1、141 平面向量的概念及线性运算知识梳理1向量的有关概念22向量的线性运算33共线向量定理向量 a(a0)与 b共线，当且仅当有唯一的一个实数 ，使得 b a.特别提醒：(1)限定 a0 的目的是保证实数 的存在性和唯一性(2)零向量与任何向量共线(3)平行向量与起点无关(4)若存在非零实数 ，使得 或 或 ，则 A， B， C三点共AB AC AB BC AC BC 线诊断自测1概念思辨(1) ABC中， D是 BC中点， E是 AD的中点，则 ( )( )AE 14AC AB (2)若 a b， b c，则 a c.( )(3)向量 与向量 是共线向量，则 A， B， C， D四点在一条直
2、线上( )AB CD (4)当两个非零向量 a， b共线时，一定有 b a，反之成立( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A4P78A组 T5)设 D为 ABC所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 答案 A解析 ( ) .故选 A.AD AB BD AB 43BC AB 43AC AB 13AB 43AC (2)(必修 A4P92A组 T12)已知 ABCD的对角线 AC和 BD相交于 O，且 a， b，则OA OB 4_， _(用
3、a， b表示)DC BC 答案 b a a b解析 如图， b a， a b.DC AB OB OA BC OC OB OA OB 3小题热身(1)(2017周口模拟)设 a0为单位向量，若 a为平面内的某个向量，则a| a|a0；若 a与 a0平行，则 a| a|a0；若 a与 a0平行且| a|1，则 a a0.上述命题中，假命题的个数是( )A0 B1 C2 D3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量， a与| a|a0的模相等，但方向不一定相同，故是假命题；若 a与 a0平行，则 a与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a| a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数
4、是 3.故选 D.(2)设 e1， e2是两个不共线的向量，且 a e1 e2与 b e2 e1共线，则实数13 _.答案 13解析 a e1 e2与 b e2 e1共线，存在实数 t，使得 b ta，即13 e2 e1 t(e1 e2)， e2 e1 te1 t e2， t1， t ， 即 .13 13 13 13题型 1 平面向量的基本概念 判断下列各命题是否正确： 典 例(1)单位向量都相等；(2)|a|与| b|是否相等，与 a， b的方向无关；(3)若 A， B， C， D是不共线的四点，则 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件；AB DC (4)若 a与 b共线， b与 c共线
5、，则 a与 c也共线；(5)两向量 a， b相等的充要条件是| a| b|且 a b.5根据向量的相关概念判定解 (1)不正确(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同(3)正确， ，| | |且 AB DC.AB DC AB DC 又 A， B， C， D是不共线的四点，四边形 ABCD是平行四边形反之，若四边形 ABCD是平行四边形，则 AB綊 DC，且与 方向相同因此 .AB DC AB DC (4)不正确，当 b0 时， a与 c可以不共线(5)不正确，当 a b，但方向相反时，即使| a| b|，也不能得到 a b.方法技巧解决向量的概念问题应关注五点1相等向量具有传递性
6、，非零向量的平行也具有传递性2共线向量即平行向量，它们均与起点无关相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈4非零向量 a与 的关系： 是 a方向上的单位向量a|a| a|a|5向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小冲关针对训练下列 4个命题：(1)若向量 a与 b同向，且| a|b|，则 ab；(2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；(3) ， 为实数，若 a b，则 a与 b共线；(4)两向量平行是这
