1、 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司典题精讲例 1 如图 4-1-1,已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3).图 4-1-1(1)求以 P1P2 为直径的圆的方程;(2)试判断点 M(6,9)、N(3,3) 、 Q(5,3)是在圆上,圆内,还是在圆外？思路分析:对于本题中圆的方程可从两个角度来考虑 :(1)从确定圆的条件考虑 ,需要求圆心和半径,可用待定系数法解决(解法一 ).(2)从图形上动点 P 的性质考虑,用求曲线方程的一般方法解决(解法二).(1)解法一:设圆心 C(a,b),半径 r,则由 C 为 P1P2 的中点得 a= =6239,5264b又由两点间的距
2、离公式得 r=|CP1|= ,10)6()(2所求圆的方程为(x-5) 2+(y-6)2=10.解法二:半圆上的圆周角是直角 ,对于圆上任一点 P(x,y),有 PP1PP 2. =-1,即 =-1.1Pk2 6349xy化简得 x2+y2-10x-12y+51=0,显然当点 P 与 P1、P 2 重合时 ,也满足上述方程.综上可知(x-5) 2+(y-6)2=10 为所求圆的方程.(2)分别计算点到圆心的距离:|CM|= ;10)69()56(22|CN|= ;33|CQ|= .)()(22因此,点 M 在圆上,点 N 在圆外,点 Q 在圆内.绿色通道:解法一从圆的两个要素入手 ,确定出圆心
3、和半径,解法二则从动点的几何特征入手,将圆周角为直角这一特征用坐标加以表示.对于本题还可直接通过三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质列方程求解.另外,本题也可直接套用公式,即以点 P1(x1,y1)、P 2(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x 1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.变式训练 1在本题中,求以 P1 为圆心,|P 1P2|为半径的圆,并判断点 M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上、圆内、还是圆外？解:由两点间的距离公式,得http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司r=|P1P2|= ,40)93()46(22所以,以 P1 为圆心,|
4、P 1P2|为半径的圆的方程为(x-4) 2+(y-9)2=40.(6-4) 2+(9-9)2=40,所以该方程表示圆心为1D3E( ),半径为 的圆.3,1105(3)在 3x2+2y2+3x-3y+5=0 中,因二次项系数不相等,所以该方程不是圆的方程.绿色通道:对于这类问题,首先看题中所给方程是否能化为圆的方程的一般式形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0,在 D2+E2-4F0 的情况下,则有( )为圆心, 为2ED1FED42半径.不必死记这个公式,要掌握通过配方将圆的一般式转化为圆的标准式的方法.变式训练 3已知方程 x2+y2-2kx+2k+3=0 表示圆,则 k 的取值范围是(
5、)A.(-,-1) B.(3,+)C.(-,-1)(3,+) D.答案:C例 3 证明 A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)、D(6,0)四点共圆,并求出此圆的圆心和半径.思路分析:首先由不共线三点确定一个圆 ,然后再证第四个点在圆上,用待定系数法.解法一:设所共圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.将 A、B、D 三点坐标代入得 .12,8.036,458FEDFDE解 得故过 A、B、D 三点的圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.把点 C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.点 C 在该圆上. =4, =1,http:/ 或 http:/中鸿智业信息
6、技术有限公司圆心为(4,1),r= 524FED综上,可得四点共圆于圆心为(4,1),半径为 的圆,其方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.解法二:AB 边的中点为( ),斜率为 kAB= .25,73125AB 边的垂直平分线的方程为 y- =-3(x- ),7即 3x+y-13=0.BC 的中点为(4,1),k BC= =2,BC 边的垂直平分线的方程为 y-1=- (x-4),21即 x+2y-6=0.,解组成的方程组得 .,4yx圆心为(4,1),半径 r= .5)21()4(所求圆的方程为(x-4) 2+(y-1)2=5.绿色通道:圆的标准方程中有三个未知量 a,b,r;圆的一般
7、方程有三个未知量 D,E,F.故确定一个圆需要三个独立的条件,一般利用待定系数法确定.这需要把题目中的已知条件一一转化为关于未知量的方程,利用方程组获得 a,b,r 或 D,E,F 的值,进而确定圆的方程 .其基本步骤为:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2 或设方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0;(2)根据已知条件,建立关于 a、b、r 或 D,E,F 的方程组;(3)解方程组,求出 a、b、r 或 D,E,F 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.不过有时利用圆的几何性质解题,会有更简捷的解题途径.变式训练 4一个等腰三角形底边上的高
8、等于 4,底边两端的坐标是(-3,0)、(3,0),求它的外接圆方程.图 4-1-2答案:圆的方程为 x2+(y+ )2= 或 x2+(y- )2= .8764587645例 4 设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹.思路分析:本题关键是找出点 P 与定点 M 及已知动点 N 之间的联系 ,用平行四边形对角线互相平分这一定理即可.解:如图 4-1-3 所示,设 P(x,y),N(x0,y0),线段 OP 的中点坐标为( ),线段 MN 的中点坐标为(2,yxhttp:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有
