1、数数学学物物理理方方程程与与特特殊殊函函数数主讲教师：沈良E-mail: 学时： 32学时内容：前五章作业：第 11， 13， 15周：1 班 2班第 12， 14， 16周：3 班 4班 5班课件下载：公共邮箱：密码 ：math1234 序常微分方程偏微分方程常微分方程：定义，解，阶，线性，齐次，系数例：)()()( xfyxqyxpy =+注：二阶，线性若，则称为齐次；否则为非齐次。0)( xf若系数为常数，则称为常系数方程。)(),( xqxp偏微分方程：三类典型方程波动方程热传导方程位势方程)(222222222zuyuxuatu+=)(2222222zuyuxuatu+=22222
2、20zuyuxu+=注：三维，齐次Green 方程的导出和定解问题分离变量法数学物理方程行波法基本解法积分变换法函数法贝塞尔函数特殊函数勒让德函数课程内容：第一章典型方程和定解条件的推导根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；主要内容从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类典型方程；提出相应的定解问题第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导1 基本方程的建立基本方程的建立导出数学物理方程的一般方法： 确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达
3、为数学式； 简化整理，得到方程。第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例1 . 弦的微小横振动设有一条拉紧的弦，长为设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与平衡位置与x轴轴的正半轴重合，且一端与原点重合的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。直外力作用后的运动状态。假设与结论：（1）横振动坐标系 oxu，位移 u(x,t)12xudxdxxuds +=21（ 2）微小振动第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导建立方程：取微元 MM ，研究在水平方向和垂直方向上 MM 在不受外力的情况下的运动情况 。第一章第一章典型
4、方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导（3）弦柔软、均匀. 张力, 线密度；)(xT牛顿运动定律： F = ma作用在弧段上的水平方向的力为MM0coscos = TT倾角很小，即 0,0 近似得TT =垂直方向的力为22(,)sin sin uxtTT gdsdst+ =（1 ）第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导牛顿运动定律： F = ma作用在弧段上的水平方向的力为MM0coscos = TT倾角很小，即 0,0 近似得TT =垂直方向的力为22(,)sin sin uxtTT gdsdst+ =（1 ）第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件
5、的推导sin tg , sin tg , .ds dx (,) ( ,), .uxt ux dxttg tgxx +=22(,)tg tg uxtTT gdxdxt+=于是等式（1）变成由微积分知识可知，在时刻t 有（2 ）等式（2）可以写成() ()1|xxdx xx tguuudx T T +=+由于很小牛顿运动定律： F = ma作用在弧 段上的水平方向的力为MM0coscos = TT倾角很小，即 0,0 近似得TT =垂直方向的力为22(,)sin sin uxtTT gdsdst+ =（ 1）第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导sin tg , sin tg
6、 , .ds dx (,) ( ,), .uxt ux dxttg tgxx +=22(,)tg tg uxtTT gdxdxt+=于是等式（1）变成由微积分知识可知，在时刻t 有（ 2）等式（2）可以写成() ()1|xxdx xx tguuudx T T +=+由于很小令， 取极限得0dxxx ttguuTT =+略去重力，可得方程,22222xuatu=其中Ta =2(3)弦振动方程（3）中只含有两个自变量和，其中表示时间 ，表示位置 。 由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。xttx（4）2,tt xxuau f= +其中Ff =，而外力可以是压力、重力、阻力等。
7、第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导注2 .xt注1 .非齐次方程齐次方程；当当 ,0,0 ff),( txF如果在弦的振动方向有外力作用，假设在时刻弦上点处的外力密度为，则方程（ 3）为：例2. 热传导方程dSdtnuzyxkdQ= ),(=21),(1ttdtdSnuzyxkQ+=21)()()(ttdtdVzukzyukyxukxFourier定律：V温度温度u(x,y,z;t)，通过对任意一个小的体积微元通过对任意一个小的体积微元内的内的热平衡关系的研究，建立方程热平衡关系的研究，建立方程。高斯公式第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导,2
8、1tt 内，通过曲面S流进V的热量其中,c分别是物体的比热和密度。温度由 ),(1tzyxu 变到 ),(2tzyxu 吸收热量 tVtucdVtzyxutzyxucQtt=21dd),(),(122第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导热量守恒定理21QQ =第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导dtdVtucdtdVzukzyukyxukxtttt =+2121)()()(0)(2222222=+zuyuxuatu化简三维齐次热传导方程2ack=)(其中 ( ) ( ) ctzyxFtzyxf /, =第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程
9、和定解条件的推导fzuyuxuatu=+)(2222222如果所考察的物体内部有热源，强度为, 则热传导方程为),( tzyxF0)(22222=+yuxuatu二维热传导方程0)(222=xuatu维热传导方程第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导0)(2222222=+zuyuxuatu三维热传导方程0=tu2222222afzuyuxu=+0222222=+zuyuxu例3. 稳恒温度场：即Laplace方程Poisson方程fzuyuxuatu=+)(2222222当物体内部没有热源时第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导当我们考察气体的扩散
10、,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用表示所扩散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫扩散方程.u第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导 波动方程 声波、电磁波、杆的振动； 热传导方程 物质扩散时的浓度变化规律, 土壤力学中的渗透方程; Laplace方程 稳定的浓度分布, 静电场的电位, 流体的势.总结：第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导补充内容：场论介绍补充内容：场论介绍数量场向量场方向导数梯度),()( zyxfMf =),(),(),()( zyxRzyxQzyxPMF =),(
11、)()(zfyfxfffgrad= CoszfCosyfCosxfnf+=),( CosCosCosn =zRyQxPFdiv+=)(),()(yPxQxRzPzQyRFrot=RQPzyxkji=散度旋度牛顿 -莱布尼茨公式=+ dxdyyPxQQdyPdx )(格林公式高斯公式一维二维三维=badxxfaFbF )()()( +=+ dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz )(Stokes公式：格林公式在三维空间的另一种推广dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRRdzQdyPdx )()()(+=+高斯公式 +=+ dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz )(),( CosCosCosn =),(),( dSCosdSCosdSCosdxdydzdxdydz = ),( RQPF = = dVFdivndSF )(Stokes公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRRdzQdyPdx )()()(+=+ndSFrot =)(