7、两个向量相等的必要不充分条件其中错误命题的序号为_答案 (1)(2)(3)解析 (1)不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由零向量方向性质可得 0与任一向量平行(3)不正确当 0 时， a与 b可能不共线(4)正确6题型 2 平面向量的线性运算(2017长沙模拟)若 O， E， F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 典 例 1( )A. B. EF OF OE EF OF OE C. D. EF OF OE EF OF OE 向量加、减法定义答案 B解析 利用向量加、减法的运算性质易知，选 B.如图所示，在正方形 AB
8、CD中，点 E是 DC的中点，点 F是 BC的一个三等分点， 典 例 2那么 等于( )EF A. 12AB 13AD B. 14AB 12AD C. 12AB 12DA D. 12AB 23AD 综合利用向量的加法、减法和数乘运算答案 D解析 在 CEF中，有 .EF EC CF 因为点 E是 DC的中点，所以 .EC 12DC 7因为点 F为 BC的一个三等分点，所以 .CF 23CB 所以 EF 12DC 23CB 12AB 23DA .故选 D.12AB 23AD 条件探究 若典例 1中加入 ，则如何用 ， 表示 .EA AF OE OF OA 解 如图， ( )OA OE EA OE
9、 12EF OE 12(OF OE ) 12OE OF 方法技巧平面向量线性运算问题的求解策略1进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来2向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用3用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果冲关针对训练1(2017潍坊模拟)在 ABC中， P， Q分别是 AB， BC的三等分点，且AP AB， BQ
10、BC.若 a， b，则 ( )13 13 AB AC PQ A. a b B a b13 13 13 13C. a b D a b13 13 13 13答案 A解析 ( ) a b.故选 A.PQ PB BQ 23AB 13BC 23AB 13AC AB 13AB 13AC 13 132(2018昆明模拟)在 ABC中， AB2， BC3， ABC60， AD为 BC边上的高，8O为 AD的中点，若 ，则 等于( )AO AB BC A1 B. C. D.12 13 23答案 D解析 ，AD AB BD AB 13BC 2 ，即 .AO AB 13BC AO 12AB 16BC 故 .故选 D
11、.12 16 23题型 3 共线向量定理及其应用角度 1 解决三点共线问题 已知 O， A， B是不共线的三点，且 m n (m， nR) 典 例 OP OA OB (1)若 m n1，求证： A， P， B三点共线；(2)若 A， P， B三点共线，求证： m n1.本题用转化法、向量问题实数化证明 (1)若 m n1，则 m (1 m) m( )，OP OA OB OB OA OB m( )，OP OB OA OB 即 m ， 与 共线BP BA BP BA 又 B 与 B 有公共点 B， A， P， B三点共线P A (2)若 A， P， B三点共线，存在实数 ，使 ，BP BA ( )
12、OP OB OA OB 又 m n .OP OA OB 故有 m ( n1) ，OA OB OA OB 即( m ) ( n 1) 0.OA OB O， A， B不共线， ， 不共线，OA OB Error! m n1.9角度 2 利用共线求参数的取值(2018南京模拟)已知如图，平行四边形 ABCD中， E， F分别是 BC， CD的中点， 典 例连接 AE， BF相交于 P，连接 DP，并延长交 AB的延长线于点 G，若 x ， y ， z ，则 x_， y_， z_.AP AE BP BF AG AB 本题需作辅助线答案 45 25 43解析 如图，过 E作 EQ平行于 AB，交 BF于
13、点 Q，因为 E为 BC的中点，所以 EQ平行于 CD，且 EQ CF，又因为点 F为 CD的中点，所以 ，12 QPPB EPPA EQAB 12CFAB 14所以 ，所以 x .AP 45AE 45因为点 Q为 FB的中点，所以 ，BP 44 1 5BF 25BF 所以 y .因为 ，25 DFBG FPPB 64所以 ，BG 23DF 13AB 所以 ，即 z .AG 43AB 43所以 x ， y ， z .45 25 43角度 3 共线定理与三角形的面积(2017沈阳一模)在 ABC中， O为其内部一点，且满足 3 0，则 典 例 OA OC OB 10AOB和 AOC的面积比是(
