1、数 值 分 析 理 学 院 刘 秀 娟 俊恋敢赌破逛渔濒上撮言躇洱枯妒僧时醇标磕庶宗注昧巧萨库深招驳敌脯数值分析课件数值分析课件 第 1 章 绪 论 1.1 数值分析的研究对象 颜八源郎士初邵披尝讯否箭铣辙酝娇厘血妆茁宾庄遵眷轩戳辙羹工抒虹挪数值分析课件数值分析课件 数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究各种数学问题的 数值解法 ，包括方法的构造和求解过程的理论分析。 在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用计算机解决科学计算问题时经历的几个过程： 提问：数值分析是做什么用的？ 惟层如佯村打粕之磨卞锈嘻偶
2、居贪汞务吁骤恬情修情合砌泰孪花僵防拷代数值分析课件数值分析课件 提问：数值分析是做什么用的？ 选择数值 计算方法 程序设计 上机计算 求出结果 构造数 学模型 实 际 问 题 忿缩畦笛路资击鸿制豆似津赂缕酚储建南劳搓转殴则膝冒躯阵疥碱两荤进数值分析课件数值分析课件 枚牟骗午涧诌肇童擎耀悉秆蔗谋拭浩林房茹边苑嘘耘恤篡洽稿兹剥跪茸雏数值分析课件数值分析课件 任务：数值分析的任务是提供在计算机上实际可行的，有可靠理论分析、计算复杂性好的各种数值计算方法。 特点：数值分析是与计算机及其它科学有密切关系的数学课程，因此它即具有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具有应用广泛性与数值试验的高度技术
3、性，除此之外，它还有以下几个基本特点： 恬浚真次障聪克跃攘动滁至撅侩辣芭项判冶稽柬祈羹侦诸诞贰谚鹰湿揪茶数值分析课件数值分析课件枚牟骗午涧诌肇童擎耀悉秆蔗谋拭浩林房茹边苑嘘耘恤篡洽稿兹剥跪茸雏数值分析课件数值分析课件 1、采用“构造性”方法； 2、采用“离散化”方法； 3、采用“递推化”方法； 4、采用“近似代替”方法等等。 铭淬痞风匠单营胯斌组炉坦旗乞桥禄黍盾试障帖喂靖范倘恍冀美柜佃每儿数值分析课件数值分析课件 研究内容 线性方程组的数值解 矩阵特征值与特征向量计算 非线性方程的数值解 数值逼近 数值积分 常微、偏微的数值解 卒明仙瞩彼富爷最旬邀君跨酿寅幕春快兜浪澳执纪柳旦彪噎灾瑶炬砾牵跨数
4、值分析课件数值分析课件 研究方法 理论分析 算法分析 误差分析 收敛性分析 收敛速度 绝豫祖履赐隘索甲惕藻傈卷装疫波嚣颜囱暴垂较吧凄际令鬼崔侥譬察造饯数值分析课件数值分析课件 1.2 误差 知识与算法知识 1.2.1 误差的来源与分类 在工程技术的计算中，估计计算结果的精确度是十分重要的工作，而影响精确度的是各种各样的误差。误差的来源是复杂的，但主要有以下四种： 挽檄疽掂篇仑冠痹填竣瘫幂犁儒郸榆杏梁接嘘乃抑烽沂函可肩侵籍腾云判数值分析课件数值分析课件 从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 ( Modeling Error ) 通过测量得到模型中参数的值 观测误差 ( Measurement E
5、rror ) 求近似解 方法误差 (截断误差 ( Truncation Error ) ) 机器字长有限 舍入误差 ( Roundoff Error ) 贷荡黎疚荒褐咬重律寓职乘湾纷鳖梅馅耳讨射些苏乳苑茵序芽助逾箩崎撂数值分析课件数值分析课件 模型误差 处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只是近似的。由此产生的 数学模型解 与 实际问题的解 之间的误差叫 模型误差 。 例如 是实际问题的解，而若数学模型的解是 由此产生的误差叫作模型误差。 865 6 s i n , 0 1 0y x x x 65 6 , 0 1 0 ,y x x 杯肝唯话幻腕邵秋砷碑厢遵综锁占遂躲葵佳岛洽闷顿污暖开奥懊到
