1、学科：奥数教学内容：待定系数法分解因式经验谈：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学
2、会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。例 1 分解因式思路 1 因为所以设原式的分解式是 然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。解法 1 因为 所以可设 比较系数，得由、解得 把 代入式也成立。思路 2 前面同思路 1，然后给 x,y 取特殊值，求出 m,n 的值。解法 2 因为 所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的 x,y 都成立，那么无妨令得令 得解、得 或把它们分别代入恒等式检验，得说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解
3、成所设形成的因式。例 2 分解因式思路 本题是关于 x 的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。解 设由恒等式性质有：由、解得 代入中，式成立。说明 若设原式由待定系数法解题知关于 a 与 b 的方程组无解，故设原式例 3 在关于 x 的二次三项式中，当 时，其值为 0；当 时，其值为 0；当时，其值为 10，求这个二次三项式。思路 1 先设出关于 x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。解法 1 设关于 x 的二次三项式为 把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路 2 根据已知 时，其值 0 这一条件可设二次三项式为 然后再
4、求出 a 的值。解法 2 由已知条件知当 时，这个二次三项式的值都为 0，故可设这个二次三项式为把 代入上式，得 解得故所求的二次三项式为 即说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。例 4 已知多项式 的系数都是整数。若 是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。证明：设 （m,n,r 都是整数）。比较系数，得因为 是奇数，则 与 d 都为奇数，那么 mr 也是奇数，由奇数的性质得出 m,r 也都是奇数。在式中令 ，得 由 是奇数，得 是奇数。而 m 为奇数，故 是偶数，所
5、以是偶数。这样的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。 例 5 已知 能被 整除，求证： 思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。证明：设 展开，比较系数，得由、，得 ，代入、得： ，例 6 若 a 是自然数，且 的值是一个质数，求这个质数。思路：因为质数只能分解为 1 和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为 1，即可求 a 的值。进而解决问题。解：由待定系数法可解得由于 a 是自然数，且 是一个质数，解得当 时， 不是质数。当 时， 是质数。 =
6、11 .A 级1、分解因式 _.2、若多项式 能被 整除，则 n=_.3、二次三项式当 时其值为-3，当 时其值为 2，当 时其值为 5 ，这个二次三项式是_.4、m, n 是什么数时，多项式 能被 整除？B 级5、多项式 能分解为两个一次因式的积，则 k=_.6、若多项式 能被 整除，则 _.7、若多项式 当 2 时的值均为 0，则当 x=_时，多项式的值也是 0。8、求证： 不能分解为两个一次因式的积。参考答案或提示：1.提示：设原式比较两边系数，得由、解得将 代入式成立。原式2、-4。提示：设原式=比较系数，得由、解得代入得3、提示：设二次三项式为把已知条件代入，得解得所求二次三项式为4. 设比较系数，得解得当 m=-11，n=4 已知多项式能被 整除。5.-2提示：设原式.比较系数，得解得 6.-7提示：设原式比较系数，得解得7.3.提示：设原式比较系数，得解得 c=3. 当 x=3 时，多项式的值也是 0.8.设原式 且 展开后比较系数，得15432mn由、得 代入，再由、得 将上述 入得 .而这与矛盾，即方程组无解。故命题得证。
