1、161.1 二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用 a（a0）的意义解答具体题目提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题教学重难点关键1重点：形如 a（a0）的式子叫做二次根式的概念；2难点与关键：利用“ （a0）”解决具体问题教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本 P2 的三个思考题：二、探索新知很明显 3、 10、 46，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如 a（a0） 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号（学生活动）议一议：1-1 有算术平方根吗？20 的算
2、术平方根是多少？3当 a0）、 0、 42、- 、 1xy、 （x0，y 0）分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0解：二次根式有： 2、 x（x0）、 0、- 2、 xy（x0，y0）；不是二次根式的有： 3、 1、 4、 y例 2当 x 是多少时， x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-10，31x才能有意义解：由 3x-10，得：x 13当 x 3时， 在实数范围内有意义三、巩固练习教材 P5 练习 1、2、3四、应用拓展例 3当 x 是多少时， x+ 1在实数范围内有意义？分析：要使 23+
3、 在实数范围内有意义，必须同时满足 23x中的0 和1x中的 x+10解：依题意，得 01x由得：x- 32由得：x-1当 x- 且 x-1 时， 3x+ 1在实数范围内有意义例 4(1)已知 y= 2+ +5，求 y的值(答案:2)(2)若 1a+ b=0，求 a2004+b2004 的值(答案: 25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1形如 a（a0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数六、布置作业1教材 P5 1，2，3，42选用课时作业设计第一课时作业设计一、选择题1下列式子中，是二次根式的是（ ）A- 7 B
4、 3 C x Dx2下列式子中，不是二次根式的是（ ）A 4 B 16 C 8 D 13已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ）A5 B C D以上皆不对二、填空题1形如_的式子叫做二次根式2面积为 a 的正方形的边长为_3负数_平方根三、综合提高题1某工厂要制作一批体积为 1m3 的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要， 底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2当 x 是多少时， 2x+x2 在实数范围内有意义？3若 + 3有意义，则 2x=_4.使式子 2(5)x有意义的未知数 x 有（ ）个A0 B1 C2 D无数5.已知 a、b 为实数，且 5a+2 102a=b+4，求
5、 a、 b 的值第一课时作业设计答案:一、1A 2D 3B二、1 a（a0） 2 a 3没有三、1设底面边长为 x，则 0.2x2=1，解答：x= 52依题意得： 230， x当 x- 2且 x0 时， x 2 在实数范围内没有意义3. 13 4B 5a=5，b=-416.1.2 二次根式(2)教学内容1 a（a0）是一个非负数；2（ ） 2=a（a 0）教学目标理解 （a0）是一个非负数和（ a） 2=a（a 0），并利用它们进行计算和化简通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 （a0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ a） 2=a（a0）；最后运用结论严谨解题教学重
6、难点关键1重点： a（a0）是一个非负数；（ ） 2=a（a0）及其运用2难点、关键：用分类思想的方法导出 （a0）是一个非负数； 用探究的方法导出（ ） 2=a（a 0）教学过程一、复习引入（学生活动）口答1什么叫二次根式？2当 a0 时， 叫什么？当 a0；（2）a 20；（3）a 2+2a+1=（a+1）0；（4）4x 2-12x+9=（2x） 2-22x3+32=（2x-3） 20所以上面的 4 题都可以运用（ ） 2=a（a0）的重要结论解题解：（1）因为 x0，所以 x+10（ ） 2=x+1（2）a 20，（ 2a） 2=a2（3）a 2+2a+1=（a+1） 2又（a+1） 2
7、0，a 2+2a+10 ， 21a=a2+2a+1（4）4x 2-12x+9=（2x） 2-22x3+32=（2x-3） 2又（2x-3） 204x 2-12x+90，（ 2419x） 2=4x2-12x+9例 3 在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1 a（a0）是一个非负数；2（ ） 2=a（a0）;反之:a= （ a） 2（a0）六、布置作业1教材 P5 5，6，7，82选用课时作业设计第二课时作业设计一、选择题1下列各式中 15、 3a、 21b、 2ab、 20m、 14，二次根式的个数是（ ）A4 B
8、3 C2 D12数 a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（ ）Aa0 Ba0 Caa，则 a 可以是什么数？分析： =a（a 0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ） 2”中的数是正数，因为，当 a0 时， 2= 2()a，那么-a0（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知 2a=a，而a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？ aa，即使 aa 所以 a 不存在；当 aa，即使 -aa，a2，化简 2()x- 2(1)x分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握： 2a=a（a0）及其运用，同时理解当 a 2()a-C
