1、常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是_.3 方程 的基本解组是_.0y4 一个不可延展解的存在区间一定是_区间.5 方程 的常数解是_.21dx6 方程 一个非零解为 x1(t) ,经过变换_0)()(xqtpt7 若 4(t)是线性方程组 的基解矩阵, 则此方程组的任一解 4(t)=_.XA8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的 2 倍,则此曲线方程为_.9 满足_条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分
2、方程为_.11 一阶线性方程 有积分因子( ).)(xqyp12 求解方程 的解是( ).dx/13 已知( 为恰当方程,则 =_.0)322dyxya a14 , , 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).0)(2yxd1:R15 方程 的通解是( ).0652ydx16 方程 的阶数为_.534y17 若向量函数 在区间 D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列)();(321 xxn式 w (x)=_.18 若 P(X)是方程组 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为 _.)(Ady二 单项选择:1 方程 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).yx31(A)上半平面 (B) 平面
3、(C)下半平面 (D)除 y 轴外的全平面o2 方程 ( ) 奇解.1dx(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个3 在下列函数中是微分方程 的解的函数是( ).0y(A) (B) (C) (D)1yxxsinxey4 方程 的一个特解 形如( ).ex *y(A) (B) (C) (D)bax bxacbxaecbxae5 连续可微是保证方程 解存在且唯一的( ) 条件)(yf yfd（A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).(A)构成一个 2 维线性空间 (B)构成一个 3 维线性空间(C)不能构成一个线性空间
4、(D)构成一个无限维线性空间7 方程 过点(0,0)有( ).3ydx(A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解 8 初值问题 x , 在区间, 上的解是( ).101)0( t(A) (B) teut)( (C) (D) tut)( etut)( eut)(9 方程 是( ).0cos2xydx(A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程 (D)二阶线性方程10 方程 的通解是( ).032dxy(A) (B) (C) (D)eC21 xeC321xe321xeC3211 方程 的一个基本解组是( ).04ydxy(A) (B) (C) (D)e2,
5、xe2,1xe2,xe2,12 若 y1 和 y2 是方程 的两个解,则 （e 1,e20)()(yqdpy 21yy为任意常数）(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解 (C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解13 方程 过点(0,0)的解为 ,此解存在 ( ).21ydxxysin(A) (B) (C) (D),(0,()02,14 方程 是( ) .xey23(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程15 微分方程 的通解是( ).01xd(A) (B) (C) (D)cycycxy1cxy16 在下列函数中是微分方程 的解的函数是(
6、).(A) (B) (C) (D)1yxyysinxey17 方程 的一个数解 形如( ).e x(A) (B) (C) (D)baxbaxcbaecbxae18 初值问题 在区间 上的解是( ).10 1)(; t(A) (B) (C) (D) tut)( teutt)( tteu)( tteu)(三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通积分:(1) (2) (3) (4)nydxxydxy21 5xyd(5)0)(223)(2 求方程的解 )4()5(xt3 解方程: 并求出满足初始条件: 当 x=0 时,y=2 的特解ydcos24 求方程: xtg5 求方程: 的通解26y6 求
7、的通解.0)4()3( 32dydx7 求解方程: 024xdttx8 求方程: 的解145tt9 求方程 的通解2xy10 求下列方程组的通解 xdtytsin111 求初值问题 的解的存在区间并求出第二次近似解0)1(yx1:Ry12 求方程的通解(1) (2) (3) (三种方2yxdxdxytan 0)4()3(2dyxxy法) (4) 04524y13 计算方程 的通解xysin314 计算方程 tdttxcos4215 求下列常系数线性微分方程: xey210216 试求 x 的基解矩阵02117 试求矩阵 的特征值和对应的特征向量.1A418 试求矩阵 的特征值和特征向量5319
