二次函数在给定区间上的最值问题.doc

1、1二次函数在给定区间上的最值问题【学前思考】二次函数在闭区间上取得最值时的 ，只能是其图像的顶点的横坐标或给x定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.【知识要点例题精讲】二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是：Case、给定区间确定，对称轴位置也确定说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数

2、的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；（ii）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.例 1、二次函数 在闭区间 上的最大值是_.23yx1,2例 2、函数 在区间 上的最大值是_，最小值是2()4f 0,_.2例

3、 3、已知 ，则函数 的最大值是 _，最小值是23x2()1fx_.Case、给定区间确定，对称轴位置变化说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数 （ ）在给定区间 上的最值，需对其对称轴与2yaxbc0a,pq给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以 的情形进行分析：0a（）若 ，即对称轴在给定区间 的左侧，则函数 在给定区间2pa, ()fx上单调递增，此时 ，

4、；,pqmax()()ffqmin()()fxfp（）若 ，即对称轴在给定区间 的内部，则函数 在bq, ()fx上单调递减，在 上单调递增，此时 ，,2pa,2amin()2bfxfa或 ，至于最大值究竟是 还是 ，还需通过考察对mx()()ffpf pq称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若 ，则p；若 ，则 ；max()()ffq2bqamax()()ff（）若 ，即对称轴在给定区间 的右侧，则函数 在给定区间b,p()fx上单调递减，此时 ， .,pqmax()()ffmin()fxfq综上可知，当 时，0a；max(),2(),bpfqaf qp若若3.min(),2(),(

5、),2bfppafxqbfqa若若若通过同样的分析可得到：当 时，0a；max(),2(),(),2bfppaf qbfqa若若若.min,()(),2pfxbqfpa若若例 4、已知 且 ，求函数 的最值.21xa2()3fx例 5、求函数 在区间 上的最大值.()fx1,例 6、求函数 在区间 上的最大值和最小值.2()fa0,2例 7、设函数 （ ），当 时，求函数 在区2()fxb,R214ab()fx间 上的最小值 的解析式.1,ga422 222()1()4 21(),()1,4a afxbxxxafgaafx函 数 的 图 像 是 开 口 向 上 ， 对 称 轴 为 直 线 的

6、抛 物 线（ i） 若 ,即此 时 函 数 在 上 单 调 递 增于 是（ i） 若 ,即此 时 函 数 在 上 单 调 递 减于 是（ i）解 析 22()1,124()1,aafxgaa若 ,即此 时 函 数 在 上 单 调 递 减 在 上 单 调 递 增于 是 ，综 上 可 知 ， ，例 8、已知函数 ，若对于任意的 ，都有 成2()1fxm,1xm()0fx立，则实数 的取值范围是_.Case、给定区间变化，对称轴位置确定说明：此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数. 解决此类问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类

7、讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其对称轴的横坐标. 解决方法与知识点 2 类似，这里不再赘述.例 9、已知函数 定义在区间 （ ）上，求 的最小值.2()1fx,1ttR()fx例 10、已知函数 ，当 （ ）时，求 的最大值.2()3f ,xtt()f5CaseIV、与二次函数最值问题有关的综合题型利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题：（1）求函数的最值或最

8、值的取值范围；（2）求函数的解析式；（3）证明不等式；（4）求参数的取值范围；（5）探究参数是否存在；例 11、设函数 ， ， 为常数.21fxa0,2xa（I）求 的最小值 的解析式；()g（II）在（I）中，是否存在最小的整数 ，使得 对于任意 均m()0gaR成立. 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.m【解析】（I）函数 的图像是开口向上，221()1fxaxa对称轴为直线 的抛物线a（i）若 ，即0此时函数 的对称轴 不在区间 上， 在区间 上单调递增()fxx0,2()fx0,2于是 min()1gafa（ii）若 ，即2此时函数 的对称轴 不在区间 上， 在区间 上单调递减