9、 a = 2二、填空题1- 0.4=_2若 m是一个正整数，则正整数 m 的最小值是_三、综合提高题1先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 21a的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+ 2()a=a+（1-a）=1 ；乙的解答为：原式=a+ =a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_2若1995-a+ 20a=a，求 a-19952 的值（提示：先由 a-20000，判断 1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3x2 时，试化简 x-2+ 2(3)x+ 1025x。答案:一、1C 2A二、1-002 25三、1甲 甲没有先判定 1-
10、a 是正数还是负数 2由已知得 a-20000，a 2000 所以 a-1995+ a=a， 20a=1995，a-2000=1995 2，所以 a-19952=20003. 10-x212 二次根式的乘除教学内容a b （a0，b0），反之 ab= （a0，b0）及其运用教学目标理解 （a0，b0）， = （a0，b0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出 ab（a0，b0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出 ab= （a 0，b0）并运用它进行解题和化简教学重难点关键重点： （a0，b0）， = a b（a0，b0）及它们的运用难点：发现规律，导出 （a0，b0）关键：要
11、讲清 ab（a、0）,并验证你的结论答案:一、1B 2C 3.A 4.D二、113 6 212s三、1设：底面正方形铁桶的底面边长为 x，则 x210=303020，x 2=30302，x= 30 =30 2 a 21= 2a 验证：a 2=3221a=33222a=22(1)a= 21.212 二次根式的乘除(2)教学内容ab= （a0，b0），反过来 ab= （a0，b0）及利用它们进行计算和化简教学目标理解 ab= （a0，b0）和 ab= （a0，b0）及利用它们进行运算利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简教学重难点
12、关键1重点：理解 ab= （a0，b0）， ab= （a0，b0）及利用它们进行计算和化简2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1写出二次根式的乘法规定及逆向等式2填空（1） 96=_， 916=_；（2） 3=_， 3=_；（3） 416=_， 416=_；（4） 8=_， 38=_规律： 916_ ； 163_ ； 416_ ；38_ 3利用计算器计算填空:（1） 4=_，（2） 3=_，（3） 25=_，（4）78=_规律： 34_ ； 23_ ； 25_ ； 78_ 。每组推荐一名学生上台阐述运算结果（老师点评）二、探索新知
13、刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定： ab= （a0，b0），反过来， = （a0，b0）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目例 1计算：（1） 123 （2） 18 （3） 146 （4） 8分析：上面 4 小题利用 ab= （a0，b0）便可直接得出答案解：（1） 23= 1= 4=2 （2） 8= 3842= 3=2（3） 146= 16= =2（4） 8= = =2 2例 2化简：（1） 364 （2）2649ba（3） 2964xy （4） 25169xy分析：直接利用 = b（a0，b0）就可以达
14、到化简之目的解：（1） 364= 38（2）29ba=2ba（3） 264xy= 238xy （4） 2519= 251三、巩固练习 教材 P14 练习 1四、应用拓展例 3已知 6x，且 x 为偶数，求（1+x）2541x的值分析：式子 ab= ，只有 a0，b0 时才能成立因此得到 9-x0 且 x-60，即 60）和 ab= （a0，b0）及其运用六、布置作业1习题 162 2、7、8、92选用课时作业设计第二课时作业设计一、选择题1计算 1235的结果是（ ）A 275 B 7 C 2 D 272阅读下列运算过程：13， 5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化
15、简 26的结果是（ ）A2 B6 C 136 D 6二、填空题1分母有理化:(1) 2=_;(2) 12=_;(3) 1025=_.2已知 x=3，y=4 ，z=5，那么 yzx的最后结果是_三、综合提高题1有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为 3：1， 现用直径为 35cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2计算（1） 3nm（-31n） 32m（m0，n0）（2）-32a（ 2a）2n（a0）答案: 一、1A 2C二、1(1) 36;(2) ;(3) 1025 2 153三、1设：矩形房梁的宽为 x（cm），则长为 xcm，依题意，得：（ 3
16、x） 2+x2=（3 15） 2，4x2=915，x= （cm ），xx= x2= 4（cm 2）2（1）原式- 25nm 3n=-4325mn=-322n=-23（2）原式=-2223()mnanm=-223a=- 6a21.2 二次根式的乘除(3)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求重难点关键1重点：最简二次根式的运用2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程一、复
17、习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1计算（1） 35，（2） 7，（3） 82a老师点评： = 1， = 6， =2现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h1km，h 2km， 那么它们的传播半径的比是_它们的比是 12Rh二、探索新知观察上面计算题 1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式学生分组讨论，推荐 34 个人到黑板上板书老师点评：不是 12Rh=
