1、 1 / 22.2.3 待定系数法【学习要求】1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式；2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题【学法指导】通过待定系数法的学习，培养由特殊事例发现一般规律的归纳能力；通过在旧知识的基础上产生新知识，激发求知欲；通过合作学习，培养团结协作的品质.填一填：知识要点、记下疑难点1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定 ，然后再根据题设条件求出这些 待定系数 这种通过求 待定系数 来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法2.正比例函数的一般形式
2、为 ykx(k0) ，反比例函数的一般形式为 y (k0) ，一次函数的一般形式为kxykxb(k0) ，二次函数的一般形式为 yax 2bxc(a0) .研一研：问题探究、课堂更高效问题情境 对于一次函数 ykxb(k0)，如果知道了 k 与 b 的值，函数关系式就确定了，那么如果已知一次函数的图象过两个已知点，用怎样的方法来求一次函数的关系式？本节就来学习求函数解析式的一种常用方法待定系数法探究点一 待定系数法的概念问题 1 已知一个正比例函数的图象通过点(3,4)，如何求这个函数的解析式？答：我们可设所求的正比例函数为 ykx，其中 k 待定，根据已知条件，将点(3,4)代入可得 k .
3、43所以所求的正比例函数是 y x.43问题 2 在问题 1 中求函数解析式的方法称为待定系数法，那么你能给待定系数法下个定义吗？答：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法问题 3 正比例函数、一次函数、二次函数解析式的一般形式各是什么？各有几个需要确定的系数？答： 解析式分别为 ykx(k0)，ykxb(k0)，yax 2bxc(a0)，它们的解析式中待定系数各有 1 个，2 个，3 个问题 4 对于两个按降幂顺序排列的一元多项式，当满足什么条件
4、时，它们才相等？答： 当且仅当它们对应同类项的系数相等，则这两个多项式相等探究点二 用待定系数法求一次函数问题 1 我们要确定反比例函数或正比例函数的解析式时，通常需要几个条件？答： 只需要一个条件问题 2 我们要确定一次函数的关系式时，通常需要几个独立的条件？为什么？答： 需要 2 个独立的条件因为一次函数的解析式中有 2 个待定的系数例 1 已知 f(x)是一次函数，且有 2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1，求这个函数的解析式解： 设所求的一次函数是 f(x)kxb(k0)，其中 k，b 待定. 根据已知条件，得方程组Error!即Error! 解此方程组，得 k3，b2. 因此
5、所求的函数是 y3x2.小结： 在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式跟踪训练 1 已知函数 f(x)是一次函数，且有 ff(x)9x8，求此一次函数的解析式解： 设该一次函数是 yaxb， 由题意得 ff(x)a(axb)ba 2xabb9x8.因此有Error!， 解方程组，得Error!或Error!. 所以一次函数为 f(x)3x2 或 f(x)3x4.探究点三 用待定系数法求二次函数问题 1 二次函数解析式有哪几种表达式？答： 二次函数解析式有三种形式：一般式：yax 2bxc；两根式：ya(xx 1)(xx 2) ；顶点式：ya(xh) 2k.问
6、题 2 我们要确定二次函数的解析式，需要几个条件？为什么？答： 需要三个条件，因为二次函数解析式中有三个待定的系数问题 3 如何根据题设条件来设二次函数的解析式？答： (1)已知二次函数图象过三个已知点，可设解析式为 yax 2bxc；2 / 2(2)已知二次函数图象的顶点坐标(m，n)，可设解析式为 ya(xm) 2n；(3)已知二次函数图象与 x 轴有两个交点，可设解析式为 ya(xx 1)(xx 2)例 2 已知一个二次函数 f(x)，f(0)5，f(1)4，f(2)5，求这个函数解： 设所求函数为 f(x)ax 2bxc (a0)，其中 a，b，c 待定，根据已知条件，得方程组Erro
7、r!，解此方程组，得 a2，b1，c5.因此，所求函数为 f(x)2x 2x5.小结: 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式. 跟踪训练 2 已知二次函数图象的顶点为(1，3)，图象与 y 轴交点为(0，5)，求函数的解析式解: 设所求的二次函数为 ya(x1) 23, 由条件得：点(0，5)在抛物线上，所以有 a35，得 a2. 故所求的抛物线解析式为 y2(x1) 23. 即 y2x 24x5.例 3.已知函数 f(x)x 24ax2a6，若函数的值域是0, )，求函数的解析式解: 因为函数的值域是0, )， 所以 16a 24(2a6)0，解得 a1 或
8、a .32所以 f(x)x 24x4 或 f(x)x 26x9.小结: 用待定系数法求函数解析式是常用的方法，其步骤为：先设出含有待定系数的函数解析式，再根据条件列出含有待定系数的方程或方程组，最后求出方程或方程组的解，从而写出所求的解析式其步骤可简记为四个字“设、列、求、写 ”跟踪训练 3 二次函数的图象与 x 轴交于 A(2, 0)，B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0，3)，求此二次函数的解析式解: 因为二次函数的图象与 x 轴交于 A(2, 0), B(3, 0)两点，所以可设二次函数为 f(x)a(x2)(x3)，将 C 点坐标(0，3)代入 f(x)的表达式，得6a3， 解
9、得 a .12所以二次函数是 f(x) (x2)(x3)， 即 f(x) x2 x3.12 12 12练一练：当堂检测、目标达成落实处1.二次函数 yx 26xk 的图象的顶点在 x 轴上，则 k 的值为 ( )A9 B9 C3 D3解析: y(x3) 2k9，k90，k9.2.已知 y5 与 3x4 成正比例，且当 x1 时，y2.则 y 与 x 的函数关系式为_解析: 设 y5k(3x4)，由 x1 时，y2， 得 25k(34)，所以 k1，所求函数关系式为 y3x1.3.若函数 yx 2(a2)x3，xa，b的图象关于直线 x1 对称，则 b_.解析: 对称轴 x 1， 又 1， b6.a 22 a b2课堂小结：1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与 x 轴的两个交点的横坐标 x1、x 2，通常选择两根式2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.