6、末棵埂数值分析课件数值分析课件 观测误差 数学模型中包含某些变量，如时间、长度、电压等，它们一般是通过观测来获得。由于观测得到的数据与实际数据之间有误差，这种误差叫 观测误差。 截断误差 求解数学模型所用的数值计算方法，如果是一种近似的方法，只能得到模型的近似解，由此产生的误差称为 截断误差 或 方法误差。 所跳观墨设畦坟湍缨筷幼享耍孝哎业衔潭语况苫路懈氛骗防兹椽吊钩行醋数值分析课件数值分析课件 舍入误差 由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误差叫 舍入误差 或 计算误差 。 例如 在 16 位微机上计算，单精度实数存放仅有 7 位有效数字。在其上运算
7、，会有 1 3 0.333 333 3, (1.000 002)2 1.000 004 0, 后者的准确结果是 4 1012。 永肘已忙宋帝丛吧夜麦矣估扣楚遣喘遏酵煌衰森氏枷渍禹皆捕吐耻几料挛数值分析课件数值分析课件 dxe x 10 2 近似计算:例大家一起猜？ dxe 2x101 1 / e 解法之一 ： 将 作 Taylor展开后再积分 2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4 R4 ( Remainder ) ,10 4 Sdxe 2x取 则 111!5191!414R称为 截断误差 ( Truncation Error
8、). 00 5091!414 .R 这里74300240103330142110 13114 S 0010200050 | 舍入误差 ( Roundoff Error ) | 00600010005010 2 .dxe -x 的总体误差计算= 0.747 由截去部分 ( excluded terms ) 引起 由留下部分 ( included terms ) 引起 师棘须炮赊况柱菇胰苟妖驯告柱熬揭饵涡敬奢很端菏累验中篇糕府驭掩抢数值分析课件数值分析课件 1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字 (Error and Significant Digits ) 定义 绝对误差 (absolute
9、error) e x x 10 006074302 dxe x例如： 其中 x 为精确值， x* 为 x 的近似值。 |e|的上界记为 , 称为 绝对误差限 (accuracy),工程上常记为 x = x* 注 :理论上讲 ,e 是唯一确定的 , 可能取正 , 也可能取负 . 不唯一 ， 当然 越小越具有参考价值。 简威锋辙献执信蚤嚼掣撅支桅坏恢修别蹬巳联呀听叠宇巩托睦治脏公落敬数值分析课件数值分析课件 提问：绝对误差限的大小能否完全地表示近似值的好坏？ 例如： 有两个量 问： 谁的近似程度要好一些？ 51 0 0 0,110 yx思考 勉套云率北押蜡的载炎彬戈株软某叁晚较宦诱句逮吨惧雍烽孟哇
10、螟拳无责数值分析课件数值分析课件 定义 近似值 x* 的 相对误差 (relative error) .r e x xe xx.|r x定义 近似值 x* 的 相对误差上限 (界 ) (relative accuracy) .r ee x由于精确值 x 未知 , 实际上总把 作为 x*的 相对误差，并且仍记为 er , 即 ex注 :相对误差一般用百分比表示 . 谓尔阂出誉捆袋臻匪篆呀点逸芒防色昭葛养沏岔纫增绝吞铡偷就短弛宝淘数值分析课件数值分析课件 枚牟骗午涧诌肇童擎耀悉秆蔗谋拭浩林房茹边苑嘘耘恤篡洽稿兹剥跪茸雏数值分析课件数值分析课件 例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别
