM=CM，四边形 AMCN 是菱形。CDN 的面积与CMN 的面积比为 1：4，DN：CM=1：4。设 DN=x，则 AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。在 RtCGN 中， 22NGCx15x，在 RtMNG 中， 2M3=6， 26x=B。故选 D。16. （2012 河北省 3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，A=70，将平行四边形折叠，使点 D、C 分别落在点 F、E 处（
19、点 F、E 都在 AB 所在的直线上） ，折痕为 MN，则AMF 等于【 】A70 B40 C30 D20【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题） ，平行四边形的性质，平行线的性质，平角的定义。【分析】四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD。第 11 页 共 50 页根据折叠的性质可得：MNAE，FMN=DMN，ABCDMN。A=70，FMN=DMN=A=70。AMF=180DMNFMN=1807070=40。故选 B。17. （2012 青海西宁 3 分）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段在折纸中，蕴涵许多数
20、学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想把一张直角三角形纸片按照图的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论【 】A角的平分线上的点到角的两边的距离相等B在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半C直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形【答案】C。【考点】翻折变换（折叠问题） 。【分析】如图，CDE 由ADE 翻折而成，AD=CD。如图，DCF 由DBF 翻折而成，BD=CD。AD=BD=CD，点 D 是 AB 的中点。CD= 12AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。故选 C。二、填空题第 12
21、 页 共 50 页1. （2012 上海市 4 分）如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=1，点 D 在 AC 上，将ADB 沿直线 BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处，如果 ADED，那么线段 DE 的长为 【答案】 31。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。【分析】在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=1， 0BC1A3tant。将ADB 沿直线 BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处，ADB=EDB，DE=AD。ADED，CDE=ADE=90，EDB=ADB=00369=1
22、352。CDB=EDBCDE=13590=45。C=90，CBD=CDB=45。CD=BC=1。DE=AD=ACCD= 31。2. （2012 浙江丽水、金华 4 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC，BAC50BAC的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则CEF 的度数是 【答案】50。第 13 页 共 50 页【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC40，以及OBCOCB40，再利用翻折变换的性质得出 EOEC，CEFFEO，进而求出即可：
23、连接 BO，ABAC，AO 是BAC 的平分线，AO 是 BC 的中垂线。BOCO。BAC50，BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，OABOAC25。等腰ABC 中， ABAC，BAC50，ABCACB65。OBC652540。OBCOCB40。点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，EOEC，CEFFEO。CEFFEO（180 0240 0）250。3. （2012 浙江绍兴 5 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将ABE 沿AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处，又将CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处则 B
24、C：AB 的值为 。【答案】 3。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】连接 CC，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处，又将CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处,EC=EC，ECC=ECC，DCC=ECC，ECC=DCC.CC是ECD 的平分线。第 14 页 共 50 页CBC=D=90，CC=CC，CBCCDC（AAS） 。CB=CD。又AB=AB，B是对角线 AC 中点，即 AC=2AB。ACB=30。tanACB=ta
25、n30= AB1C3。BC：AB= 3。4. （2012 浙江台州 5 分）如图，将正方形 ABCD 沿 BE 对折，使点 A 落在对角线 BD 上的A处，连接 AC，则BAC= 度【答案】67.5。【考点】折叠问题，折叠的对称性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平角定义。【分析】由折叠的对称和正方形的性质，知ABEABE，BEA=67.5 0，ADE 是等腰直角三角形。设 AE=AE=AD =x，则 ED= 2x。设 CD=y，则 BD= 2y。 ED2xBy=AC四。 EDB=AC。又EDA=ADC=45 0，EDAADC。D
26、AC=DEA=67.5 045 0=112.50。BAC=180 0112.5 0=67.50。5. （2012 江苏宿迁 3 分）如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C，D 分别落在点 C，D处，CE 交 AF 于点 G.若CEF=70，则GFD= .【答案】40。第 15 页 共 50 页【考点】折叠问题矩形的性质，平行的性质。【分析】根据折叠的性质，得DFE=DFE。ABCD 是矩形，ADBC。GFE=CEF=70，DFE=180 0CEF=110。GFD=DFEGFE=11070=40。6. （2012 江苏盐城 3 分）如图,在ABC 中，D,、E 分别是边 AB
