1、 1一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：过点、点作直线；或作直线；或作射线；连结两点；或连结；延长到点；或延长（反向延长）到点，
2、使；或延长交于点；2.用圆规作图的几何语言：在上截取；以点为圆心，的长为半径作圆（或弧） ；以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；分别以点、点为圆心，以、的长为半径作弧，两弧相交于点、 .三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证
3、明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.4、基本作图最基本,最常用的尺规作图 ,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图：1、作 一 条 线 段 等 于 已 知 线 段 ；2、作 一 个 角 等 于 已 知 角 ；3、作 已 知 线 段 的 垂 直 平 分 线 ；4、作 已 知 角 的 角 平 分 线 ；5、过 一 点 作 已 知 直 线 的 垂 线 ；1.作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段 a .求作：线段 AB，使 AB = a .作法：（1） 作射线 AP；（2） 在射线 AP
4、 上截取 AB=a .则线段 AB 就是所求作的图形。2.作已知线段的中点。已知：如图，线段 MN.求作：点 O，使 MO=NO（即 O 是 MN 的中点）.作法：（）分别以 M、N 为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于 P，Q；（）连接 PQ 交 MN 于 O则点 O 就是所求作的的中点。2（试问：PQ 与有何关系？）3. 作已知角的角平分线。已知：如图，AOB，求作：射线 OP, 使AOPBOP（即 OP 平分AOB）。作法：（1）以 O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交 OA，OB 于 M，N；（2）分别以 M、为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交AOB 内于；（3） 作
5、射线 OP。则射线 OP 就是AOB 的角平分线。4. 作一个角等于已知角。（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法五、典型题型1. 已知线段 a、 b，画一条线段，使其等于 ba2分析 所要画的线段等于 ，实质上就是 画法：1画线段 aAB2在 AB 的延长线上截取 线段 AC 就是所画的线段bC2说明 1尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去2其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图2.如下图，已知线段 a 和 b，求作一条线段 AD 使它的长度等于 2ab图（1） 图（2）正解 如图（2） ，（1）作射线 AM；（2）在射线
6、 AM 上，顺次截取 AB=BC=a；（3）在线段 CA 上截取 CD=b，则线段 AD 就是所求作的线段3. 求作一个角等于已知角MON（如图 1） 图（1） 图（2）正解 如图（2） ，（1）作射线 ；（2）在图（1）上，以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OM 于点 A，交 ON 于点 B；（3）以MO为圆心，OA 的长为半径作弧，交 于点 C；1M（4）以 C 为圆心，以 AB 的长为半径作弧，交前弧于点 D；（5）过点 D 作射线 O1则 就是所要求作的角D134. 如下图，已知 及线段 a，求作等腰三角形，使它的底角为 ，底边为 a分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的
7、性质，知两底角B=C =，底边 BC=a，故可以先作B = ，或先作底边 BC=a作法 如下图（1）MBN=；（2）在射线 BM 上截取 BC=a；（3 ）以 C 为顶点作PCB=，射线 CP 交 BN 于点 AABC 就是所要求作的等腰三角形说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤5. 如图（1） ，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C，过点 C 作 CDAB （写出作法，画出图形） 分析 根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角ECD=EFB 即可作法 如图（2） 图（1） 图（2）（1）过点 C
8、作直线 EF，交 AB 于点 F；（2）以点 F 为圆心，以任意长为半径作弧，交 FB 于点 P，交 EF 于点 Q；（3）以点 C 为圆心，以 FP 为半径作弧，交 CE 于 M 点；（4）以点 M 为圆心，以 PQ 为半径作弧，交前弧于点 D；（5）过点 D 作直线 CD，CD 就是所求的直线说明 作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由6. 如下图，ABC 中，a=5cm ，b=3cm，c=3.5cm，B= ，C= ，请你从中选择适当的数据，画出与 ABC364全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据） 分析 本