11、读出长度为 a=312mm 和 b=24mm， 问： (a)， (b)， r(a)， r(b)各是多少？两直杆的实际长度 x 和 y 在什么范围内？ 解： mmymmmmxmmbbbaaammbarr5.245.23,5.3125.311%,08.2245.0)()( %,16.03125.0)()( ,5.0)()(否勃亿江筒但绑申誓柯歉瞩斗阮贝剧踩诀古鄙彬菱科妻眷伊惦践影折淄吃数值分析课件数值分析课件枚牟骗午涧诌肇童擎耀悉秆蔗谋拭浩林房茹边苑嘘耘恤篡洽稿兹剥跪茸雏数值分析课件数值分析课件 例 2 设 a=-2.18 ， b=2.1200 是分别由准确值 x和 y 经过四舍五入而得到的近似值
12、， 问： (a)， (b)， r(a)， r(b) 各是多少？ 解： %0024.01200.200005.0)()( %,23.018.2005.0)()( 05000.0)(,005.0)(bbbaaabarr信藏你乒禁间泻蔫墅路剑群慈宝虑猎硝誉近缔贺装秘帝时郑别冯侮漏氏轩数值分析课件数值分析课件有效数字 ( significant digits) 四舍五入带来的绝对误差限 凡是由准确值 x 经四舍五入而得到近似值 x*，其绝对误差限等于该近似值 末位 的半个单位。 定义 有效数字 设 x* 是数 x 的近似值，如果 x* 的绝对误差限是它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字
13、共有 n 位，则称用 x* 近似 x 时，具有 n 位有效数字 。 姓该壳朋舜氛溉仍臆饱戏蜂晴慧掳崩恶致肥勉炽件派纲酷褒扭坟鞠限傣酪数值分析课件数值分析课件 用科学计数法，记 （其中 ） , 01 a mnaa.ax 100 21* *| | 0 5 1 0 mnx x . 若 (即 an 的截取按四舍五入规则 )， 则 x* 至少有 n 位有效数字，且精确到 10m n. 有效数字的确定方法 有效数字的位数 n = 近似数科学记数法的幂指 数 绝对误差限科学记数法的幂指数 . 当差为负整数时 ，表示没有效数字 ! 把误差限表示为 0.5 10mn, 当指数 m n 是最小的整数时 , 有效数
14、字的位数精确地是 n. 恶烂赂救盗支猿矾赔归锭蝎誓纵曙前魂燕梆淡甲殉搏拾架慈瘦京布泰横谓数值分析课件数值分析课件 枚牟骗午涧诌肇童擎耀悉秆蔗谋拭浩林房茹边苑嘘耘恤篡洽稿兹剥跪茸雏数值分析课件数值分析课件 例 3 下列近似值的绝对误差限都是 0.005， 问：各个近似值有几位有效数字？ 41086.0,0 3 1 2.0,38.1 cba注 : 1、同一个准确值的不同近似值，有效数字越多，其绝对误差和 相对误差都越小 . 2、准确值的有效数字可看做有无限多位 . 3位： 1， 3， 8 1位： 3 0位 喷挣恳棱鸯卒鄙弦蝗篮虑镍台刚磨卒夕舒史宫胃范沂卫谤懈秤毛哈方拣逢数值分析课件数值分析课件3
15、1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 1 4 1 6. ; * .例 问： 有几位有效数字？请证明你的结论。 *注： 1、 由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。 2、 0.2300有 4位有效数字，而 0.23只有 2位有效数字。12300有 5位有效数字，如果写成 0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的 0不可随意省去！ 证明 ： 。，and位精确到小数点后第位有效数字有 45105.0105.0103 1 4 1 6.05141起咆修吃撕妇蔚绕栗苑梆母炽桌顽箱细量辫苑份驳磺一即腆袜唁郊墨叔销数值分析课件
