1、1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( 0p)：标准方程 pxy2xy2pyx2pyx2图形 O O焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry,0Ry,00,x0,Rx对称轴 x轴 轴顶点 （0，0）离心率 1e2.抛物线的焦半径、焦点弦 )0(2pxy的焦半径 PF2x; )0(py的焦半径 PF2y； 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为 2p. AB 为抛物线 pxy2的焦点弦，则 BAx 42， BAy2p， |= pxBA3. pxy2的参数方程为 ty2（ 为参数） ， 2的参数方程为 2ty（ 为参数）.重难点突破重点:
2、掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题 1：抛物线 y=4 2x上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )A. 67 B. 165 C. 87 D. 0点拨：抛物线的标准方程为 yx42，准线方程为 16y,由定义知，点 M 到准线的距离为 1，所以点 M 的纵坐标是 1652.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共
3、有 4 种，经过第一象限的抛物线有 2 种，故满足条件的抛物线有2 条3.研究几何性质，要具备数形结合思想， “两条腿走路”问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设 AB为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点 、BA分别是点 、 在准线上的射影，弦 的中点为 M，则 FAB，点 M 到准线的距离为21)(21， 以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切热点考点题型探析考点 1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1 已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2 ，1）的距离与点 P 到抛物线焦
4、点距离之和的最小值为 【解题思路】将点 P 到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离解析过点 P 作准线的垂线 l交准线于点 R，由抛物线的定义知， RQF，当 P 点为抛物线与垂线 的交点时， 取得最小值，最小值为点 Q 到准线的距离 ,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1.已知抛物线 2(0)ypx的焦点为 F，点 12()()Pxyy， 3()Pxy在抛物线上，且 |1FP、 |、 |3P成等差数列， 则有 （ ）A 321x B 321yC D
5、. 解析C 由抛物线定义， 213()()(),2ppxx即： 231x 2. 已知点 ),43(AF 是抛物线 y8的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MFA最小时,M 点坐标是 ( )A. )0,( B. )62,3( C. )4,2( D. )62,3(解析 设 M 到准线的距离为 K,则 MKAF| ，当 A最小时，M 点坐标是 )4,2(，选 C考点 2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线 240xy上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所
6、求的抛物线的方程为 2p或 2()p,过点(-3,2) 9)3(4或 293p或抛物线方程为 23yx或 2y,前者的准线方程是 1,后者的准线方程为 98(2)令 0x得 2y，令 0得 4x，抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时 ,42p, 8p，此时抛物线方程 216yx;焦点为(0,-2)时 4，此时抛物线方程 8.所求抛物线方程为 2或 2y,对应的准线方程分别是 4,2xy.【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】3.若抛物线 2ypx的焦点与双曲线213xy的右焦点重合,则 p的值 解析 4134. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件
7、：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是_.（要求填写合适条件的序号）解析 用排除法，由抛物线方程 y2=10x 可排除，从而满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且 3|,17| AFM，求此抛物线的方程解析 设点 是点 在准线上的射影，则 3|A，由勾股定理知 2|M，点 A的横坐标为 )2,(p，代入方程 pyx2得 或 4，抛物线的方程 yx4或yx82
8、考点 3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例 3 设 A、B 为抛物线 pxy2上的点,且 90AOB(O 为原点),则直线 AB 必过的定点坐标为_.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线 OA 方程为 kxy,由 px2解出 A 点坐标为 )2,(kppxyk21解出 B 点坐标为 ),2(p，直线 AB 方程为 21)(xy,令0得 ，直线 AB 必过的定点 )0,(【名师指引】 （1）由于是填空题，可取两特殊直线 AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用 k换 k 而得。【新题导练】6. 若直线 10axy经过抛物线 24yx的焦点，则实数 a