18、 1212h.例 1(1) 53; (2) 42xy; (3) 238xy例 2如图，在 RtABC 中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求 AB 的长BAC解：因为 AB2=AC2+BC2所以 AB= .56= 16913()342=6.5（cm）因此 AB 的长为 6.5cm三、巩固练习练习 2、3四、应用拓展例 3观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：12= (1)2= -1，3= (3)32= - 2，同理可得： 14= - ，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（ 21+ 32+ 3+ 120）（ 20+1）的值分析：由题意可知，本题所给的
19、是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：原式=（ -1+ - + 4- + - 201）（ 20+1）=（ 20-1）（ 20+1）=2002-1=2001五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用六、布置作业1习题 162 3、7、102选用课时作业设计第三课时作业设计一、选择题1如果 xy（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）A （y0 ） B xy（y0） C xy（y0） D以上都不对2把（a-1） 1a中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）A B C- 1a D- 1a3在下列各式中，化简正确的是（ ）A 5=3 1 B 2=C 4ab
20、=a2 D 3x=x 14化简 37的结果是（ ）A- 2 B- 23 C- 63 D- 2二、填空题1化简 42xy=_（x0）2a 2化简二次根式号后的结果是_三、综合提高题1已知 a 为实数，化简： 3a-a 1，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确， 请写出正确的解答过程：解： 3a-a 1=a a-a 1=（a-1 ） a2若 x、y 为实数，且 y=2241xx，求 xyA的值答案:一、1C 2D 3.C 4.C二、1x y 2- 1a三、1不正确，正确解答：因为30a，所以 a0，原式 2aA-a 2a= 2a-a 2=-a a+ =(1-a) a2240xx-4=0，x
21、=2，但x+20，x=2，y= 14 21634xyxy.21.3 二次根式的加减(1)教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简重难点关键1重点：二次根式化简为最简根式2难点关键：会判定是否是最简二次根式教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式（1）2x+3x； （2）2x 2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a 2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减二、探索新知学生活动：计算下列
22、各式（1）2 +3 2 （2）2 8-3 +5 （3） 7+2 +3 97 （4）3 -2 + 2老师点评： （1）如果我们把 2当成 x，不就转化为上面的问题吗？2 +3 =（2+3） =5 2（2）把 8当成 y；2 -3 +5 =（2-3+5） 8=4 =8 2（3）把 7当成 z；+2 + 9=2 +2 +3 =（1+2+3） 7=6（4） 3看为 x， 2看为 y3 -2 +=（3-2） += + 2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2 与 8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的（板书）3 2+ 8=3 +2 2=53 + 7=3 3+3 =6所以，二次根式加减时
23、，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并例 1计算（1） 8+ （2） 16x+ 4分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解：（1） + =2 +3 =（2+3） 2=5（2） 6x+ 4=4 x+8 =（4+8） x=12例 2计算（1）3 8-9 13+3 2（2）（ 4+ 0）+（ - 5）解：（1）3 8-9 13+3 2=12 3-3 +6 =（12-3+6） 3=15（2）（ 4+ 0）+（ - 5）= 48+ 20+ 1- 5=4 +2 5+2 - =6 +三、巩固练习教材 P19 练习 1、2四
24、、应用拓展例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 293x+y2 3xy）-（x 2 1-5x yx）的值分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1） 2+（y-3 ）2=0，即 x= 1，y=3 其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式， 再合并同类二次根式，最后代入求值解：4x 2+y2-4x-6y+10=04x 2-4x+1+y2-6y+9=0（2x-1） 2+（y-3） 2=0x= 1，y=3原式= 93x+y2 3xy-x2 1+5x yx=2x + -x +5=x x+6 y当 x= 12，y=3 时，原式= +6 32= 4+3
25、 6五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并六、布置作业1习题 163 1、2、3、52选作课时作业设计第一课时作业设计一、选择题1以下二次根式： 12； 2； 3； 27中，与 3是同类二次根式的是（ ）A和 B和 C和 D和2下列各式：3 3+3=6 ； 17=1； 2+ 6= 8=2 2； 43=2，其中错误的有（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个二、填空题1在 8、 75a、 93、 25、 3a、3 0.2、-2 18中，与 3a是同类二次根式的有_2计算二次根式 5 -3 b-7 +9 的最后结果是 _三、综合
26、提高题1已知 2.236，求（ 80- 415）- （ 3+ 45）的值（结果精确到0.01）2先化简，再求值（6x yx+ 3）-（4x xy+ 36），其中 x= 32，y=2721.3 二次根式的加减(2)教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题教学目标运用二次根式、化简解应用题通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面
