1、初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： 经过两已知点可以画一条直线； 已知圆心和半径可以作一圆； 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做
2、尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是： 三等分角问题：三等分一个任意角； 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至 1837 年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882 年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明 是一个超越数（即 是一个不满足任何整系数代数方程的实数） ，由此即可推得根号 (即当圆半径 时所求正方1r形的边长
3、）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由 19 世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题： 正多边形作法 只使用直尺和圆规，作正五边形.只使用直尺和圆规，作正六边形.只使用直尺和圆规，作正七边形这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能
4、作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. 问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是 2 的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题. 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周 4 等分这个问题传言是拿破仑波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规 )作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点 、 ，找出一点 使得 .ABCABC3.已知两点 、 ，只用半径固定的圆规，求作 使 是线段 的中点.AB4.尺
5、规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10 世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672 年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的 2 点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线 5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法： 轨迹交点法
6、：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例 1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇 、 的距离必须AB相等，到两条高速公路 、 的距离也必须相等，发射塔 应修建在什么位置？mnP nmBAGFEDOC2C1nmBA【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点
7、应满足两个条件，一是在线段P的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 应是它们的交点.AB【解析】 作两条公路夹角的平分线 或 ；ODE 作线段 的垂直平分线 ；则射线 ， 与直线 的交点 ， 就是发射塔的位置 .FGFG1C2【例 2】 在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ， ， 是坐标原点，在直线 上求一点 ，使A(40)O3yxP是等腰三角形，这样的 点有几个？AOPP P3P2P1AOyxy=x+3【解析】 首先要清楚点 需满足两个条件，一是点 在 上；二是 必须是等腰三角形.其次，寻PP3yxAOP找 点要分情况讨论，也就是当 时，以 点为圆心， 为半径画圆，与直线有两个点
8、 、POAPOA1P；当 时，以 点为圆心， 为半径画圆，与直线无交点；当 时，作 的垂直2OA PAO平分线，与直线有一交点 ，所以总计这样的 点有 3 个.3【例 3】 设 与 相离，半径分别为 与 ，求作半径为 的圆，使其与 及 外切. R r RR OOrrDCM2M1BArO OR Rr【分析】 设 是符合条件的圆，即其半径为 ，并与 及 外切，显然，点 是由两个轨迹确定的，M r O即 点既在以 为圆心以 为半径的圆上，又在以 为圆心以 为半径的圆上，因此所求圆ORRr的圆心的位置可确定.若 与 相距为 ，当 时，该题无解，当 有唯一解；当 O b2r2b时，有两解.2rb【解析】
9、 以当 与 相距为 ， 时为例：O b2r 作线段 ， .ARB 分别以 ， 为圆心，以 ， 为半径作圆，两圆交于 两点. rR12,M 连接 ， ，分别交以 为半径的 于 、 两点.1OM2 O DC 分别以 为圆心，以 为半径作圆.， r 即为所求.12, 【思考】若将例 3 改为：“设 与 相离，半径分别为 与 ，求作半径为 的圆，使其与 内O R r()RO切，与 外切.”又该怎么作图？ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例 4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周
10、（已知圆心）.【分析】 设半径为 .可算出其内接正方形边长为 ，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这12个长度.六等分圆周时会出现一个 的长度.设法构造斜边为 ，一直角边为 的直角三角形，331的长度自然就出来了.2【解析】 具体做法： 随便画一个圆.设半径为 1. 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为 .3 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为 2，腰为 的等3腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是 .）2 以 的长度等分圆周就可以啦！2【例 5
11、】 求作一正方形，使其面积等于已知 的面积.ABC【分析】 设 的底边长为 ，高为 ，关键是在于求出正方形的边长 ，使得 ，所以 是 与ABCahx21ahx12a的比例中项.h【解析】 已知：在 中，底边长为 ，这个底边上的高为 ，ah求作：正方形 ，使得：DEFGABCDEFGS正 方 形 ha D CBAO GFED NM作法： 作线段 ；12MDa 在 的延长线上取一点 ，使得 ；NDh 取 中点 ，以 为圆心， 为半径作 ；MNOOM 过 作 ，交 于 ，DE E 以 为一边作正方形 .DFG正方形 即为所求.FG【例 6】 在已知直线 上求作一点 ，使得过 作已知半径为 的 的切线
12、，其切线长为 .lMrO a arOlBAM2M1lOr【分析】 先利用代数方法求出点 与圆心 的距离 ，再以 为圆心， 为半径作圆，此圆与直线 的交点即MOdOdl为所求.【解析】 作 ，使得： ， ， .RtOAB90ArBa 以 为圆心， 为半径作圆.若此圆与直线 相交，此时有两个交点 ， .l 1M2， 即为所求.1M2若此圆与直线 相切，此时只有一个交点 . 即为所求.l若此圆与直线 相离，此时无交点.即不存在这样的 点使得过 作已知半径为 的 的切线，l MrO其切线长为 .a 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，
13、从而发现作图途径.【例 7】 已知：直线 、 、 ，且 .abcabc 求作：正 ，使得 、 、 三点分别在直线 、 、 上.ABCBCabccbaDDCBAcba【分析】 假设 是正三角形，且顶点 、 、 三点分别在直线 、 、 上.作 于 ，将ABCABCabAbD绕 点逆时针旋转 后，置于 的位置，此时点 的位置可以确定.从而点 也可以确D60DDC定.再作 ， 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法： 在直线 上取一点 ，过 作 于点 ；aADb 以 为一边作正三角形 ；AD 过 作 ，交直线 于 ；CcC 以 为圆心， 为半径作弧，交 于 (使 与 在 异侧) .