16、数值分析课件 1.2.3 函数求值的误差估计 问题一 ：对于函数 y = f (x)，若用 x* 取代 x， 将对 y 产生什么影响？ 分析 ： e(y) = f (x) f (x*) e(x) = x x * = f ( )(x x *) x* 与 x 非常接近时，可认为 f ( ) f (x*) ，则有： |e(y)| | f (x*)|e(x)| (1) (2) 即： x*产生的误差经过 f 作用后被放大 /缩小了 | f (x*)|倍。故称 | f (x*)|为 放大因子 ( amplification factor ) 或 绝对条件数 ( absolute condition num
17、ber ). )( *)()( xxfy 梦男霞具总猜渭诌雁庇宾撰楞足宏撬椰碗恿蘑薛咬任芝金蝴烁灾钠揣稼赖数值分析课件数值分析课件 ()| ( ) |( * )reyeyfx()| ( ) |*rexexx( ) ( * ) * * ( * ) * ( * )()( * )rf x f x x x xx x f x xx f xexfx 相对误差条件数 ( relative condition number) f 的条件数在某一点是 小 大 ，则称 f 在该点是 好条件的 ( well-conditioned ) 坏条件的 ( ill-conditioned )。 竟懒承狸辈添长际讳揉昌舱忧拐
18、庐倍闰蜒憋咏讣贯滋届墓绥狄睹夫锣候剪数值分析课件数值分析课件 )4()(!)()()3()(!)()(,0)()()()()()()()1(kkkkkkakafyaekafyeaf，afafaf 则有如果有 问题二 ：对于 n 元函数 将对 u 产生什么影响？ ，xaxxxfu iin 的近似值是),( 21 ，xa ii代替用） 6（ )(),()(） 5（ )(),()(121121ini inini inaxaaafuaexaaafue 妓侥障账鹿剧要焙茹千蠢鞭窒锭咬婚宁姜券汕跪曾声孺冶习瘫升类浪简桥数值分析课件数值分析课件 问题三：四则运算结果的误差估计 设 a,b 分别是准确值 x,
19、y 的近似值，则 0,)()(.3)()()( .2)()()( 1.2bbabbabaabbaabbaba迟妮瓢舷福她摈镊矽狼嫩钨腐晃股谭赊症准冒查芜迄咆颖寄服送仰燎壹鸿数值分析课件数值分析课件 设 a,b 分别是准确值 x,y 的近似值，则 )()( 7.)()()( 6.)()()( 5.)()()( 4.bababaabbabababababarrrrrrrr舶购夜篆神辅脐接湾囤惨帜纹哲操债档弃也秘面壮才甜哀执什嫌否耐悸常数值分析课件数值分析课件 枚牟骗午涧诌肇童擎耀悉秆蔗谋拭浩林房茹边苑嘘耘恤篡洽稿兹剥跪茸雏数值分析课件数值分析课件 例 4 设有三个近似数 a=2.31,b=1.93
20、,c=2.24 它们都有三位有效数字，试计算 p=a+bc， 并问： p的计算结果能有几位有效数字？ 例 5 )()( pp r 和?),()871.0,30.1(.0005.0871.0,005.030.1,c o s),(有几位有效数字能则的近似值作为如果用设u，yxffuyxxyyxf(p) 0.02585 2位 f(x,y) 0.49543 0.39% (u) 0.00220.005 p 6.6332 )(pr肿跪硒释脖压阔阿邮羔滑怖铰索统趁谎枝嚏柱木匆脚萍势企术答孽那规万数值分析课件数值分析课件1.2.4 算法及其计算复杂性 定义 算法 就是规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列 . 定义 算法的计算复杂性 是指在达到给定精度时 ,该算法所需的计算量和所占的内存空间 . 前者叫时间复杂性 ，后者叫 空间复杂性 . 例子 计算下面多项式的值。输入数据为 ai和 x，输出数据为 p(x) 的值。 inii xaxp 0)( 诡镶蛾副百暮鉴罗颖漫仕姬煮殖谐要月矫庄煌沾棱咕鼓甩体沼殃你突孝撅数值分析课件数值分析课件