8、 解方程组 12y21y四 名词解释1 微分方程 2 常微分方程、偏微分方程 3 变量分离方程 4 伯努利方程 5 条件 6 线性相关Lipschtz五 证明题1 在方程 中已知 p(x);q(x)在 上连续0)( yxqpy );(求证:该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切.2 设 x1(t)、x 2(t)分别是非齐次性线方程)()(11tfxtGdtt nnn )()()(211 tfttxtxnnn证明：x 1(t)+x2(t)是方程 的解。)()()( 2111 tftxtGdtxt nnn 3 设 f (x)在0；+ 上连续且 f (x)=0 求证：方程 的一切解
9、y(x)；limfyd均有 y (x)=0li4 在方程 中 p(x)、q(x) 在（ ）上连续；求证：若 p(x)恒不0)( yxqp,为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式 w（x）是（ ）上的严格单调函数。,5 证明：x 1(t)+x2(t)是方程 的解。)()(211 tfadtcextnnn 6 证明：函数组 （其中当 时 ）在任意区间（a ,b）上线xxn21, jiji性无关。常微分方程习题答案一 填空题:1、 22、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、 ex ; xexx4、 开5、 1y6、 dtx7、 ,c 为常数列向量ct)(8、 y=x2+c9、 初始1
10、0、常微分方程11、e p(x)dx12、x 2+y2=c ; c 为任意正常数13、/14、 1;15、 2615pycx16、417、018、 ；其中 c 是确定的 n 维常数列向量x)(二 单项选择1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D三 求下列方程的解1 (1）解：当 时，分离变量取不定积分，得1,0yCdxn通积分为 1ny= Cex（2）解：令 y= xu , 则 代入原方程，得,duy21dxu分离变量，取不定积分，得（ ）nCxu12 0通积分为： nCxy
11、1arcsi（3） 解： 方程两端同乘以 y-5,得d45令 y -4= z ，则 代入上式，得,-5dxzx41通解为 41Cez原方程通解为 4xy（4） 解： 因为 ， 所以原方程是全微分方程。NM2取（x 0,y0）=（0，0）原方程的通积分为xyCd02即 321（5） 解：原方程是克莱洛方程，通解为： y = cx+2c32 解：设 则方程化为 ，积分后得 y = ct 即dtxy0tdx ctdx于是 x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5 其中 c1 , c2 , c3 , c4 , c5 为任意常数= )()()()(t()2 111ntxGtGttxGnnnn =
12、f1(t) + f2(t)故 x1(t)+x2(t)为方程 =f1(t)+f2 (t)的解。)()()(11 txGdtxGdtxnnn 3 解： 将变量分离，得到xycos2两边积分，即得 in1因而，通解为cxysin1这里 c 是任意常数。以 x=0 , y=1 代入通解中以决定任意常数 c，得到 c = -1因而，所求特解为 xysin14 解：以 及 udx 代入，则原方程变为uxytg即 xtud将上式分离变量,即有 ctg两边积分,得到 cxnusi这里 是任意函数,整理后,得到ceci令 ,得到 sinu = cxe5 解: 令 z = y-1 得 dxyz2代入原方程得到z6
13、这是线性方程,求得它的通解为826xcz代回原来的变量 y , 得到126xcy这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0 。6 解： 这里 M =3x2+6xy2 .N = 6x2y+4y3 ，这时xyNy1.因此方程是恰当方程。现在求 u ，使它同时满足如下两个方程263xy324y由（1）对 x 积分，得到 )(23yxu为了确定 ，将（3）对 y 求导数，并使它满足（2） ，即得)(y32246)(6yxdyxyu于是 = 4y4y)(积分后可得 =y4 )(将 代入（3） ，得到 )(yu = x3 + 3x2y2 + y4因此，方程的通解为x3 + 3x2y2 + y4=c这里
14、c 是任意常数7 解： 特征方程 即特征根 i 是重根，因此方程有四个实值解0124cost、tcost 、sint 、tsint故通解为 x = (c1+c2t)cost + (c3+c4t)sin 其中 c1 ; c2 ; c3 ; c4 为任意常数8 解： 令 则方程化为：ydt4 0ytd积分后得 y=ct 即 于是 x=c1t5 + c2t3 + c3t2 + c4t1 + c5ctx4其中 c1 ; c2 c5 为任意常数 ，这就是原方程的通解。9 解 对应齐次方程的特征方程为 ，052特征根为 ,021齐次方程的通解为 y=C1+C2e5x因为 a=0 是特征根。所以，设非齐次方
15、程的特解为y1(x)=x（Ax 2 + Bx + C）代入原方程，比较系数确定出A= ， B= ，C=35原方程的通解为xxeCy251352110 解： 先解出齐次方程的通解=C1 +C2yxtsincotcsi令非齐次方程特解为 =C1(t) +C2(t)yxtsitcosin满足)(,21tC=tsincot)(21t0sint解得 ,i)( 21tCt积分，得 tn)(s通解为 ttnttCtyx cosi1scosinsico2111 解： M=max =4 故解的存在区间为),(f 4),mi(Mbah 41x2) q0(x)=0 q1(x)=0 3|02xgdxq2(x)=0+
16、xx gg9162932 = 460189312 求方程的通解: 1) 2yxd解: 变形 (1),将 y 看作自变量, x 为未知函数xydxy12解齐线性方程 , 通解为 x = cy令 x = c (y)y (2)微分得, )()(ycdycd由(1)(2)知 yc)()(,积分得 故 ( 是任意常数)1)(dcy)(cyx2) xydxytan解: 令 则 , 于是uudxy则原方程变为 udxtan即 xtan将上式分离变量有 xcot积分得 为任意常数。,1sinu整理 ec令 得 0)0(sicx方程还有解 tanu=0 即 sinu=0, 故通解为 sinu = cx (c 为
