1、第 4 章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节 平面向量的概念及线性运算考纲传真 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0 与任一向量平行(5)相等向量：长度相
2、等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算 定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：平行四边形法则(ab)ca(bc )减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做a 与 b 的差三角形法则aba(b)数乘求实数 与向量 a 的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a 0(a) a；()a aa；(ab) ab3.共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 ba.常 用
3、结 论 1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即 A n1 An ，特别地，A1A2 A2A3 A3A4 A1An 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量2若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则 ( )OP 12OA OB 3. x y (x，y 为实数) ，若点 A，B，C 共线，则 xy1.OA OB OC 4ABC 中， 0点 P 为ABC 的重心PA PB PC 基础自测1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(2)若 ab， bc
4、 ，则 ac. ( )(3)ab 是 a b(R )的充要条件 ( )(4)ABC 中，D 是 BC 的中点，则 ( ) ( )AD 12AC AB 答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编) 如图，D， E，F 分别是ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( )A. B. 与 共线EF CD AB DE C. 与 是相反向量 D. | |BD CD AE 12AC D 选项 D 中， ，故 D 错误AE 12AC 3对于非零向量 a，b， “ab0”是“a b”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A 由 ab0 得 ab，根据向量共线定理知 a
5、 b，但a bD/ab0，故选 A.4(教材改编) 如图，ABCD 的对角线交于 M，若 a， b，用AB AD a，b 表示 为( )MD A. a b B. a b12 12 12 12C a b D a b12 12 12 12D a b，故选 D.MD 12BD 12(AD AB ) 12(b a) 12 125(教材改编) 化简：(1)( ) _.AB MB BO OM (2) _.NQ QP MN MP (1) (2)0 (1) 原式 .AB AB BO OM MB AB (2)原式 0.NP PN 平面向量的有关概念1给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若
6、A，B ，C，D 是不共线的四点，且 ，则 ABCD 为平行四边形；AB DC ab 的充要条件是|a|b| 且 a b；已知 ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4A 是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点是正确的，因为 ，所以| | |且 ；又 A，B，C，DAB DC AB DC AB DC 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形是错误的，当 a b 且方向相反时，即使|a| |b| ，也不能得到 ab，所以|a| |b|且 a b 不是 ab 的充要条件，而是必要不充
7、分条件是错误的，当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 ab，但 a与 b 不一定共线2设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a 0；若 a 与a0平行，则 a|a|a 0；若 a 与 a0平行且|a| 1，则 aa 0.上述命题中，假命题的个数是( )A0 B1 C2 D3D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a| a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.规律方法 辨析向量有关概念的五个关键点1向量定义的关键是方向和长
8、度.2非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.3相等向量的关键是方向相同且长度相等.4单位向量是长度都是一个单位长度的向量.,5 零向量的关键是方向没有限制，长度是 0，规定零向量与任何向量共线.平面向量的线性运算【例 1】 (1)在四边形 ABCD 中， ，AC 与 BD 交于点 O，E 是线BC AD 段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，则( )A. B. AF 13AC 23BD AF 23AC 13BD C. D. AF 14AC 23BD AF 23AC 14BD (2)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC.若12 2
9、3 1 2 (1、 2 为实数)，则 1 2 的值为_DE AB AC (1)B (2) (1)在四边形 ABCD 中，如图所示，因为 ，所以四边12 BC AD 形 ABCD 为平行四边形由已知得 ，由题意知DEF BEA，则DE 13EB ，所以 ，所以DF 13AB CF 23CD 23(OD OC ) 23 BD AC 2 BD AC 3 ，故选 B.AF AC CF AC BD AC 3 23AC 13BD (2) ( ) ，所以DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23BA AC 16AB 23AC 1 ， 2 ，即 1 2 .16 23 12规律方法 向量的线性运算的求
10、解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解(1)设 D 为ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC (2)在ABC 中，点 M，N 满足 2 ， .若 x y ，则AM MC BN NC
11、 MN AB AC x_ ；y _.(1)A (2) (1)因为 3 ，12 16 BC CD 所以 ，CD 13BC 所以 ( ) .故选 A.AD AC CD AC 13BC AC 13AC AB 13AB 43AC (2)由题中条件得， ( ) MN MC CN 13AC 12CB 13AC 12AB AC 12AB x y ，所以 x ，y .16AC AB AC 12 16共线向量定理的应用【例 2】 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若 ab， 2a8b， 3( ab)，求证：A，B ，D 三点共线；AB BC CD (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线解 (
12、1)证明： ab， 2a8b， 3(ab)，AB BC CD 2a8b3(ab)BD BC CD 2a8b3a3b5(ab)5 .AB ， 共线，又它们有公共点 B，AB BD A，B，D 三点共线(2)kab 和 akb 共线，存在实数 ，使 kab (akb) ，即 kaba k b，(k)a(k1)b.a，b 是两个不共线的非零向量，kk 10，k 2 10，k1.规律方法 共线向量定理的 3 个应用(1)证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数 ，使 ab(b0)，则 a与 b 共线(2)证明三点共线：若存在实数 ，使 ，则 A，B ，C 三点共线AB AC (3)求参数的值：利用共
13、线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点(1)已知向量 a3b， 5a3b， 3a3b，则( )AB BC CD AA， B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线CA，C ，D 三点共线 DB，C，D 三点共线(2)(2019黄山模拟)已知向量 a，b 是两个不共线的向量，若向量 m4ab与 nab 共线，则实数 的值为( )A4 B C. D414 14(1)B (2)B (1) 2a6b2(a3b) 2 ， ， 共BD BC CD AB BD AB 线，又有公共点 B，A，B，D 三点共线故选 B.(2)由题意知 mk n，即 4
14、abk (ab)Error!解得Error!故选 B.1(2018全国卷 )在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 ( )EB A. B. 34AB 14AC 14AB 34AC C. D. 34AB 14AC 14AB 34AC A 由题可得 ( ) ，故选 A.EB EA AB 14AB AC AB 34AB 14AC 2(2014全国卷 )设 D， E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 ( )EB FC A. B.BC 12AD C. D.AD 12BC C 如图， EB FC EC CB FB BC ( )EC FB 12AC AB 2 .12 AD AD 3(2015全国卷 )设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _. ab 与 a2b 平行，abt(a2b)，12即 abta2tb，Error! 解得Error!