27、、AC 的中点, B=50.现将ADE 沿DE 折叠，点 A 落在三角形所在平面内的点为 A1,则BDA 1的度数为 .【答案】80。【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠对称的性质，三角形中位线定理，平行的性质。【分析】D、E 分别是边 AB、AC 的中点，DEBC（三角形中位线定理） 。ADE=B=50（两直线平行，同位角相等） 。又ADE=A 1DE（折叠对称的性质） ，A 1DA=2B。BDA 1=1802B=80。7. （2012 江苏扬州 3 分）如图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，如果 AB2C，那么 tanDCF 的值是 【答案】 52。
28、【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】四边形 ABCD 是矩形，ABCD，D90，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，CFBC， AB2C3， D2F3。设 CD2x，CF3x，第 16 页 共 50 页 2DF=C5x。tanDCF DF5x=C2。8. （2012 湖北荆州 3 分）如图，已知正方形 ABCD 的对角线长为2 ，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，则图中阴影部分的周长为 【答案】8。【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。【分析】如图，正方形 AB
29、CD 的对角线长为 2 ，即 BD=2 2，A=90，AB=AD，ABD=45，AB=BDcosABD=BDcos45=2 =2。AB=BC=CD=AD=2。由折叠的性质：AM=AM，DN=DN，AD=AD，图中阴影部分的周长为AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。9. （2012 湖南岳阳 3 分）如图，在 RtABC 中，B=90，沿 AD 折叠，使点 B 落在斜边AC 上，若 AB=3，BC=4，则 BD= 【答案】 32。【考点】翻折变换（折叠问题） 。1052629【分析】如图，点 E 是沿 AD 折叠，点
30、 B 的对应点，连接 ED，AED=B=90，AE=AB=3，在 RtABC 中，B=90，AB=3，BC=4， 22AC=B+345。EC=ACAE=53=2。第 17 页 共 50 页设 BD=ED=x，则 CD=BCBD=4x，在 RtCDE 中，CD 2=EC2+ED2，即：（4x） 2=x2+4，解得：x= 32。BD= 。10. （2012 四川达州 3 分）将矩形纸片 ABCD，按如图所示的方式折叠，点 A、点 C 恰好落在对角线 BD上，得到菱形 BEDF.若 BC=6，则 AB 的长为 .【答案】 23。【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠的性质，菱形和矩形的性质，勾股定理。
31、【分析】设 BD 与 EF 交于点 O。四边形 BEDF 是菱形，OB=OD= 12BD。四边形 ABCD 是矩形，C=90。设 CD=x，根据折叠的性质得：OB=OD= CD=x，即 BD=2x，在 RtBCD 中，BC 2+CD2=BD2，即 62+x2=（2x） 2，解得：x= 3。AB=CD= 3。11. （2012 贵州黔西南 3 分）把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF，若 AB3cm，BC5cm，则重叠部分DEF 的面积为 cm 2。【答案】 510。【考点】折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】设 ED=x，则根
32、据折叠和矩形的性质，得 AE=AE=5x，AD=AB=3。根据勾股定理，得 22EDA，即 253，解得 17x5。第 18 页 共 50 页 DEF175S3=20（cm 2） 。12. （2012 河南省 5 分）如图，在 RtABC 中，C=90 0，B=30 0，BC=3，点 D 是 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合） ，过点 D 作 DEBC 交 AB 边于点 E，将B 沿直线 DE 翻折，点B 落在射线 BC 上的点 F 处，当AEF 为直角三角形时，BD 的长为 【答案】1 或 2。13. （2012 内蒙古包头 3 分）如图，将ABC 纸片的一角沿 DE 向下翻折，使点
33、A 落在 BC 边上的 A 点处，且 DEBC ，下列结论： AEDC； DE BC； BC= 2DE ； BD AE CA ESS四边 。其中正确结论的个数是 个。第 19 页 共 50 页【答案】4。【考点】折叠问题，折叠对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，三角形中位线定理，全等、相似三角形的判定和性质。【分析】DEBC，根据两直线平行，同位角相等，得AEDC。正确。根据折叠对称的性质，A D=AD，A E=AE。DEBC，根据两直线分线段成比例定理，得 ADE BC。 DE BC。正确。连接 A A ，根据折叠对称的性质，A ，A 关于 DE 对称。
34、A A DE。DEBC，A A BC。A D=AD，DA A D A A。DB A D A B。BD= A D。BD=AD。DE 是ABC 的中位线。BC= 2DE。正确。DEBC，ABCADE。由BC= 2DE， ADEBC1S4。根据折叠对称的性质，ADEADE。 ABCD E1SS2四边 。 BD AE CAB1S=2，即 B AD E四边 。正确。综上所述，正确结论的个数是 4 个。14. （2012 黑龙江绥化 3 分）长为 20，宽为 a 的矩形纸片（10a20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时
35、矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第 n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止当 n=3 时，a 的值为 .第 20 页 共 50 页【答案】12 或 15。【考点】翻折变换（折叠问题） ，正方形和矩形的性质，剪纸问题，分类归纳（图形的变化类） 。【分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽。当 10a20 时，矩形的长为 20，宽为 a，所以，第一次操作时，所得正方形的边长为 a，剩下的矩形相邻的两边分别为 20a，a。第二次操作时，由 20aa 可知所得正方形的边长为 20a，剩下的矩
36、形相邻的两边分别为20a，a（20a）=2a20。（20a）（2a20）=403a，20a 与 2a20 的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论。第三次操作时，当 20a2a20 时，所得正方形的边长为 2a20，此时，20a（2a20）=403a，此时剩下的矩形为正方形，由 403a=2a20 得 a=12。当 2a2020a 时，所得正方形的边长为 20a，此时，2a20（20a）=3a40，此时剩下的矩形为正方形，由 3a40=20a 得 a=15。故答案为 12 或 15。15. （2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 3 分）如图所示，沿 DE 折叠长方形ABCD 的一边，