9、()fxx0,2()fx0,2于是 min()413gafa（iii）若 ，即02此时函数 的对称轴 在区间 上， 在区间 上单调递减，()fxx0,2()fx0,a在区间 上单调递增,a于是 2min()()1gfxfa6综上可知， 21,0()3,ag（II）要使 对于任意的 均成立，只需 ，()0amaRmax()gR下求 xg由函数 的图像可见， 在 上单调递增，在 上单调递减()()g1,21,)22max13 4g于是 34又 Z故 的最小值为 0例 12、已知函数 （ ），记 是 在区间 上的2()fxab,RM|()|fx0,1最大值.（）当 且 时，求 的值；0bM（）若 ，

10、证明 .121a【解析】（I）函数 的图像是开口向上，对22()()fxbxab称轴为直线 的抛物线而函数 的图像是将函数 在 轴上方的图像保持不变、把它在 轴下方()fx()f x的图像翻折上去得到的（I）当 时，函数0b22()()fxaxa（i）若 a此时函数 的对称轴 不在区间 上， 在区间 上单调递增()fx0,1()f0,1于是 ma(),max,22Mf a，即 （舍去 ）122或 3（ii）若 7此时函数 的对称轴 不在区间 上， 在区间 上单调递减()fxxa0,1()fx0,1于是 ma(),ma,22Mf a ，即 （舍去 ）122或 3（iii）若 01此时函数 的对称

11、轴 在区间 上， 在区间 上单调递减，在()fxxa0,1()fx0,a区间 上单调递增,a于是 2max()(),ma,Mff 当 时， ，舍去220,1当 时， 或 ，均舍去12或 132综上可知， 或2a3（II） (0)1fb()1(0)1222fffa） ） ）又 M， 1(0)2f()f， 1()2f于是有 1()f故 ，即(0)0 12fa） 0,a例 13、（2015 浙江高考）已知函数 （ ， ），记2()fxbR是 在区间 上的最大值.(,)Mab(fx1,（1）证明：当 时， ；2()Mab（2）当 ， 满足 时，求 的最大值.,8【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间

12、定、对称轴位置变化的情形下的最值问题. 解决此类问题的关键是正确理解“ 是 在区间 上的(,)Mab(fx1,最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。【解析】（1）函数 的图像是开口向上，对称22()()4fxabx轴为直线 的抛物线2ax而函数 的图像是将函数 在 轴上方的图像保持不变、把它在 轴下方()f ()fx x的图像翻折上去得到的，即2a2a或1或此时函数 的对称轴 不在区间 上()fx2x1,于是函数 在区间 上单调1,故 max(,)(),max,1Mabff ba1)2b()(1a12（2） (,)2Mab1,fx于是有 ， ，即 ，()()f12ab12ab，

13、22ab即 ，313ab又 ，9,0ab于是 mx,3ab又当 ， 时， ，且 在区间 上的最大2a1b2()1fx,1值为 2，即 (,)2M故 的最大值为3例 14、已知函数 ，设函数 在区间 上的最2()fxbxc()gxf1,大值为 .（）若 ，求 的值；2bM（）若 对任意的 ， 恒成立，试求 的最大值kbck【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题以及函数恒成立问题，解决此类问题的关键是正确理解“ 是M在区间 上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等()fx1,知识.【解析】函数 的图像是开口向下，对称轴22()()fxbxcbc为直

14、线 的抛物线b而函数 的图像是将函数 在 轴上方的图像保持不变、把它在()gf ()fx轴下方的图像翻折上去得到的x（1）当 时，函数2b22()4()4fxcc此时其对称轴 不在区间 上， 在区间 上单调递增x1,fx1,故 mamax()()(),ma35Mgf c3,15c（2）要使 对任意的 ， 恒成立，只需kbcmin,kMbcR下求 的最小值. 22() ()gxfxxbc10（i）若 ，即1b1b或此时函数 的对称轴 不在区间 上()fxx,1函数 在区间 上单调,于是 maxmax()()(),max12,Mgff bcc1212bcbc12)bc4（ii）若 ，即此时函数 的

15、对称轴 在区间 上()fxx,于是 mama()(1),()Mgfffb当 时，102b此时 2111ax(),()()()()222fbfbfbcb21,0b当 时，01()1()ffb此时 21max(), ()(222Mfbfffbcb2111(),0,b由（i），（ii）可知，对任意的 ， ，都有bc12M又当 ， 时， 在区间 上的最大值为 ，即0b12c21()gx,12M故 对任意的 ， 恒成立的 的最大值为 .Mkbk2【课后总结】解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是关于二次函数的对称轴与11给定区间的位置关系的讨论. 一般分为：二次函数的对称轴在给定区间的左侧、内部以及

