1、4.1.1 圆的标准方程教案篇一：4.1.1 圆的标准方程 教案 (新人教A 版必修 2)第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程整体设计教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础. 也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学
2、习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.三维目标1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.
3、2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法. 包括已知切点求切线 ,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件 ,利用待定系数法求圆的标准方程.课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明: 在白纸上要表演的是
4、一个小魔术,名称是日出,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图( 指出数学作图的严谨性 )；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路 2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个
5、方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题 已知两点 A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知 C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离 ? 具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 图 1 中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图 1 我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么? 如果已知圆心坐标为 C(a,b),圆的半径为 r,我们如何写出圆的方程? 圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？2
6、2 讨论结果：根据两点之间的距离公式(x1?x2)?(y1?y2),得 22|AB|=(2?6)?(9?5)?212, |CD|=(x?3)?(y?8). 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆). 圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点 ,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小. 确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. 确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为 r(其中 a、b、r 都是常数,r0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M
7、 满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|=r,由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件 22(x?a)2?(y?b)2=r.将上式两边平方得(x-a)+(y-b)=r.222 化简可得(x-a)+(y-b)=r.若点 M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点 M 的坐标满足方程,反之若点 M 的坐标满足方程 ,这就说明点 M 与圆心 C 的距离为r,即点 M 在圆心为 C 的圆上.方程就是圆心为 C(a,b),半径长为 r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程. 这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点 (a,b)、r 分别表示222 圆心的坐标
8、和圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为x+y=r.222提出问题 根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? 确定圆的方程的方法和步骤是什么? 坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?222 讨论结果：圆的标准方程(xa)(y b)=r 中,有三个参数 a、 b、r, 只要求出 a、b、r且 r0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件. 确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、b、r 或直接求出圆心(a,b)和半径 r,一般步骤为：2221根据题意,设所求的圆的标准方程(x
9、a)(yb)=r；2根据已知条件 ,建立关于 a、b、r 的方程组；3解方程组,求出 a、b、r 的值,并把它们代入所设的方程中去 ,就得到所求圆的方程.222点 M(x0,y0)与圆(x-a)+(y-b)=r 的关系的判断方法：222222 当点 M(x0,y0)在圆(x-a)+(y-b)=r 上时,点 M 的坐标满足方程(x-a)+(y-b)=r.222222 当点 M(x0,y0)不在圆(x-a)+(y-b)=r 上时,点 M 的坐标不满足方程(x-a)+(y-b)=r.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:2221点到圆心的距离大于半径,点在圆外?(x0-a)+(y0-b)r,点在圆
10、外;2222点到圆心的距离等于半径,点在圆上?(x0-a)+(y0-b)=r,点在圆上;2223点到圆心的距离小于半径,点在圆内?(x0-a)+(y0-b)r,点在圆内.应用示例思路 1例 1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是 3； 圆心在点 C(3,4),半径是;(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3)；(4)圆心在点 C(1,3),并且和直线 3x-4y-7=0 相切.22222 解 :(1)由于圆心在原点,半径是 3,所以圆的标准方程为(x-0)+(y-0)=3,即 x+y=9.222(2)由于圆心在点 C(3,4),半径是 5,所以圆的标准方程是(x-3)+
11、(y-4)=(5),即22(x-3)+(y-4)=5.22(3)方法一 :圆的半径 r=|CP|=(5?8)?(1?3)?2225=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)+(y+3)=25.222 方法二:设圆的标准方程为(x-8)+(y+3)=r, 因为圆经过点 P(5,1),所以222222(5-8)+(1+3)=r,r=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)+(y+3)=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.222(4)设圆的标准方程为(x-1)+(y-3)=r,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以 r=|3?12
12、?7|25?|16|25.因此所求圆的标准方程为(x-1)+(y-3)=22256. 25点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例 2 写出圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.解: 圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的标准方程是22(x-2)+(y+3)=25,把点 M1(5,-7),M2(-,-1)分别代入方程 (x-2)+(y+3)=25, 22则 M1 的坐标满足方程,M1 在圆上.M2 的坐标不满足方程,M2不在圆上.点评: 本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点
13、,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上从代数到几何.例 3 ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.222 活动：教师引导学生从圆的标准方程 (x-a)+(y-b)=r 入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数.另外可利用直线 AB 与 AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.222 解法一:设所求的圆的标准方程为 (x-a)+(y-b)=r,因为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,22
14、2 它们的坐标都满足方程(x-a)+(y-b)=r,于是?(5?a)2?(1?b)2?r2,?222?(7?a)?(?3?b)?r?(2?a)2?(?8?b)2?r2.?(1)(2) (3)?a?2,?22 解此方程组得?b?3,所以 ABC 的外接圆的方程为(x-2)+(y+3)=25.?r?5.?解法二:线段 AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+1=12(x-6).同理线段 AC 的中点坐标为 (3.5,-3.5),斜率为 3,所以线段 AC 的垂直平分线的方程为 y+3.5=3(x-3.5). 22 解由组成的方程组得 x=2,y=-3,
15、所以圆心坐标为(2,-3), 半径 r=(5?2)?(1?3)=5,所以ABC 的外接圆的方程为(x-2)+(y+3)=25.点评: ABC 外接圆的圆心是ABC 的外心,它是ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.思路 2例 1 图 2 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高 OP=4 m,在建造时每隔 4 m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长度(精确到0.01 m). 22图 2解: 建立坐标系如图,圆心在 y 轴上,由题意得 P(0,4),B(10,0).222 设圆的方程为 x+(y-b)=r,
16、因为点 P(0,4)和 B(10,0)在圆上,222?b?10.5,?0?(4?b)?r,所以?2 解得?2 222?r?14.5,?10?(0?b)?r.所以这个圆的方程是 x+(y+10.5)=14.5.222 设点 P2(-2,y0),由题意 y00,代入圆方程得(-2)+(y0+10.5)=14.5,解得 y0=.52?22-10.514.36-10.5=3.86(m).答：支柱 A2P2 的长度约为 3.86 m.例 2 求与圆 x+y-2x=0 外切,且与直线 x+3y=0 相切于点(3,-) 的圆的方程. 22222活动: 学生审题 ,注意题目的特点 ,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.22222 解 :设所求圆的方程为(x-a)+(y-b)=r.圆 x+y-2x=0 的圆心为(1,0),半径为 1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和 ,即由圆与直线 x+(a?1)2?(b?0)2=r+1,y=0 相切于点(3,-),得?b?1?(?)?1,?3?a?3?|a?3b|?r.?(3)2?解得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-43,r=6. (2) (3)
