1、141 平面向量的概念及线性运算知识梳理1向量的有关概念22向量的线性运算33共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数 ，使得 b a.特别提醒：(1)限定 a0 的目的是保证实数 的存在性和唯一性(2)零向量与任何向量共线(3)平行向量与起点无关(4)若存在非零实数 ，使得 或 或 ，则 A， B， C 三点共AB AC AB BC AC BC 线诊断自测1概念思辨(1) ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 的中点，则 ( )( )AE 14AC AB (2)若 a b， b c，则 a c.( )(3)向量 与向量 是共线向量，则 A， B， C，
2、D 四点在一条直线上( )AB CD (4)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A4P78A 组 T5)设 D 为 ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC 4C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 答案 A解析 ( ) .故选 A.AD AB BD AB 43BC AB 43AC AB 13AB 43AC (2)(必修 A4P92A 组 T12)已知 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 a，
3、b，则OA OB _， _(用 a， b 表示)DC BC 答案 b a a b解析 如图， b a， a b.DC AB OB OA BC OC OB OA OB 3小题热身(1)设 a0为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a| a|a0；若 a 与 a0平行，则 a| a|a0；若 a 与 a0平行且| a|1，则 a a0.上述命题中，假命题的个数是( )A0 B1 C2 D3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量， a 与| a|a0的模相等，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a| a|a0，故也是
4、假命题综上所述，假命题的个数是 3.故选 D.(2)设 e1， e2是两个不共线的向量，且 a e1 e2与 b e2 e1共线，则实数13 _.答案 13解析 a e1 e2与 b e2 e1共线，存在实数 t，使得 b ta，即13 e2 e1 t(e1 e2)， e2 e1 te1 t e2， t1， t ，即 .13 13 13 13题型 1 平面向量的基本概念判断下列各命题是否正确： 典 例(1)单位向量都相等；5(2)|a|与| b|是否相等，与 a， b 的方向无关；(3)若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；AB DC (4)
5、若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线；(5)两向量 a， b 相等的充要条件是| a| b|且 a b.根据向量的相关概念判定解 (1)不正确(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同(3)正确， ，| | |且 AB DC.AB DC AB DC 又 A， B， C， D 是不共线的四点，四边形 ABCD 是平行四边形反之，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 綊 DC，且与 方向相同因此 .AB DC AB DC (4)不正确，当 b0 时， a 与 c 可以不共线(5)不正确，当 a b，但方向相反时，即使| a| b|，也不能得到 a b.
6、方法技巧解决向量的概念问题应关注五点1相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性2共线向量即平行向量，它们均与起点无关相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈4非零向量 a 与 的关系： 是 a 方向上的单位向量a|a| a|a|5向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小冲关针对训练下列 4 个命题：(1)若向量 a 与 b 同向，且| a|b|，则 ab；(2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；(3
7、) ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线；(4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件其中错误命题的序号为_答案 (1)(2)(3)解析 (1)不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小6(2)不正确由零向量方向性质可得 0 与任一向量平行(3)不正确当 0 时， a 与 b 可能不共线(4)正确题型 2 平面向量的线性运算如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分 典 例点，那么 等于( )EF A. 12AB 13AD B. 14AB 12AD C. 12AB 12DA D. 1