9、限公司).24,30yx图 4-1-3因为平行四边形对角线互相平分,故 ,24,3200yx从而 .N(x+3,y-4)在圆上,.,0y故(x+3) 2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆:(x+3) 2+(y-4)2=4,但应除去两点( )和( ).51,98,绿色通道:如果动点 P(x,y)的轨迹依赖于另一动点(a,b) 的轨迹,而 Q(a,b)又在已知曲线上,则可先列出关于 x,y,a,b 的方程组,利用 x,y 表示出 a,b,把 a,b 代入已知曲线方程便可得动点 P的轨迹方程,此法称为相关点法(亦称代入法或转移法).变式训练 5设 A(-c,0)、B(c,0)(c0)为两定点,动点
10、 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a(a0),则 P 点的轨迹为_.思路解析:利用两点距离公式列式求解并注意讨论 .答案:当 a1时,P 点的轨迹表示以 ( c,0)为圆心,以 为半径的圆;当 a=1 时,P 点12a|12|ac的轨迹表示的直线即为 y 轴.例 5 有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A、B 两地距离 10 km,顾客选A 地或 B 地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求 A、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲
11、线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.思路分析:首先要建立以 A 或 B 为中心的购买区域,因为每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,因此,顾客所在地到 A 地距离是到 B 地距离的 ,以此为等量关系,所以满足此条件的31范围应为某区域,我们可以建立以 AB 为横轴的直角坐标系.解:以 A、B 所确定的直线为 x 轴,A、B 中点 O 为坐标原点,建立直角坐标系.如图 4-1-4,则A(-5,0)、 B(5,0).http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司图 4-1-4设某地 P 的坐标为(x,y), 且 P 地居民选择 A 地购买商品便宜 ,并设 A 地的运费为 3a
12、 元/km,B地的运费为 a 元/km.价格+x A 地运费 价格+x B 地运费,所以 3a 22)5()5(yxx因为 a0,所以 3 .22)(两边平方,得 9(x+5)2+9y2(x-5)2+y2,即(x+ )2+y2( )2.415所以,以点 C( ,0)为圆心、 为半径的圆是这两地购货的分界线.4515圆 C 内的居民从 A 地购货便宜;圆 C 外的居民从 B 地购货便宜;圆 C 上的居民从 A、B 两地购货的总费用相等 ,因此,可随意从 A、B 两地之一购货.绿色通道:(1) 坐标法是研究解析几何问题的一个重要方法,在解决实际问题时要注意建立适当的直角坐标系,用坐标法进行求解.(
13、2)在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活及相关学科中的运用 .(3)解有关实际应用题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法 .变式训练 6在气象台 A 正西方向 300 千米处有一台风中心 ,它以每小时 40 千米的速度向东北方向移动,距台风中心 250 千米以内的地方都要受其影响.问:从现在起,大约多长时间后,气象台 A 所在地将遭受台风影响?持续多长时间？解:以气象台为坐标原点,以正东方向为 x 轴正方向,建立直角坐标系,如图 4-1-5,则现在台风中心 B 的坐标为(-300,0).根据题意,可知 t 小时后 B的坐标为 (-300+40tcos45,40tsin45),
14、即(-300+ t, t).因为以台风中心为圆心 ,以 250 千米为半径的圆上或圆内的点将遭受20台风影响,所以 B在圆上或圆内时,气象台将受台风影响.图 4-1-5所以令|AB|250,即(-300+ t)2+( t)22502,0整理得 16t2- t+2750,1http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司解得 ,1.99t8.61.4752147521t故大约 2 小时后,气象台 A 所在地将遭受台风影响 ,大约持续 6 个半小时.问题探究问题 1 我们知道圆的方程有两种形式,那么请想一想使用时该如何去选择呢？导思:(1)求圆的方程的基本方法:确定圆的方程需要三个独立条件,
15、“选标准,定参数”是解题的基本方法.其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式,进而确定其中三个参数.一般来讲,条件涉及圆上的点多,可选择一般方程,条件涉及圆心与半径,可选择标准方程.(2)求圆的方程的一般步骤:根据题意选用圆的方程两种形式中的一种;根据所给条件,列出关于 D、E、F 或a、b、r 的方程组;解方程组,求出 D、E、F 或 a、b、r 的值,并把它们代入所设的方程中,得到所求的圆的方程.探究:先来研究一下这两种形式的方程的特点 :圆的标准方程突出了圆心坐标 (a,b)以及半径 r;圆的一般方程则突出了圆上任意一点的坐标的二次关系,表明了方程形式上的特点.因而在解题时,要充
16、分利用不同方程的特点来简化解题过程.在求圆的方程时,一般都需要三个独立的条件来确定圆的方程.当给出的条件与圆心坐标、半径有关,或者由已知条件容易求得圆心坐标和半径时,一般用圆的标准方程比较方便;否则,用圆的一般方程较好,特别是当给出圆上三点坐标时,用一般方程可以得到关于 D、E、F 的三元一次方程组,这比用圆的标准方程简便得多.问题 2 圆的标准方程与圆的一般方程二者之间有什么联系？二者之间如何转化？导思:若把标准方程化为一般方程 ,只需将展开式中的常数项合并即可.若把一般方程化为标准方程,应先将 x2,y2 的系数化成 1,再通过配方法化成标准式,但要注意,在方程x2+y2+Dx+Ey+F=
17、0 中,只有 D2+E2-4F0 时才表示圆.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径,圆的一般方程突出了方程形式上的特点,两种方程可相互转化.探究:教材中先由圆的定义得出圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2,然后将标准方程展开,得到一般方程的形式.而一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 经过配方可得(x+ )2+(y+ )2=DE,又可得到圆的标准方程.所以标准方程 一般方程,它们之间可以相互42FED转化.对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,(1)只有当 D2+E2-4F0 时才表示圆,此时圆心坐标为(),半径为 ;(2)若 D2+E2-4F=0,方程表示一个点( );(3), FED412 2,EDD2+E2-4F0 时 ,方程不表示任何图形.
