1、常微分方程练习试卷一、 填空题。 1. 方程 是 阶 （线性、非线性）微分方程.2310dxt2. 方程 经变换 ，可以化为变量分离方程 .()yfx_3. 微分方程 满足条件 的解有 个.320d()1,(0)2y4. 设常系数方程 的一个特解 ，则此方程的系数 ， ， .xye*xxee5. 朗斯基行列式 是函数组 在 上线性相关的 ()0Wt12(),()ntt ab条件.6. 方程 的只与 有关的积分因子为 .2(3)xydydy7. 已知 的基解矩阵为 的，则 .)XAt(tAt8. 方程组 的基解矩阵为 205x9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 . 是满足方程 和初
2、始条件 的唯一解. 251yy11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 的特征根是 0y二、 计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2求解方程 . 13dyx3. 求解方程 。22()0t4用比较系数法解方程. . 5求方程 的通解. sinyx6验证微分方程 是恰当方程，并求出它的通解. 22(cosi)(1)0xydxdy7设 ， ，试求方程组 的一个基解基解矩阵 ，求 满足初始条件 的解. 3124AXAdt)(tXAd)0(x8. 求方程 通过点 的第二次近似解.2dyxy(1,0)9.求 的通解10
3、.若 试求方程组 xA的解 并求 expAt(),t120,三、证明题1. 若 是 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 ，使得 .(),t()XAtC()t2. 设 是积分方程()0x ,)(020 xdyyx的皮卡逐步逼近函数序列 在 上一致收敛所得的解，而 是这积分方程在 上的连续解，试用逐步逼近法证明：在 上 .)(n, )(,)(x3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程 的一个基本解组. 试证明: (i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.4.试证：如果 是 满足初始条件
4、 的解，那么)(tAXd)(0t )(exp)(0tAt.答案一.填空题。1. 二，非线性 2. ， 3.无穷多 4.uxy1()duxf3,215.必要 6. 7. 8. 9. 31t250tAte10. 11.214A3()8d12. 1, 二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 解: 设曲线方程为 , 切点为( x,y), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意可得如下初值问题: . 分离变量, 积分并整理后可得 . 代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 .2.求解方程 . 13dyx解：由 求得 令 0,xy,2y
5、1,2xy则有 令 ，解得 ,积分得 ,.dz2(1)zd2arctnl()ln|zzC故原方程的解为 . 22arctnl()()yxyCx3. 求解方程 22()0dt解 令 ，直接计算可得 ，于是原方程化为 ，故有 或 ，积分后得 ，即 ，所以 就是原方程的通解，这里 为任意常数。4.用比较系数法解方程. . 解：特征方程为 , 特征根为 . 对应齐方程的通解为 . 设原方程的特解有形如 代如原方程可得利用对应系数相等可得 , 故 . 原方程的通解可以表示为( 是任意常数). 5.求方程 的通解. sinyx解：先解 得通解为 , 令 为原方程的解， ce()xyce代入得 , 即有 ,
6、 ()()sinxxxcesinx积分得 , 所以 为原方程的通解. 1sico21(co)2ycex6验证微分方程 是恰当方程，并求出它的通解.22(coin)(1)0xydxd解：由于 ，因为 所以原方程为恰当方程. 22,)si,MyNyx 2MNxy把原方程分项组合得 ,22coin()0xdxd或写成 , 故原方程的通解为 .211(si)dy22sinxyC7设 ， ，试求方程组 的一个基解基解矩阵 ，求 满足初始条件 的解. 324A1XAdt)(tXAd)0(x解：特征方程为 3det()(2)50,24E求得特征值 ,对应 的特征向量分别为 12,512,121,(0).V可
7、得一个基解矩阵，又因为 ， 25().ttet1(0)3于是，所求的解为 )0()(1t2513tte 2534tte8. 求方程 通过点 的第二次近似解.2dyxy(,)解: 令 ，于是 0()2210013(),xyxdx223452011()3() ,0xyxdxx9.求 的通解解：方程可化为3284dyx， 令dypx则有3284y（*） ，（*）两边对 y 求导得32232()(8)py，即32(4)0d，由0dp得12cy，即2()p.将 y 代入（*）得2cx，即方程的 含参数形式的通解为：24()pcy，p 为参数；又由3240p得123(4)代入（*）得 347yx也是方程的
8、解 . 10.若 试求方程组 xA的解 并求 expAt(),t120,解：特征方程21()694p，解得 1,23，此时 k=1, 1n。12v， 232210 ()()()!it itieAEe由公式 expAt= 0!intie得333101xp() 1t t ttAEete三、证明题1. 若 是 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 ，使得 .(),t()XAt C()t4A证： 是基解矩阵，故 存在，令 ，()t1()t1()()Xtt则 可微且 ，易知 . Xde0所以 而()()()ttt()()AttXt()()AtXt，所以 , AX（常数矩阵） ，故 .()0,Xt(
9、)tC()tC2. 设 是积分方程),()0x ,)(020 xdyyx的皮卡逐步逼近函数序列 在 上一致收敛所得的解，而 是这积分方程在 上的连续解，试用逐步逼近法证明：在 上 .)(n, )(,)(x证明：由题设，有 xdy0,)(2， .,)(00x xnn x0 ,)()( 012 ),21(n下面只就区间 上讨论，对于 的讨论完全一样。0 0因为 其中 ，),()|(|)(| 0200 xMdx |)(|max2, x所以 0 02 21000|()|(|)(|)()(),!x xLLd其中 , 设对正整数 有 ,则有ma2,xLnnnnxx)(!|)()(| 011,021xnn|
10、()|d )(!)1)(! 10010 nx nnn xMLdxML故由归纳法，对一切正整数 ，有k. 1110|()()|()()!kkkkkMLLxx而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当 时，它 ,因而函数序列 在 上一致收敛于 .根据极限的唯一性, 即得)(xn0)(x, . 3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程 的一个基本解组. 试证明: (i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.证明: 和 的伏朗斯基行列式为因 和 是基本解组, 故 . 若存在 , 使得 , 则由行列式性质可得 , 矛盾. 即最多只能有简单零点. 同理对 有同样的性质, 故(i)得证. 若存在 , 使得 , 则由行列式性质可得 , 矛盾. 即 与 无共同零点. 故(ii)得证. 若存在 , 使得 , 则同样由行列式性质可得 , 矛盾. 即 与 无共同零点. 故(iii)得证 . 4.试证：如果 是 满足初始条件 的解，那么)(tAXd)(0t )(exp)(0tAt.证明：因为 是 的基本解矩阵， 是其解，所以存在常向量 使得： ， texpCexptC令 ，则： ， 所以 ， 0tC010)(expt故 1 0()t(t) (t)