37、使点 C 落在 AB 边上的点 F 处，若 AD=8，且AFD 的面积为 60，则DEC 的 面积为 第 21 页 共 50 页【答案】 289。【考点】翻折变换（折叠问题） ，矩形的性质，折叠对称的性质，勾股定理。【分析】四边形 ABCD 是矩形，A=B=90，BC=AD=8，CD=AB。AFD 的面积为 60，即 12ADAF=60，解得：AF=15。 2DFA857。由折叠的性质，得：CD=CF=17。AB=17。BF=ABAF=1715=2。设 CE=x，则 EF=CE=x，BE=BCCE=8x，在 RtBEF 中，EF 2=BF2BE 2，即 x2=22（8x） 2，解得：x= 17
38、4，即 CE= ，DEC 的面积为： 1 CDCE= 17179=4。三、解答题1. （2012 天津市 10 分）已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0） ，点 B（0，6） ，点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合） ，经过点 O、P折叠该纸片，得点 B和折痕 OP设 BP=t（）如图，当BOP=30 0时，求点 P 的坐标；（）如图，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB上，得点 C和折痕 PQ，若AQ=m，试用含有 t 的式子表示 m；（）在（）的条件下，当点 C恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即
39、可） 【答案】解：（）根据题意，OBP=90，OB=6。在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得 OP=2t。OP 2=OB2+BP2，即（2t） 2=62+t2，解得：t 1=23，t 2= （舍去）点 P 的坐标为（ 3 ，6） 。第 22 页 共 50 页（）OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OBPPCQ。 OBPCQ。由题意设 BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则 PC=11
40、t，CQ=6m 6t1m。 21t t6（0t11） 。（）点 P 的坐标为（ 3，6）或（ +13，6） 。【考点】翻折变换（折叠问题） ，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】 （）根据题意得，OBP=90，OB=6，在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（）由OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易证得OBPPCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。（）首先过点 P 作 PEOA 于 E，易证得PCECQA，由勾股
41、定理可求得CQ 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与 21mt t6，即可求得 t 的值： 过点 P 作 PEOA 于 E，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+QCA=90，EPC=QCA。PCECQA。 P CAQ。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m， 2AC Q 3612。 61t 3。 t1m，即 tt6， 6=t312m，即 231=t。第 23 页 共 50 页将 21mt t6代入，并化简，得 23t t6=0。解得：13+3tt四。点 P 的坐标为（ 13，6）或（ 1+3，6） 。2. （2012 海南省 11 分）如图（1） ，
42、在矩形 ABCD 中，把B、D 分别翻折，使点 B、D 分别落在对角线 BC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN.（1）求证：ANDCBM.（2）请连接 MF、NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形，四边形 MFNE 是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q 是矩形的边 CD、AB 上的两点，连结 PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且 AB=4，BC=3，求 PC 的长度.【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。DAC=BCA。又由翻折的性质，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。ANDCBM（ASA） 。（2）证明
43、：ANDCBM，DN=BM。又由翻折的性质，得 DN=FN，BM=EM，FN=EM。又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC，FNEM。四边形 MFNE 是平行四边形。四边形 MFNE 不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得CEM=B=90 0，在EMF 中，FEMEFM。FMEM。四边形 MFNE 不是菱形。第 24 页 共 50 页（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。设 DN=x，则由 SADC =SAND S NAC 得3 x5 x=12，解得 x= 32，即 DN=BM= 32。过点 N 作 NHAB 于 H，则 HM=43=1。在NHM 中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得
44、NM= 10。PQMN，DCAB，四边形 NMQP 是平行四边形。NP=MQ，PQ= NM= 10。又PQ=CQ，CQ= 10。在CBQ 中，CQ= ，CB=3，由勾股定理，得 BQ=1。NP=MQ= 2。PC=4 32 =2。【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。【分析】 （1）由矩形和翻折对称的性质，用 ASA 即可得到ANDCBM。（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。（3）设 DN=x，则由 SADC =SAND S NAC 可得 DN=BM= 32。过点 N 作 NHAB 于 H，则由勾股定理可得 NM= 10，从而根据平行四边形的性质和已知 PQ=CQ，即可求得CQ= 10。因此，在CBQ 中，应用勾股定理求得 BQ=1。从而求解。3. （2012 广东省 9 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=8把BCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于点