9、题实质上是利用原题中的 5 个数据，列出所有与ABC 全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS 、ASA解 与ABC 全等的三角形如下图所示7. 正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化拟从点 A出发，将ABC 分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法） （2003 年，桂林）4分析 这是尺规作图在生活中的具体应用要把ABC 分成面积相等的三个三角形，且都是从 A 点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出 BC 边的三等分点即可作法 如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理8
10、. 已知AOB，求作AOB 的平分线 OC错解 如图（1）作法 （1）以 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 D、E 两点；（2）分别以 D、E 为圆心，以大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于 C 点；21（3）连结 OC，则 OC 就是AOB 的平分线错解分析 对角平分线的概念理解不够准确而致误作法（3）中连结 OC，则 OC 是一条线段，而角平分线应是一条射线图（1） 图（2）正解 如图（2）（1）以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 D、E 两点；（2）分别以 D、E 为圆心，以大于 DE 的长为2半径作弧，两弧交于 C 点；（3）作射线 OC，
11、则 OC 为AOB 的平分线9. 如图（1）所示，已知线段 a、b、h（hb） 求作ABC ，使 BC=a，AB=b， BC 边上的高 AD=h图（1）错解 如图（2） ，（1）作线段 BC=a；（2）作线段 BA=b，使 AD BC 且 AD=h则ABC 就是所求作的三角形错解分析 不能先作 BC；第 2 步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；未考虑到本题有两种情况对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高 AD，再作 AB，最后确定 BC图（2） 图（3）正解 如图（3） （1）作直线 PQ，在直线 PQ 上任取一点 D，作 DMPQ；（2）在 DM 上截取线段
12、DA=h；（3）以 A 为圆心，以 b 为半径画弧交射线 DP 于 B；（4）以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线 BP 和射线 BQ 于 和 ；1C2（5）连结 、 ，则 （或 ）都是所求作的三角形1C21ABC210. 如下图，已知线段 a，b，求作 RtABC，使ACB=90，BC =a，AC =b（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 分析 本题解答的关键在于作出ACB=90 ，然后确定 A、B 两点的位置，作出ABC5作法 如下图（1）作直线 MN：（2）在 MN 上任取一点 C，过点 C 作 CEMN；（3）在 CE 上截取 CA=b，在 CM 上截取 CB=a；（4）连结
13、AB，ABC 就是所求作的直角三角形说明 利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序若把握不好作图顺序，要先画出假设图形11. 如下图，已知钝角ABC，B 是钝角求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形） 分析 （1）作 BC 边上的高，就是过已知点 A 作 BC 边所在直线的垂线；（2）作 BC 边上的中线，要先确定出 BC 边的中点，即作出 BC 边的垂直平分线作法 如下图（1）在直线 CB 外取一点 P，使 A、P 在直线 CB 的两旁；以点 A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线 CB 于 G、H 两点；分别以 G、H 为圆心，以大于 G
14、H 的长为半径画弧，两弧交于 E 点；21作射线 AE，交直线 CB 于 D 点，则线段 AD 就是所要求作的ABC 中 BC 边上的高（2）分别以 B、C 为圆心，以大于 BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M、N 两点；作直线 MN，交 BC 于点 F；连结 AF，则线段 AF 就是所要求作的ABC 中边 BC 上的中线说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点12. 如图（1）所示，在图中作出点 C，使得 C 是MON 平分线上的点，且AC=OC图（1）
15、图（2）分析 由题意知，点 C 不仅要在 MON 的平分线上，且点 C 到 O、A 两点的距离要相等，所以点 C 应是MON的平分线与线段 OA 的垂直平分线的交点作法 如图（2）所示（1）作MON 的平分线 OP；（2）作线段 OA 的垂直平分线 EF，交 OP 于点 C，则点 C 就是所要求作的点说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等（2）两条直线交于一点13. 如下图，已知线段 a、b、求作梯形 ABCD，使 AD=a，BC= b，AD BC ，B= ；C = 6分析 假定梯形已经作出，作 AEDC 交 BC 于 E，则 AE 将梯形分割为两部分，一部分是ABE，另一部分是AECD在ABE 中，已知B=，AEB= ， BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出 AECD作法 如下图（1）作线段 BC=b；（2）在 BC 上截取 BE=b-a ；（3）分别以 B、E 为顶点，在 BE 同侧作EBA=，AEB=，BA、EA 交于 A；（4）以 EA、EC 为邻边作 AECD四边形 ABCD 就是所求作的梯形说明 基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形