14、)A34 B32 C11 D13本题采用并项法答案 D解析 根据题意，如图，在 ABC中， M为 AC的中点，则 2 ，OA OC OM 又由 3 0，OA OC OB 则有 2 3 ；OM OB 从而可得 B， O， M三点共线，且 2OM3 BO；由 2OM3 BO可得， ，S AOCS ABC OMBM 35S AOB S BOC S ABC，25又由 S AOB S BOC，则 S AOB S ABC，15则 .故选 D.S AOBS AOC 13方法技巧1证明向量共线，对于向量 a， b(b0)，若存在实数 ，使 a b，则 a与 b共线见角度 1典例2证明三点共线，若存在实数 ，使
15、 ，则 A， B， C三点共线见角度 1典AB AC 例3利用共线定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决冲关针对训练1已知点 D为 ABC所在平面上一点，且满足 A A C ，若 ACD的面积为D 15B 45A 1，则 ABD的面积为( )11A1 B2 C3 D4答案 D解析 由 A A C ，得 5 A 4 A ，所以 A A 4( A A )，即 BD 15B 45A AD B C D B C D 4 D .所以点 D在边 BC上，且| B |4| D |，所以 S ABD4 S ACD4.D C D C 2(2017大观区校级期末)设 D为
16、 ABC的边 AB的中点， P为 ABC内一点，且满足， ，则 ( )AP AD 25BC S APDS ABCA. B. C. D.35 25 15 310答案 C解析 如图， ，AD 25BC AD DP AP D B ， ADP ABC，P 25C D是 AB的中点， AD AB.12 .故选 C.S APDS ABC12ADDPsin ADP12ABBCsin ABC 151(2017郴州三模)在 ABC中， M为边 BC上任意一点， N为 AM中点， ，则 的值为( )AN AB AC A. B. C. D112 13 14答案 A解析 设 t ，BM BC 12则 ( ) AN 1
17、2AM 12AB BM 12AB 12BM t ( )12AB 12BC 12AB t2AC AB (12 t2)AB t2AC ， 12 t2 t2 .故选 A.122(2018淮南模拟)在 ABC中，点 D在线段 BC的延长线上，且 3 ，点 O在线BC CD 段 CD上(与点 C、 D不重合)，若 x (1 x) ，则 x的取值范围是( )AO AB AC A. B.(0，12) (0， 13)C. D.(12， 0) ( 13， 0)答案 D解析 设 C y ，则 yO BC AO AC CO AC BC y( )AC AC AB y (1 y) ，AB AC 3 ，BC CD 点 O
18、在线段 CD上(与点 C、 D不重合)， y ，(0，13) x (1 x) ，AO AB AC x .(13， 0)故选 D.133(2018湖北模拟)若 M为 ABC内一点， ，则 ABM和 ABC的面积AM 13AB 14AC 之比为( )A. B. C. D.14 13 12 23答案 A解析 设 ， ，以 AD， AE为邻边作平行四边形 ADME，延长 EM交 BC与AD 13AB AE 14AC F，连接 BM.则 EF AB， .故选 A.S ABMS ABC AEAC 144(2014全国卷)已知 A， B， C为圆 O上的三点，若 ( )，则 与 的AO 12AB AC AB
19、 AC 夹角为_答案 90解析 由 可知 O为 BC的中点，即 BC为圆 O的直径，又因为直径所对的AO 12(AB AC )圆周角为直角，所以 BAC90，所以 与 的夹角为 90.AB AC 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018武汉调研)如图所示的方格纸中有定点 O， P， Q， E， F， G， H，则 ( )OP OQ 14A.OH B.OG C.EO D.FO 答案 D解析 在方格纸上作出 ，如图所示，则容易看出 .故选 D.OP OQ OP OQ FO 2已知 A， B， C三点不共线，且点 O满足 0，则下列结论正确的是( )OA OB OC A. B. OA 13AB 2