17、任意常数)3） (三种方法)4()(2dyxy解：法一，这里 M=y-3x2 , N= - (4y-x )= 4-4y 因此此方程是恰当方程1xNyM现求 u 使 （1） ， （2）23yxu4对（1）中 x 积分得 （3）)(3y对（3）中 y 求导 ydxu4)(积分得 ，代入（3）得 2)( 23yxu故通解为 ，c 为任意常数yx法二，重新组合得，即0432ddy 023xdydxy)(23yx于是通解为 其中 c 是任意常数。4） 04)(5)(24ydxy解： 令 则p 42215,pyp对 x 求导得 0)(,)(333 pdxdxdxP积分得 cpccp34242 4155,)
18、5(于是方程通解为 （p=0）42315pyx13 方程 的通解 xsin34解： 齐次方程是 iy2,04, 12tctysi2o1由于 2i 是特征方程单根故所求特解应具形式 )2sinco(1xbAxy代入原方程 0,430,34BBxy2cs1故通解为 ，其中 c1c2 为任意常数tctsino42114 txdtcos42解：特征方程 有重根0221因此对应齐线性方程的通解为 ，其中 c1,c2 为任意常数。tecx)(因为 不是特征根，现求形如 的特征解，iBAsino代入原方程化简 t 3)(4 B)cst-(3于是 故 0341A25故通解为 其中 c1,c2 为任意常数tte
19、tcxsin4co3)(115 求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为 特征方程为02y02特征根为 a 不是特征根，i31故原方程有形如 y*=(ax+b) e 2x 的特解代入原方程得 51,ba故原方程通解为 ， （ 为任意常数）xx etcty 221 )01()3sino(21,c16 解：因为 = + 而且后面的两个矩阵是可交换的02A0得到 t = E + t +expt2et12te01但是，021!t= 021所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是 exp2tA17 解： 特征方程为1)det(E09642因此， 是 A 的二重特征值.为了寻求对应于 的特征向量,考虑方程组
20、331)(cE021c因此, 向量ac是对应于特征值 的特征向量,其中 是任意常数.3018 解 A 特征方程为 5)det(EA03632特征根为 对应于 1=3+5i 的特征向量 满足i532,1 u解得 u = a 为任意常数)(1iuEA00对应于 特征向量 满足i532uvi1解得 为任意常数 0)(2vEA1i019 解: 的特征方程为 1313)det(AE0)4(121=1, 2=4 为特征根, 为方程组解 a 为任意常数. au10)4(为方程组解.20)4(uEA这样 为方程的解21ay四 名词解释1 联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。2 如果在微分
21、方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。3 形如 )(yxfd的方程，称为变量分离方程，这里 分别是 x , y 的连续函数。)(f4 形如 nyxQPdxy)(的方程，称为伯努利方程，这里 为 x 的连续函数， 是常数)(, 1,0n5 函数 f (x , y)称为在 R 上关于 y 满足 条件，如果存在常数 L0,使得Lipschtz不等式 2121).().(xfy对于所有 都成立, L 称为 常数., isctz6 定义在区间 上的函数 , 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , bta)(,)(21xtxk. ck 使得恒等式
22、对于所有 都成立,称这01 tcct bat些函数是线性相关的.五 1 在方程 中,已知 p (x),q (x)在 上连续,0)( yxqpy )(求证:该方程的任一非零解在 平面上不能与 x 轴相切.o证明：方程 ，设 是它的任一非零解。)( )(y若 p (x),q (x)在 上连续，假设 在 平面上与轴相切。,oy则 与方程有非零解 矛盾。0)(yxy)(xy故 与 x 轴不相切。2 由已知得 )()()(111 tfxtGdtt nnn )()()(211 tftttxnnn把 x1(t)+x2(t)代入方程 由左端得)()()( 2111 tfttxGdtt nnn =)()()()
23、( 2111 tttxtGdt nnn)()()()()()( 21111 txGtxdtxGndtxdtxt nnnnnn 3 证明 设 y = y(x)是方程任一解，满足 y (x 0) = y0 ，该解的表达式为000)()( xxsxefey取极限 0000 )(limli)(limxxsxedfeyxy0()li0)xef 0000)()(xxsxxsdef若若4 证明 设 y1(x),y2(x)是方程的基本解组,则对任意 ,它们朗斯基行列式在)(上有定义,且 .又由刘维尔公式)(0)(xW),(,)()( 0)(00 xexdsp)(0)(xxdsp由于 ,于是对一切 ,)(,)(0pW有 或x0x故 是 上的严格单调函数)(),5 答案略6 证明:已知函数组的 行列式为wronshiW(x) = xnxnxnxnxxx nn eeex 11212221, x= )(21xne112n1nx上述最后的行列式为范德蒙受行列式 它等于 由题设知 )(ji)(jiji由此行列式不为零.从而 由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.0)(xW