9、 解析-17.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B, 若 A、B 在抛物线准线上的射影为1,BA,则 1 ( )A. 45 B. 60 C. 9 D. 120解析C基础巩固训练1.过抛物线 xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于)(2Ra，则这样的直线（ ） A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在解析C 4)1(52| aapxABB ，而通径的长为 42.在平面直角坐标系 Oy中，若抛物线 4xy上的点 P到该抛物线焦点的距离为 5，则点P 的纵坐标为 （ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 B 利用抛物
10、线的定义，点 P 到准线 1y的距离为 5，故点 P 的纵坐标为 43.两个正数 a、b 的等差中项是 92，一个等比中项是 2，且 ,ba则抛物线2()yx的焦点坐标为( ) A 10,4 B 0, C 1(,0) D 1(,0)4解析 D. ,5aba4. 如果 1P， 2， 8是抛物线 24yx上的点，它们的横坐标依次为 1x， 2，8x，F 是抛物线的焦点，若 )(,1Nnx 成等差数列且 45921 ，则|5=（ ） A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义，可知 12iiipPFx（ ，2，n） ，)(,21Nnx成等差数列且 4591 , x, |5FP=65、抛物线
11、,4y的 焦 点 为准线为 l， l 与 x 轴相交于点 E，过 F 且倾斜角等于 60的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AB l ，垂足为 B，则四边形 ABEF 的面积等于（ ）A 3 B 34 C 36 D 38解析 C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，设 ),(nm，则1,1OFHmF， 32,12n四边形 ABEF 的面积= 32)(266、设 O是坐标原点， 是抛物线 4yx的焦点， A是抛物线上的一点， FA与 x轴正向的夹角为 60，则 OA为 解析 21. 过 A 作 Dx轴于 D，令 Fm，则 A2即 m2，解得 2)3,(1)32(综合提高训练
12、7.在抛物线 24yx上求一点，使该点到直线 45yx的距离为最短，求该点的坐标解析解法 1：设抛物线上的点 ),(2xP，点 P到直线的距离 17|54|2d17|)(2，当且仅当 1x时取等号，故所求的点为 ），（ 12解法 2：当平行于直线 45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为 by，代入抛物线方程得 042bx，由 016得 1,，故所求的点为 ），（ 18. 已知抛物线 2:axyC（ 为非零常数）的焦点为 F，点 P为抛物线 c上一个动点，过点 P且与抛物线 c相切的直线记为 l（1）求 F的坐标；（2）当点 在何处时，点 F到直线 l的距离最小？解：
13、（1）抛物线方程为 yax12 故焦点 F的坐标为 )4,0( （2）设 200 ),(xyxP则 2 0axkay ） 的 切 线 的 斜 率点 处 抛 物 线 （ 二 次 函 数在直线 l的方程是 )( 020a 2 0x即 . 4141)(41 2020 axaaxd)0,( 的 坐 标 是此 时时 上 式 取 “ ”当 且 仅 当 P.LF0,)(P的 距 离 最 小到 切 线处 时 ， 焦 点在当9. 设抛物线 2ypx（ 0）的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、 B 两点点 C 在抛物线的准线上，且 BCX 轴证明直线 AC 经过原点 O证明:因为抛物线 2（ ）的焦点
14、为 ,02p，所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为2pxmy，代人抛物线方程得20若记 1,A， ,Bxy，则 21,是该方程的两个根，所以2yp因为 BCX 轴，且点 C 在准线 p上，所以点 C 的坐标为 2,py，故直线 CO 的斜率为 21.ykx即 k也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O10.椭圆 12byax上有一点 M（-4 ， 59）在抛物线 pxy2（p0）的准线 l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点 N 在抛物线上，过 N 作准线 l 的垂线，垂足为 Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1） 12byax上的点 M
15、在抛物线py2（p0）的准线 l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.c=-4， p=8M（-4， 59）在椭圆上 1286ba c由解得：a=5、b=3椭圆为 1925yx由 p=8 得抛物线为 x62设椭圆焦点为 F（4，0） ，由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|= 541)09()4(22，即为所求的最小值.参考例题：1、已知抛物线 C 的一个焦点为 F（ 21，0） ，对应于这个焦点的准线方程为 x=- 21.（1）写出抛物线 C 的方程；（2）过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，O 点为坐标原点，求AOB 重心 G 的轨迹方程；（3）点 P
16、 是抛物线 C 上的动点，过点 P 作圆（x-3 ） 2+y2=2 的切线，切点分别是M，N .当 P 点在何处时，|MN |的值最小？求出|MN|的最小值 .解：（1）抛物线方程为：y 2=2x. （4分）（2）当直线不垂直于 x 轴时，设方程为 y=k(x- 21)，代入 y2=2x，得：k 2x2-(k2+2)x+ 042.设 A（x 1，y 1） ，B( x2，y 2)，则 x1+x2= k，y 1+y2=k(x1+x2-1)= k.设AOB 的重心为 G（x，y）则 kyy3201，消去 k 得 y2= 93x为所求， （6 分）当直线垂直于 x 轴时，A （ 21，1） ，B（ 2