27、我们讲三道例题以做巩固二、探索新知例 1如图所示的 RtABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/ 秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动问：几秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米？（结果用最简二次根式表示）BACQP分析：设 x 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x，BQ=2x， 根据三角形面积公式就可以求出 x 的值解：设 x 后PBQ 的面积为 35 平方厘米则有 PB=x，BQ=2x依题意，得： 12x2x=35x2=35x= 35所以 35秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米答
28、： 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米例 2要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到 0.1m）？分析：此框架是由 AB、BC、BD、AC 组成，所以要求钢架的钢材， 只需知道这四段的长度解：由勾股定理，得AB= 2240ADB=2 5BC= 1C=所需钢材长度为AB+BC+AC+BD=2 5+ +5+2 =3 5+7 32.24+713.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m 的钢材三、巩固练习教材练习 3四、应用拓展例 3若最简根式 34ab与根式 2326ab是同类二次根式，求 a、b 的值（ 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是
29、指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同； 事实上，根式 2326ab不是最简二次根式，因此把 232b化简成|b|，才由同类二次根式的定义得 3a-b=2，2a-b+6=4a+3b解：首先把根式 232b化为最简二次根式：236ab= (16)a=|b| 6ab由题意得 4 263aba=1，b=1五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题六、布置作业1习题 163 7BA C2m1m4m D2选用课时作业设计作业设计一、选择题1已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 5，那么斜边的长应为（ ）（结果用最简二次根式）A5 2 B 50 C2 D以上都不对2小明
30、想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长方形的木框， 为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米（结果同最简二次根式表示）A13 10 B 130 C10 13 D5 13二、填空题1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的 2 倍，它的面积是 1600m2， 鱼塘的宽是_m（结果用最简二次根式）2已知等腰直角三角形的直角边的边长为 ， 那么这个等腰直角三角形的周长是_（结果用最简二次根式）三、综合提高题1若最简二次根式 23m与 2140n是同类二次根式，求 m、n 的值2同学们，我们以前学过完全平方公式 a22ab+b2=（ab） 2，你一定熟练
31、掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（ 3） 2，5= （ 5） 2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（ -1） 2=（ ） 2-21 +12=2-2 +1=3-2 2反之，3-2 =2-2 +1=（ -1） 23-2 2=（ -1） 2 3= -1求：（1） ；（2） 43；（3）你会算 12吗？（4）若 ab= mn，则 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由答案:一、1A 2C二、120 22+2三、1依题意，得223410n，283n， 23 所以 3m或 或 m 或 2（1） 2= 2(1)= +1 （2） 4
32、= = 3+1 （3） = 2()= -1 （4） mnab 理由：两边平方得 a2 b=m+n2 mn 所以 n21.3 二次根式的加减(3)教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1计算（1）（2x+y）zx （2）（2x 2y+3x
33、y2）xy2计算（1）（2x+3y）（2x-3y ） （2）（2x+1） 2+（2x-1） 2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（1） 单项式单项式；（2）单项式多项式；（3）多项式单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用二、探索新知如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ 仍成立整式运算中的 x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切， 当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式例 1计算:（1）（ 6+ 8） 3 （2）（4 6-3 2）2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律， 所以直接可用整式的运算规律解：（1）（ + ） = 3+ 8= 8+ 24=3 +2 6解：（4 6-3 ）2 =4 2 -3 2 2=2 3-例 2计算（1）（ 5+6）（3- ） （2）（ 10+ 7）（ 10- 7）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立解：（1）（ +6）（3- 5）=3 5-（ ） 2+18-6=13-3（2）（ 10+ 7）（ 10- 7）=（ 10） 2-（ 7） 2=10-7=3三、巩固练习课本练习 1、2四、应用拓展