8、2AB 23AD 用向量的三角形法则转化答案 D解析 在 CEF 中，有 .EF EC CF 因为点 E 是 DC 的中点，所以 .EC 12DC 因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以 .CF 23CB 所以 EF 12DC 23CB 12AB 23DA ，故选 D.12AB 23AD 方法技巧平面向量线性运算问题的求解策略1进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知7向量表示出来2向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线
9、性运算中同样适用3用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果冲关针对训练(2018昆明模拟)在 ABC 中， AB2， BC3， ABC60， AD 为 BC 边上的高， O为 AD 的中点，若 AB ，则 等于( )AO BC A1 B. C. D.12 13 23答案 D解析 ，AD AB BD AB 13BC 2 ，即 .AO AB 13BC AO 12AB 16BC 故 .故选 D.12 16 23题型 3 共线向量定理及其应用角度 1 解决三点共线问题 已知 O， A， B 是不共线的三点，且 m n (m， nR)
10、 典 例 OP OA OB (1)若 m n1，求证： A， P， B 三点共线；(2)若 A， P， B 三点共线，求证： m n1.本题用转化法、向量问题实数化证明 (1)若 m n1，则 m (1 m) m( )，OP OA OB OB OA OB m( )，OP OB OA OB 即 m ， 与 共线BP BA BP BA 又 B 与 B 有公共点 B， A， P， B 三点共线P A (2)若 A， P， B 三点共线，存在实数 ，使 ，BP BA ( )OP OB OA OB 8又 m n .OP OA OB 故有 m ( n1) ，OA OB OA OB 即( m ) ( n 1
11、) 0.OA OB O， A， B 不共线， ， 不共线，OA OB Error! m n1.角度 2 利用共线求参数的取值(2018南京模拟)已知如图，平行四边形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中 典 例点，连接 AE， BF 相交于 P，连接 DP，并延长交 AB 的延长线于点 G，若 x ， y ， z ，则 x_， y_， z_.AP AE BP BF AG AB 本题需作辅助线答案 45 25 43解析 如图，过 E 作 EQ 平行于 AB，交 BF 于点 Q，因为 E 为 BC 的中点，所以 EQ 平行于 CD，且 EQ CF，又因为点 F 为 CD 的中点，所
12、以 ，12 QPPB EPPA EQAB 12CFAB 14所以 ，所以 x .AP 45AE 45因为点 Q 为 FB 的中点，所以 ，BP 44 1 5BF 25BF 9所以 y .因为 ，25 DFBG FPPB 64所以 ，BG 23DF 13AB 所以 ，即 z .AG 43AB 43所以 x ， y ， z .45 25 43角度 3 共线定理与三角形的面积(2017沈阳一模)在 ABC 中， O 为其内部一点，且满足 3 0，则 典 例 OA OC OB AOB 和 AOC 的面积比是( )A34 B32 C11 D13本题采用并项法答案 D解析 根据题意，如图，在 ABC 中，
13、设 M 为 AC 的中点，则 2 ，OA OC OM 又由 3 0，OA OC OB 则有 2 3 ；OM OB 从而可得 B， O， M 三点共线，且 2OM3 BO；由 2OM3 BO 可得， ，S AOCS ABC OMBM 35S AOB S BOC S ABC，25又由 S AOB S BOC，则 S AOB S ABC，15则 .故选 D.S AOBS AOC 1310方法技巧1证明向量共线，对于向量 a， b(b0)，若存在实数 ，使 a b，则 a 与 b 共线见角度 1 典例2证明三点共线，若存在实数 ，使 ，则 A， B， C 三点共线见角度 1 典AB AC 例3利用共线
14、定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决冲关针对训练1(2018长春模拟) e1， e2是平面内不共线的两向量，已知 e1 ke2， 2 e1 e2， 3 e1 e2，若 A， B， D 三点共线，则 k 的值是( )AB CB CD A1 B2 C1 D2答案 B解析 A， B， D 三点共线， 与 共线，AB BD 存在实数 ，使得 .AB BD 3 e1 e2(2 e1 e2) e12 e2，BD CD CB e1 ke2 (e12 e2)， e1、 e2是平面内不共线的两向量，Error!解得 k2.故选 B.2(2017大观区校级期末)设 D
15、 为 ABC 的边 AB 的中点， P 为 ABC 内一点，且满足 ，则 ( )AP AD 25BC S APDS ABCA. B. C. D.35 25 15 310答案 C解析 如图， ，AP AD 25BC ，AP AD DP 25BC 11| | | |.DP 25BC D 是 AB 的中点， AD AB，12 ，故选 C.S APDS ABC12ADDPsin ADP12ABBCsin ABC 151(2017郴州三模)在 ABC 中， M 为边 BC 上任意一点， N 为 AM 中点， ，则 的值为( )AN AB AC A. B. C. D112 13 14答案 A解析 设 t
