1、二次函数在闭区间上的最值1,求下列函数的最大值和最小值。,1.,2.,3.,4.,预习检测,学习目标：能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值 重点： 二次函数在闭区间上最值（1）轴定区间变（2）轴定区间定（3）轴变区间定 难点：数形结合、分类讨论思想,例1.求函数y=-x2-2x+3在区间-2,3上的最值,X=-1,-3,1,3,-2,4,-12,解： y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 函数的对称轴为直线x=-1 -2 -1 3 当x=-1时，y的最大值为f(-1) =4 当x=3时，y的最小值为f(3) =-12,一、定函数定区间,问题引导下的再学习,例2、已知函数y=a
2、x2+2ax+1-a在区间0,1上有最大值2，求实数a的值,解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）,当a0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x0,1,(1)当a0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2， a= 0.5,二、定区间定轴动函数,例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间0,1上有最大值2，求实数a的值,(2)当a0时，f(x)max=f(0)=1-a=2， a=-1,例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间0,1上有最大值2，求实数a的值,解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）,当a0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x0,1,(1)当a0时，f(x)
3、max=f(1)=2a+1=2， a= 0.5,(2)当a0时，f(x)max=f(0)=1-a=2， a=-1,综上所述：a= 0.5 或a=-1,解：函数的对称轴为直线x=a 当a0 时 y的最大值为f(0) =1-a,例3 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值.,三、定区间动轴动函数,(2)当 0 a1 时 y的最大值为f(a)=a2-a+1,例3 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值.,(3)当 a1 时 y的最大值为f(1)=4+a,例3 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值.,例3 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间
4、0,1上的最大值.,解：函数的对称轴为直线x=a 当a 0 时y的最大值为f(0) =1-a (2)当 0 a1 时y的最大值为f(a)=a2-a+1 (3)当 a1 时y的最大值为f(1)=4+a,思考1：函数y =-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值为2，求a的值.,解：函数的对称轴为直线x=a 当a 0时当x=0时y的最大值为2a=-1 (2)当 0 a1时 当x=a时y的最大值为2a=-1（舍去） (3)当 a1时 当x=1时y的最大值为2a=2 综上所述：a=-1或a=2,课堂检测,思考2：求函数y =-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最小值.,思考2：求函数y =-x2
5、+2ax+1-a在区间0,1上的最小值.,解：函数的对称轴为直线x=a,解：函数的对称轴为直线x=a 当a0 时 y的最小值为f(1) =4+a y的最大值为f(0) =1-a,变题1 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最值.,完全达标教学,变题1 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最值.,(3)当 a1 时 y的最大值为f(1)=4+a y的最小值为f(0)=1-a,变题1 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最值.,变题1 求函数y =-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最值.,求二次函数f(x)=ax2+bx+c在m，n上的最值的方法：一看
6、开口方向；二看对称轴与区间的关系.,（2）当x0m，n时，f(m)、f(n)、f(x0）中的较大者是最大值,较小者是最小值；,（1）检查x0= 是否属于 m，n；,（3）当x0 m，n时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值，较小者是最小值.,课堂小结,二次函数在闭区间上的最值2,1.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x3的最值.,(2),(3),(1) R,(4),ymin=-4，无最大值,ymax=5 ymin=-4,ymax=12 ymin=0,预习检测,(2),(3),(1) R,(3),(4),当-2 a-1时,a,ymax=-3,ymin=a2+2a-3,1.分别在下列各范围上求
7、函数y=x2+2x3的最值.,(2),(3),(1)R,(4),当-1 a 0时,a,当-2 a-1时,ymax=-3,ymin=a2+2a-3,ymax =-3, ymin=-4,ymax=-3,ymin=a2+2a-3,1.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x3的最值.,O,(2),(1)R,(4),当a 0时,a,当-1 a 0时,当-2 a-1时,(3),ymax=a2+2a-3， ymin=-4,ymax=-3,ymin=a2+2a-3,ymax =-3, ymin=-4,1.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x3的最值.,学习目标：能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数
8、最值 重点： 二次函数在闭区间上最值（4）定函数动区间（5）动轴动区间 难点：数形结合、分类讨论思想,例1、已知函数f(x)= x22x 3. （1）若x 2，0 , 求函数f(x)的最值；,问题引导下的再学习,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x 2，0 ，求函数f(x)的最值；,（2）若x 2，4 ，求函数f(x)的最值；,问题引导下的再学习,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x 2，0，求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值；,（3）若x ,求函数f(x)的最值；,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3 （1）若x2，0，求