20、3BC OA 23AB 13BC C. D. OA 13AB 23BC OA 23AB 13BC 答案 D解析 0， O为 ABC的重心， ( ) ( )OA OB OC OA 23 12AB AC 13AB AC 15 ( ) (2 ) .故选 D.13AB AB BC 13 AB BC 23AB 13BC 3(2017衡水中学三调)在 ABC中， ， P是直线 BN上的一点，且满足 mAN 14NC AP ，则实数 m的值为( )AB 25AC A4 B1 C1 D4答案 B解析 根据题意设 n (nR)，则 n n( ) nBP BN AP AB BP AB BN AB AN AB AB
21、 (1 n) ，又 m ，(15AC AB ) AB n5AC AP AB 25AC Error!解得Error!故选 B.4(2018石家庄一模) A， B， C是圆 O上不同的三点，线段 CO与线段 AB交于点D(点 O与点 D不重合)，若 ( ， R)，则 的取值范围是( )OC OA OB A(0,1) B(1，) C(1， D(1,0)2答案 B解析 设 m ，则 m1，因为 ，OC OD OC OA OB 所以 m ，即 ，又知 A， B， D三点共线，所以OD OA OB OD mOA mOB 1，即 m，所以 1.故选 B.m m5(2018广东模拟)已知点 O， A， B不在
22、同一条直线上，点 P为该平面上一点，且 ，则( )OP 3OA OB 2A点 P在线段 AB上B点 P在线段 AB的反向延长线上C点 P在线段 AB的延长线上D点 P不在直线 AB上答案 B解析 ( ) ，即 ，所OP 3OA OB 2 32OA 12OB OA 12OA OB OA 12BA OP OA AP 12BA 以点 P在线段 AB的反向延长线上故选 B.6(2017广东七校联考)已知向量 i， j不共线，且 i mj， ni j， m1，AB AD 若 A， B， D三点共线，则实数 m， n应满足的条件是( )A m n1 B m n1C mn1 D mn116答案 C解析 因为
23、 A， B， D三点共线，所以 ，存在非零实数 ，使得 ，即AB AD AB AD i mj (ni j)，所以(1 n )i( m )j0，又因为 i与 j不共线，所以Error!则mn1.故选 C.7下列命题中是真命题的是( )对任意两向量 a， b，均有：| a| b|a| b|；对任意两向量 a， b， a b与 b a是相反向量；在 ABC中， 0；AB BC AC 在四边形 ABCD中，( )( )0；AB BC CD DA .AB AC BC A B C D答案 D解析 假命题当 b0 时，| a| b| a| b|.不成立真命题( a b)( b a) a( b) b( a)
24、a( a) b( b)( a a)( b b)0， a b与 b a是相反向量成立真命题 0，成立AB BC AC AC AC 假命题 ， ，AB BC AC CD DA CA ( )( ) 0.AB BC CD DA AC CA AC AC 该命题不成立假命题 ，该命题不成立故选 D.AB AC AB CA CB BC 8(2018泉州模拟)已知 D， E， F分别为 ABC的边 BC， CA， AB的中点，且 a，BC b，给出下列命题：CA a b； a b； a b； 0.其中正确的是( )AD 12 BE 12 CF 12 12 AD BE CF A B C D答案 D解析 由 a，
25、 b，则 a b. a b，BC CA AD 12CB AC 12 BE BC 12CA 1217 ( ) ( a b) a b.CF 12CB CA 12 12 12所以 b a a b b a0，所以命题正确故选 D.AD BE CF 12 12 12 129(2018兰州模拟)若点 M是 ABC所在平面内的一点，且满足 5 3 ，则AM AB AC ABM与 ABC的面积比为( )A. B. C. D.15 25 35 45答案 C解析 如图，连接 AM， BM，延长 AC到 D使 AD3 AC，延长 AM到 E使 AE5 AM，因为 5 3 ，所以 5 3 .AM AB AC AB A
26、M AC AE AD DE 连接 BE，则四边形 ABED是平行四边形(向量 AB和向量 DE平行且模相等)由于 3 ，AD AC 所以 S ABC S ABD.13因为 ，所以 S AMB S ABE，在平行四边形 ABED中， S ABD S ABE SABED，AM 15AE 15 12故 .故选 C.S ABMS ABC15S ABE13S ABD 3510若 O为 ABC所在平面内一点，且 2 3 0，则 S OBC S AOC S ABO( )OA OB OC A321 B213 C132 D123答案 D解析 如图所示，延长 OB到 D，使得 BD OB，延长 OC到 E，使得