14、bBDAC 连接 、 、 得 .ABA即为所求.C【例 8】 已知：如图， 为 角平分线 上一点.PAOBM求作： ，使得 ， ，且 在 上， 在 上.D90PCDOADBPMO BAlDCMECDPMO BA【解析】 过 作 于 .PE 过 作直线 ;PlOB 在直线 上取一点 ，使得 (或 )；lMPEMP 过 (或 )作 （或 ） ，交 于 (或 )点；CllOAC 连接 (或 )，过 作 (或 )交 于 （或 ）点.PDBD连接 (或 ).,D,则 (或 )即为所求.C 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，
15、将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例 9】 已知：一锐角 .ABC求作:一正方形 ，使得 、 在 边上， 在 边上， 在 边上.DEFGEBCFAGABCBA G FEDG FED CBA【分析】 先放弃一个顶点 在 边上的条件，作出与正方形 位似的正方形 ，然后利用位似FAC FG变换将正方形 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形 .DEG【解析】 作法： 在 边上任取一点 ，过 作 于ABDBC 以 为一边作正方形 ，且使 在 的延长线上.GDEFGE 作直线 交 于 .FC 过 分别作 交 于 ；作 交 于 . ABF BCE 过 作 交 于 .
16、GD D则四边形 即为所求.EF 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例 10】 如图，过 的底边 上一定点， ，求作一直线 ，使其平分 的面积.ABCPlABCCBAP NM P CBAl【分析】 因为中线 平分 的面积，所以首先作中线 ，假设 平分 的面积，在 中先AMCAQABAMC割去 ，再补上 .只要 ，则 和 就同底等高，此时它们的面积就相等PNPMP P了.所以 就平分了 的面积.B【解析】 作法： 取 中点 ，连接 ;BCM,AP 过 作 交 于 ；N B
17、N 过 、 作直线 .Pl直线 即为所求.l【例 11】 如图：五边形 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.ABCDE 请你作一条直线 ，使直线 平分五边形 的面积；llABCDE 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.FEDCBAlOO NMFEDCBARQPlOOFEDCBA【解析】 取梯形 的中位线 的中点 ，再取矩形 对角线的交点 ，则经过点 ， 的AFEMNFO直线 即为所求；l 这样的直线有无数条.设中的直线 交 于 ，交 于 ，过线段 中点 ，且与线段 、lAEQBCRQPAE均有交点的直线均可平分五边形 的面积.BCABCDE【例 12】 ( 江苏连云港 )如图
18、，点 将线段 分成两部分，如果 ，那么称点 为线段 的071 ACBCAB黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 将一个面积为 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 ， ，如果 ，那么称直lS 1S212S线 为该图形的黄金分割线 研究小组猜想：在 中，若点 为 边上的黄金分割点(如图 )，则直线 是 的黄ABC DABCDAB金分割线你认为对吗？为什么？ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ 研究小组在进一步探究中发现：过点 任作一条直线交 于点 ，再过点 作直线 ，ABEFE交 于点 ，连接 (如图 )
19、，则直线 也是 的黄金分割线请你说明理由ACFE3EFC 如图 ，点 是 的边 的黄金分割点，过点 作 ，交 于点 ，显然直线4ABCF C是 的黄金分割线请你画一条 的黄金分割线，使它不经过 各边黄金EDDABD分割点【解析】 直线 是 的黄金分割线理由如下：CDAB设 的边 上的高为 h， ， ，12ADCS 12BDCSA 12ABCShA ， ABC ADC又 点 为边 的黄金分割点，D ABADCBDCBAS 直线 是 的黄金分割线 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时 ，即 ，12S12S三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线 A C B图 1A D B图 2CA D
20、B图 3CFEF CBDEA图 4 ，DFCE 和 的公共边 上的高也相等， CE DECFCES 设直线 与 交于点 ， GDGEFGCS ADCFCAFDS 四 边 形，GEAS 四 边 形BDCBEFCS 四 边 形又 ， ADBCAC BEFCAEFBCAS四 边 形 直线 也是 的黄金分割线 EF 画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图 ，取 中点 ，再过点 作一直线分别交 ， 于 ， 点，1EFGABDCMN则直线 就是 的黄金分割线MNABCD画法二：如答图 ，在 上取一点 ，连接 ，再过点 作 交 于点 ，2NEFE AB连接 ，则直线 就是 的黄金分割线F CBDEANMG（答案图 1）F CBDEANM（答案图 2）