16、，BM BC 则 ( ) AN 12AM 12AB BM 12AB 12BM t ( )12AB 12BC 12AB t2AC AB (12 t2)AB t2AC ， 12 t2 t2 .故选 A.122(2018淮南模拟)在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 3 ，点 O 在线BC CD 段 CD 上(与点 C、 D 不重合)，若 x (1 x) ，则 x 的取值范围是( )AO AB AC A. B.(0，12) (0， 13)C. D.(12， 0) ( 13， 0)答案 D解析 设 C y ，则 yO BC AO AC CO AC BC y( )AC AC AB y (
17、1 y) ，AB AC 12 3 ，BC CD 点 O 在线段 CD 上(与点 C、 D 不重合)， y ，(0，13) x (1 x) ，AO AB AC x ，(13， 0)故选 D.3(2018湖北模拟)若 M 为 ABC 内一点， ，则 ABM 和 ABC 的面积AM 13AB 14AC 之比为( )A. B. C. D.14 13 12 23答案 A解析 设 ， ，以 AD， AE 为邻边作平行四边形 ADME，延长 EM 交 BC 与AD 13AB AE 14AC F，连接 BM，则 EF AB， .故选 A.S ABMS ABC AEAC 144(2014全国卷)已知 A， B，
18、 C 为圆 O 上的三点，若 ( )，则 与 的AO 12AB AC AB AC 夹角为_答案 9013解析 由 可知 O 为 BC 的中点，即 BC 为圆 O 的直径，又因为直径所对的AO 12(AB AC )圆周角为直角，所以 BAC90，所以 与 的夹角为 90.AB AC 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点 O， P， Q， E， F， G， H，则 OP ( )OQ A.OH B.OG C.EO D.FO 答案 D解析 在方格纸上作出 ，如图所示，则容易看出 ，故选 D.OP OQ OP OQ FO 142已知 A， B， C 三点不共线
19、，且点 O 满足 0，则下列结论正确的是( )OA OB OC A. B. OA 13AB 23BC OA 23AB 13BC C. D. OA 13AB 23BC OA 23AB 13BC 答案 D解析 0， O 为 ABC 的重心， ( ) ( )OA OB OC OA 23 12AB AC 13AB AC ( ) (2 ) .故选 D.13AB AB BC 13 AB BC 23AB 13BC 3(2017衡水中学三调)在 ABC 中， ， P 是直线 BN 上的一点，且满足 mAN 14NC AP ，则实数 m 的值为( )AB 25AC A4 B1 C1 D4答案 B解析 根据题意设
20、 n (nR)，则 n n( ) nBP BN AP AB BP AB BN AB AN AB AB (1 n) ，又 m ，(15AC AB ) AB n5AC AP AB 25AC Error!解得Error!故选 B.4(2018石家庄一模) A， B， C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点D(点 O 与点 D 不重合)，若 ( ， R)，则 的取值范围是( )OC OA OB A(0,1) B(1，) C(1， D(1,0)2答案 B解析 设 m ，则 m1，因为 ，OC OD OC OA OB 所以 m ，即 ，又知 A， B， D 三点共线，所以OD OA
21、OB OD mOA mOB 15 1，即 m，所以 1，故选 B. m m5(2018广东模拟)已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 ，则( )OP 3OA OB 2A点 P 在线段 AB 上B点 P 在线段 AB 的反向延长线上C点 P 在线段 AB 的延长线上D点 P 不在直线 AB 上答案 B解析 ( ) ，即 ，所OP 3OA OB 2 32OA 12OB OA 12OA OB OA 12BA OP OA AP 12BA 以点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选 B.6(2017广东七校联考)已知向量 i， j 不共线，且 i mj， ni j， m
22、1，AB AD 若 A， B， D 三点共线，则实数 m， n 应满足的条件是( )A m n1 B m n1C mn1 D mn1答案 C解析 因为 A， B， D 三点共线，所以 ，存在非零实数 ，使得 ，即AB AD AB AD i mj (ni j)，所以(1 n )i( m )j0，又因为 i 与 j 不共线，所以Error!则mn1，故选 C.7下列命题中是真命题的是( )对任意两向量 a， b，均有：| a| b|a| b|；对任意两向量 a， b， a b 与 b a 是相反向量；在 ABC 中， 0；AB BC AC 在四边形 ABCD 中，( )( )0；AB BC CD
23、DA .AB AC BC A B C D答案 D解析 假命题当 b0 时，| a| b| a| b|.不成立真命题( a b)( b a) a( b) b( a) a( a) b( b)( a a)( b b)0， a b 与 b a 是相反向量成立16真命题 0，成立AB BC AC AC AC 假命题 ， ，AB BC AC CD DA CA ( )( ) 0.AB BC CD DA AC CA AC AC 该命题不成立假命题 ，该命题不成立故选 D.AB AC AB CA CB BC 8(2018泉州模拟)已知 D， E， F 分别为 ABC 的边 BC， CA， AB 的中点，且 a，
24、BC b，给出下列命题：CA a b； a b； a b； 0.其中正确的是( )AD 12 BE 12 CF 12 12 AD BE CF A B C D答案 D解析 由 a， b，则 a b. a b，BC CA AD 12CB AC 12 BE BC 12CA 12 ( ) ( a b) a b.CF 12CB CA 12 12 12所以 b a a b b a0，所以命题正确故选 D.AD BE CF 12 12 12 129(2018兰州模拟)若点 M 是 ABC 所在平面内的一点，且满足 5 3 ，则AM AB AC ABM 与 ABC 的面积比为( )A. B. C. D.15