27、CE2 OC.连接AD， DE， AE.18 2 3 0，OA OB OC 点 O为 ADE的重心 S OBC S ODE S ADE S ADE；16 16 13 118S AOC S OAE S ADE S ADE；13 13 13 19S ABO S OAD S ADE S ADE.12 12 13 16 S OBC S AOC S ABO 123.118 19 16故选 D.二、填空题11(2018广西模拟)如图所示，在 ABC中， ， P是 BN上的一点，若 mAN 13AC AP ，则实数 m的值为_AB 211AC 答案 511解析 注意到 N， P， B三点共线，因此有 m m
28、 ，从而AP AB 211AC AB 611AN m 1 m .611 5111912(2017泉州四校联考)设 e1， e2是不共线的向量，若 e1 e2， 2 e1 e2， 3 e1 e2，且 A， B， D三点共线，则 的值为_AB CB CD 答案 2解析 2 e1 e2， 3 e1 e2，CB CD (3 e1 e2)(2 e1 e2) e12 e2，又 A， B， D三点共线，则 与 共线，BD CD CB AB BD 存在 R 使得 ，即 e1 e2 (e12 e2)，由 e1， e2是不共线的向量，得Error!AB BD 解得 2.13(2018河北衡水中学三调)如图，已知平
29、面内有三个向量， ， ，其中 与 的夹角为 120， 与 的夹角为 30，且OA OB OC OA OB OA OC | | |1，| |2 .若 ( ， R)，则 的值为_OA OB OC 3 OC OA OB 答案 6解析 如图，作平行四边形 OB1CA1，则 ，因为 与 的夹角为 120，OC OB1 OA1 OA OB 与 的夹角为 30，所以 B1OC90.OA OC 在 Rt OB1C中， OCB130，| OC|2 ，3所以| OB1|2，| B1C|4，所以| OA1| B1C|4，所以 4 2 ，所以 4， 2，所以 6.OC OA OB 14(2018沈阳模拟)如图所示，在
30、 ABC中，点 O是 BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB， AC于不同的两点 M， N，若 AB 20m ， n ，则 m n的值为_AM AC AN 答案 2解析 连接 AO， O是 BC的中点， ( )AO 12AB AC 又 m ， n ， .AB AM AC AN AO m2AM n2AN M， O， N三点共线， 1. m n2.m2 n2三、解答题15设两个非零向量 a与 b不共线(1)若 a b， 2 a8 b， 3( a b)求证： A， B， D三点共线；AB BC CD (2)试确定实数 k，使 ka b和 a kb共线解 (1)证明： a b， 2 a8 b， 3
31、( a b)，AB BC CD 2 a8 b3( a b)2 a8 b3 a3 b5( a b)5 . ， 共线BD BC CD AB AB BD 又它们有公共点 B， A， B， D三点共线(2) ka b与 a kb共线，存在实数 ，使 ka b (a kb)，即 ka b a k b.( k )a( k 1) b. a， b是不共线的两个非零向量， k k 10， k210， k1.16如图所示，在 ABO中， ， ， AD与 BC相交于点 M，设OC 14OA OD 12OB a， b.试用 a和 b表示向量 .OA OB OM 21解 设 ma nb，OM 则 ma nb a( m1
32、) a nb.AM OM OA a b.AD OD OA 12OB OA 12又 A、 M、 D三点共线， 与 共线AM AD 存在实数 t，使得 t ，AM AD 即( m1) a nb t .( a12b)( m1) a nb ta tb.12Error!消去 t，得 m12 n，即 m2 n1.又 ma nb a a nb，CM OM OC 14 (m 14) b a a b.CB OB OC 14 14又 C， M， B三点共线， 与 共线，CM CB 存在实数 t1，使得 t1 ，CM CB a nb t1 ，(m14) ( 14a b)Error!消去 t1，得 4m n1.由 得 m ， n ， a b.17 37 OM 17 37