16、右侧三种情况，然后根据不同情况求出相应最值. 建议在理解相关结论或解题时，一定要注意结合二次函数的图像，做到数形结合。须知：函数图像就是指路明灯！【习题精练】1、若 ，且 ，则（ ）2()fxbc(3)1ffA. B. (1)cf()(1)cfC. D. ()f f2、（2013 浙江高考）已知 ， ， ，函数 . 若abcR2()fxabc，则（ ）(0)4(1)ffA. B. ,0ab0,4aC. D. 22b3、（2017 浙江高考）若函数 在 上的最大值是 ，最小值2()fxa0,1M是 ，则 （ ）mMA. 与 有关，且与 有关 B. 与 有关，但与 无关 ab bC. 与 无关，且

17、与 无关 D. 与 无关，但与 有关a1222max minmax()()420(),1(),()02()0,1a afxbxbxfMffxfbf函 数 的 图 像 是 开 口 向 上 ， 对 称 轴 为 直 线 的 抛 物 线（ i） 若 ,即此 时 函 数 在 上 单 调 递 增于 是 与 有 关 ， 但 与 无 关（ i） 若 ,即此 时 函 数 在 上 单 调 递 减于 是解 析 min2max min2(),()102()0,(0),1(0)2(1)()44ffxfabbaf ffabfaMfbfxfb与 有 关 ， 但 与 无 关（ i） 若 即此 时 函 数 在 上 单 调 递

18、减 在 上 单 调 递 增 并 且于 是 2maxmin22,021(),(0),1(0)(),()4,41,4af fbfabfaMfbfxfa与 有 关 ， 但 与 无 关（ iv） 若 ,即此 时 函 数 在 上 单 调 递 减 在 上 单 调 递 增 并 且于 是 与 有 关 ， 但 与 无 关综 上 可 知 ， ,01b与 有 关 ， 但 与 无 关4、已知函数 （ ）对任意的实数 ，都有22()1fxab,abRx成立. 若当 时， 恒成立，则 的取值范围是(1)f,x()0fxb（ ）A. B. 0b2bC. 或 D. 2115、已知一次函数 （ ）的图像不经过第一象限，且在区间

19、yaxb013上的最大值和最小值分别为 1 和-2，则函数 在区间 上2,1 2yxab2,1的最大值为（ ）A. -2 B. 2 C. -1 D. 16、设函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是24(1)3yaxx,)a_.7、已知二次函数 满足 ，且 ， ，若函数()fx(1)()fxf(0)f(1)f在区间 上的值域是 ，则 _， _.()fx,mn,nmn8、已知函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围2()fxk2,4k是_.9、已知抛物线 的开口向下，顶点坐标为 ，那么该抛物2()fxabc2,3线有（ ）A. 最小值-3 B. 最大值-3 C. 最小值 2 D. 最大值

20、 210、已知 为常数，函数 在区间 上的最大值为 ，则 _.t2yxt0,3t11、已知 ，若函数 在闭区间 上的最大值为 ，13a2()1fxa, ()Ma最小值为 ，令 ，则 的解析式为_.()NgMN()g12、（2013 辽宁高考）已知函数 ，22()()fxax，设 ，22()()8gxax1m,(Hfg，（ 表示 ， 中的较大值， 表示2min,Hfga,pqin,pq， 中的较小值）. 记 的最小值为 ， 的最大值为 ，则pq1(A2)xB_.AB1413、已知一次函数 是 上的增函数， ，且有()fxR()()gxfm.()165fx（1）求 ；f（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；()gx,)（3）若当 时， 有最大值 ，求实数 的值.13(x13m14、已知函数 ， 2()4fa()52gx（I）若方程 在 上有实数根，求实数 的取值范围；0x1,a（II）当 时，若对任意的 ，总存在 ，使 成a,21,412()fxg立，求实数 的取值范围；m（III）若函数 （ ）的值域为区间 ，是否存在常数 ，使区间()yfx,4tDt的长度为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由（注：区间D72t的长度为 ）,pqp