25、25 35 45答案 C解析 如图，连接 AM， BM，延长 AC 到 D 使 AD3 AC，延长 AM 到 E 使 AE5 AM，因为 5 3 ，所以 5 3 .AM AB AC AB AM AC AE AD DE 17连接 BE，则四边形 ABED 是平行四边形(向量 AB 和向量 DE 平行且模相等)由于 3 ，所以 S ABC S ABD.AD AC 13因为 ，所以 S AMB S ABE，在平行四边形 ABED 中， S ABD S ABE SABED，AM 15AE 15 12故 .故选 C.S ABMS ABC15S ABE13S ABD 3510(2018伊宁市模拟)若 O
26、为 ABC 所在平面内一点，且 2 3 0，则 SOA OB OC OBC S AOC S ABO( )A321 B213 C132 D123答案 D解析 如图所示，延长 OB 到 D，使得 BD OB，延长 OC 到 E，使得 CE2 OC.连接AD， DE， AE. 2 3 0，OA OB OC 点 O 为 ADE 的重心 S OBC S ODE S ADE S ADE；16 16 13 11818S AOC S OAE S ADE S ADE；13 13 13 19S ABO S OAD S ADE S ADE.12 12 13 16 S OBC S AOC S ABO 123.118
27、19 16故选 D.二、填空题11(2018广西模拟)如图所示，在 ABC 中， ， P 是 BN 上的一点，若 mAN 13AC AP ，则实数 m 的值为_AB 211AC 答案 511解析 注意到 N， P， B 三点共线，因此有 m m ，从而AP AB 211AC AB 611AN m 1 m .611 51112已知 a， b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同若 a， tb， (a b)三13向量的终点在同一直线上，则 t_.答案 12解析 a， tb， (a b)三向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 起点相13同 a tb 与 a (a b)共线，即 a t
28、b 与 a b 共线，存在实数 ，使 a tb13 23 13 ，Error! 解得 ， t ，所以若 a， tb， (a b)三向量的终点在同一(23a 13b) 32 12 13条直线上，则 t .1213(2018河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量 ， ， ，其中 与OA OB OC OA 19的夹角为 120， 与 的夹角为 30，且| | |1，| |2 .若 OB OA OC OA OB OC 3 OC OA ( ， R)，则 的值为_OB 答案 6解析 如图，作平行四边形 OB1CA1，则 ，因为 与 的夹角为 120，OC OB1 OA1 OA OB 与 的夹角为 3
29、0，所以 B1OC90.OA OC 在 Rt OB1C 中， OCB130，| OC|2 ，3所以| OB1|2，| B1C|4，所以| OA1| B1C|4，所以 4 2 ，所以 4， 2，所以 6.OC OA OB 14(2018沈阳模拟)如图所示，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M， N，若 m ， n ，则 m n 的值为_AB AM AC AN 答案 2解析 连接 AO， O 是 BC 的中点，20 ( )AO 12AB AC 又 m ， n ， .AB AM AC AN AO m2AM n2AN M， O， N 三点
30、共线， 1. m n2.m2 n2三、解答题15设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若 a b， 2 a8 b， 3( a b)求证： A， B， D 三点共线；AB BC CD (2)试确定实数 k，使 ka b 和 a kb 共线解 (1)证明： a b， 2 a8 b， 3( a b)，AB BC CD 2 a8 b3( a b)2 a8 b3 a3 b5( a b)5 ， ， 共线BD BC CD AB AB BD 又它们有公共点 B， A， B， D 三点共线(2) ka b 与 a kb 共线，存在实数 ，使 ka b (a kb)，即 ka b a k b.( k )a( k
31、 1) b. a， b 是不共线的两个非零向量， k k 10， k210， k1.16如图所示，在 ABO 中， ， ， AD 与 BC 相交于点 M，设OC 14OA OD 12OB a， b.试用 a 和 b 表示向量 .OA OB OM 解 设 ma nb，OM 则 ma nb a( m1) a nb.AM OM OA a b.AD OD OA 12OB OA 1221又 A， M， D 三点共线， 与 共线AM AD 存在实数 t，使得 t ，AM AD 即( m1) a nb t .( a12b)( m1) a nb ta tb.12Error!消去 t，得 m12 n，即 m2 n1.又 ma nb a a nb，CM OM OC 14 (m 14) b a a b.CB OB OC 14 14又 C， M， B 三点共线， 与 共线，CM CB 存在实数 t1，使得 t1 ，CM CB a nb t1 ，(m14) ( 14a b)Error!消去 t1，得 4m n1.由 得 m ， n ， a b.17 37 OM 17 37