17、1，-1） ， （8分） AOB 的重心 G（ 31，0）也满足上述方程.综合得，所求的轨迹方程为 y2= 93x， （9 分）（3）设已知圆的圆心为 Q（ 3，0） ，半径 r= 2，根据圆的性质有：|MN|=2 22 |1| PQPQPM. （11分）当|PQ |2 最小时， |MN|取最小值，设 P 点坐标为(x 0，y 0)，则 y 20=2x0.|PQ|2=（x 0-3） 2+ y = x -4x0+9=(x0-2)2+5，当 x0=2，y 0=2 时，|PQ| 2 取最小值 5，故当 P 点坐标为（2，2）时，|MN| 取最小值 302. 抛物线专题练习一、选择题（本大题共 10
18、小题，每小题 5 分，共 50 分）1如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）A （1, 0） B （2, 0） C （3, 0） D （1, 0）2圆心在抛物线 y 2=2x 上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）Ax 2+ y 2-x-2 y - 41=0 Bx 2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx 2+ y 2-x-2 y +1=0 Dx 2+ y 2-x-2 y + 41=03抛物线 上一点到直线 0的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1） B （ 41,2） C )9,3(D （2，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶
19、 2m 时，水面宽 4m，若水面下降 1m，则水面宽为（ ）A 6m B 2 6m C4.5m D9m5平面内过点 A（-2，0） ，且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A y 2=2x B y 2=4x Cy 2=8x Dy 2=16 x6抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是 6，则抛物线的方程是 （ ）A y 2=-2x B y 2=-4xC y 2=2x D y 2=-4x 或 y 2=-36x7过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于 A(x1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果 x1+ x2=6，那么|AB|=
20、（ ）A8 B10 C6 D48把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a )3,2(平移，所得的曲线的方程是（ ）A )(4)3(2B )(4)3(2xyC xyD 9过点 M（2，4）作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 （ ）A0 条 B1 条 C2 条 D3 条10过抛物线 y =ax2(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q，则 等于 （ ）A2a B 1C4a D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）11抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为
21、4 3，则焦点到 AB 的距离为 12抛物线 y =2x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是 13P 是抛物线 y 2=4x 上一动点，以 P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点 Q，点 Q 的坐标是 14抛物线的焦点为椭圆 1492y的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 76 分）15已知动圆 M 与直线 y =2 相切，且与定圆 C： 1)3(22yx外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程(12 分)16已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M（3，m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值 （
22、12 分）17动直线 y =a，与抛物线 xy21相交于 A 点，动点 B 的坐标是 )3,0(a，求线段 AB中点 M 的轨迹的方程(12 分 )18河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶 5 米时，水面宽为 8 米，一小船宽 4 米，高 2米，载货后船露出水面上的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12 分)19如图，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l 1l 2，点 Nl 1以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等若AMN 为锐角三角形，|AM|= ，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程(14 分)20已知抛物线 )0(2pxy过动点 M（ a，0）且斜率为 1 的直线 l与该抛物线交于不同的两点 A、 B， |（）求 a的取值范围；（）若线段 AB 的垂直平分线交 x轴于点 N，求 ABRt面积的最大值(14 分)
