,一、向量的范数,第五章 解线性方程组的直接法 4 向量和矩阵的范数,二、矩阵的范数,三、小结,一、向量的范数,1. 向量范数的定义,设对任意向量 xRn，按一定的规则有一实数与之对应，记为x，若x满足,则称x为向量的范数,在Rn上的向量x =(x1,xn)TRn，三种常用的范数为：,称为范数或最大范数,称为1范数,称为2范数,称为p范数,2. 常用的向量范数,举例：计算向量 x=(1, -2, 3)T的各种范数.,解：,3. 向量范数的性质,定义：如果Rn中有两个范数 |x|s 与 |x|t ，存在常数m, M0，使对任意n维向量x，有,则称这两个范数等价.,性质：对两种等价范数而言，某向量序列在其中一种范数意义下收敛时，则在另一种范数意义下也收敛。,定理：Rn上的任意两个范数等价.,注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任何一种范数意义下研究。,二、矩阵的范数,1. 矩阵范数的定义,设对任意矩阵 ARnn，按一定的规则有一实数与之对应，记为A，若A满足,则称A为矩阵的范数,在Rnn上的矩阵A=(aij),常用的范数有：,称为范数或行范数,称为1范数或列范数,称为2范数,2. 常用的矩阵范数,(其中max(ATA)表示ATA的最大特征值),称为Frobennius范数,举例：,计算A的各种范数.,解：,下面计算2-范数,令,即,故最大的特征值为,所以,作业： 习题 11,12,
