1、第2章 插 值 法,内容提要 2.1 引言 2.2 拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式 2.4 埃尔米特插值 2.5 分段低次插值 2.6 三次样条插值,2.1 引言许多实际问题都用函数 y=f (x) 来表示某种内在规律的数量关系。若已知 f (x) 在某个区间 a, b 上存在、连续，但只能给出 a, b 上一系列点的函数值表时，或者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上点的函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f (x) 的特性，又便于计算的简单函数 P (x)，用 P
2、 (x) 近似 f (x)。这就引出了插值问题。通常选一类较简单的函数作为 P (x)，如代数多项式或分段代数多项式，这样确定的P (x) 就是插值函数。,1、插值法的定义,2、几何意义、外插、内插,P(x) f(x),x* (外插),x0,x1,x (内插),x2,x3,P(x*) f(x*),3、插值的种类选取不同的函数族构造 P (x) 得到不同类型的插值 若 P (x) 是次数不超过 n 的代数多项式，就称为多项式插值； 若 P (x) 为分段的多项式，就称为分段插值； 若 P (x) 为三角多项式，就称为三角插值。 本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出插值多项式，分
3、段插值函数；讨论插值多项式 P (x) 的存在唯一性、收敛性及估计误差等。 4、多项式插值问题,插值多项式的存在唯一性,定理1 ( 存在唯一性 ) 满足插值条件的不超过 n 次的插值多项式是存在唯一的。,x,0,2、抛物插值,求解基函数,二、拉格朗日插值多项式上面针对 n=1 和 n=2 的情况，得到了一次和二次插值多项式，这种用基函数表示的方法很容易推广到一般情况。下面讨论如何构造 n+1 个节点的 n 次插值多项式。,定理表明： (1) 插值误差与节点和点 x 之间的距离有关, 节点距离 x 越近, 插值误差一 般情况下越小。 (2) 若被插值函数 f (x) 本身就是不超过 n 次的多项
4、式, 则有f (x) g (x),3、应用举例,0,?,分析：求解如上问题等价于求解 x 关于 y 的反函数问题。,2.3 均差与牛顿插值公式 一、均差及其性质问题的引入：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理论分析方便，但插值节点增减时全部插值及函数均要随之变化，实际计算不方便，希望把公式表示为如下形式。,1、均差定义,2、均差的基本性质,2、均差的基本性质,2、均差的基本性质,均差表,例3-5 由函数 y=(x) 的函数表写出均差表。,解 均差表如下,二、牛顿插值公式,例2-6 对例5中的 (x), 求节点为 x0 , x1 的一次插值 x0 , x1 , x2 的二次插值和 x0 , x1
5、 , x2 , x3 的三次插值多项式.,解 由均差表知 x0 , x1=-2,x0 , x1 , x2=3,x0 , x1 , x2 , x3=-1,于是有,2.5 分段低次插值 一、高次插值的病态性质一般总认为 L n (x)的次数n越高逼近f (x)的精度越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点，当n-时， L n (x)不一定收敛于f (x)。20世纪初龙格（ Runge）就给了一个等距节点插值多项式 L n (x)不一定收敛于f (x)的例子。,y=L10(x),x,1,y=L10(x),o,-1,0.5,y,1.5,1,龙格现象,二、分段线性插值 分段线性插值就是通过插值点
6、用折线段连接起来逼近f(x).,2.6 三次样条插值样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。 一、三次样条函数,y=L10(x),每个小区间上要确定4个待定系数，共有n个小区间，故应 确定4n个参数。,y=L10(x),二、三次样条插值函数的建立,y=L10(x),y=L10(x),y=L10(x),y=L10(x),y=L10(x),一、最小二乘法及其计算,3.4 曲线拟合的最小二乘法,例8 已知实测数据表如下,求它的拟合曲线,例9 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=a e b x,用最小二乘法确定a，b。,例2-10 已知实测数据表如下, 求 y=a+bx2 的经验公式。,知 识 结 构 图 二,插值法,工具,分段多项式插值,存在唯一性,多项式插值,Hermite插值,插值公式,误差估计,差商、差分,Lagrange插值基及函数,定义 性质,定义 性质,导数型 差商型,Lagrange插值多项式 Newton插值多项式 等距节点插值公式,存在唯一性 误差估计 插值公式,分段线性插值（公式、误差估计、收敛性）,分段三次Hermite插值（公式、误差估计、收敛性）,三次样条插值（公式、存在唯一性、误差估计、收敛性）,End!,