9、函数f(x)的最值； （2）若x 2，4 ，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值；,（4）若x ，求函数f(x)的最值；,（5）若 xt，t+2时，求函数f(x)的最值.,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x2，0,求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值； （4）若x ，求函数f(x)的最值；,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x2，0,求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值； （4）若x ，求函数f(x)的最
10、值； （5）若xt，t+2时，求函数f(x)的最值.,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x2，0,求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值； （4）若x ，求函数f(x)的最值； （5）若xt，t+2时，求函数f(x)的最值.,例1、已知函数f(x)= x2 2x 3. （1）若x2，0,求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值； （4）若x ，求函数f(x)的最值； （5）若xt，t+2时，求函数f(x)的最值.,例1、已知函数f(x)= x2 2x
11、3. （1）若x2，0,求函数f(x)的最值； （2）若x 2，4，求函数f(x)的最值； （3）若x ，求函数f(x)的最值； （4）若x ，求函数f(x)的最值； （5）若xt，t+2时，求函数f(x)的最值.,评注：例1属于“轴定区间变”的问题，看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。,例2、求函数f(x)=ax22a2x+1(a0)在区间1，2上的最值.,问题引导下的再学习,例2、求函数f(x)=ax22a2x+1(a0)在区间1，2上的最值.,例2、求函数f(x)=ax22a2x+1(a0)在区间1，2上的最
12、值.,例2、求函数f(x)=ax22a2x+1(a0)在区间1，2上的最值.,例2、求函数f(x)=ax22a2x+1(a0)在区间1，2上的最值.,例2、求函数f(x)=ax22a2x+1(a0)在区间1，2上的最值.,评注：例2属于“动轴定区间”的问题，看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。,例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x0,1，试确定a、b,使f(x)的值域是0,1.,例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x0,1，试确定a、b,使f(x)的值域是0,1.,例3、已知函数f(x)=x2
13、+ax+b，x0,1，试确定a、b,使f(x)的值域是0,1.,例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x0,1，试确定a、b,使f(x)的值域是0,1.,例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x0,1，试确定a、b,使f(x)的值域是0,1.,函数f(x)=x2-2x-3在闭区间t,t+1(tR)上的最小值记为g(t),试写出g(t)的函数表达式，并求出g(t)的最小值。,解：f(x)=(x-1)2-4 1)当t 1时，g(t)=f(t)=t2-2t-3 2)当t 1 t+1时，g(t)=f(1)=-4 3)当1 t+1时，g(t)=f(t+1)=t2-4,g(t)min= -4,四、定函
14、数动区间,1.求函数y=-x(x-a)在x-1,a上的最大值,解:函数图象的对称轴方程为x= ,又x-1,a,故a-1, - ,对称轴在x= - 的右边.,(1)当 -1 a时,即a0时,由二次函数图象,可知: ymax =f ( )=,(2)当a 时,即-1a0时,五、动轴动区间,综上所述:当-1a0时, ymax =0当 a0时,ymax =,求函数y=-x(x-a)在x-1,a上的最大值,(2)当a 时,即-1a0时,由二次函数的图象可知:ymax =f (a)=0,课堂检测,f(x) 在区间0, 2上的最小值为 3, 可分情况讨论如下:,2.已知函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2
15、a+2 在区间0, 2上有最小值 3, 求实数 a 的值., f(x)min=f(0)=a2-2a+2.,(0, 4), 舍去., f(x)min=f(2)=a2-10a+18.,完全达标教学1、已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间-1,1上有最小值g(a),求g(a)的函数表达式，并求g(a)的最大值。 2、已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是 。 3、函数f(x)=ax2+2ax+1在区间-3,2上有最大值4，求实数a的值。,求二次函数f(x)=ax2+bx+c在m，n上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的关系.,（2）
16、当x0m，n时，f(m)、f(n)、f(x0）中的较大者是最大值,较小者是最小值；,（1）检查x0= 是否属于 m，n；,（3）当x0 m，n时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值，较小者是最小值.,课堂小结,回顾小结：,1、数学结合在求闭区间上二次函数的最值中的应用,2、分类讨论在求闭区间上二次函数的最值中的应用（含参数）,讨论顶点是否在此闭区间。（即对称轴）还要看开口方向。以开口向上为例，若对称轴在闭区间以左，则闭区间左端点函数值为最小值，右端点函数值为最大值；若对称轴在闭区间以右，则闭区间左端点函数值为最大值，右端点函数值为最小值；若对称轴在闭区间中，则最小值为对称轴函数值，最大值需比较左右端点函数值方可确定。,对含参数的部分二次函数的最大、最小值问题应该讨论。 开口向上时，求最小值应讨论对称轴在区间的左、中、右三种情况。求最大值应讨论对称轴在区间中点的左、右两种情况。 开口向下时，求最大值应讨论对称轴在区间的左、中、右三种情况。求最小值应讨论对称轴在区间中点的左、右两种情况。,
