1、【学习目标】1了解什么是尺规作图2学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段； (2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线3了解五种基本作图的理由4学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程5学会利用基本作图画三角形等较简单的图形6通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美【基础知识精讲】1尺规作图：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛2尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图3基
2、本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段如图 24-4-1，已知线段 DE求作：一条线段等于已知线段作法：先画射线 AB然后用圆规在射线 AB 上截取 ACMN线段 AC 就是所要作的线段(2)作一个角等于已知角如图 24-4-2，已知AOB 求作：AOB，使AO B AOB作法：作射线 OA；以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA 于 C，交 OB 于 D以点 O为圆心，以 OC 长为半径作弧，交 OA 于 C以点 C为圆心，以 CD 为半径作弧，交前弧于 D经过点 D作射线 OB，A O B 就是所求的角(3)作线段的垂直平分线如图 24-4-3，已知线段 AB求作：线段 AB
3、 的垂直平分线作法：分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB21的长为半径作弧，两弧相交于点 C 和D作直线 CD直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线注意：直线 CD 与线段 AB 的交点，就是 AB 的中点(4)经过一点作已知直线的垂线a经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图 24-4-4已知：直线 AB 和 AB 上一点 C，求作：AB 的垂线，使它经过点 C作法：作平角 ACB 的平分线 CF直线 CF 就是所求的垂线，如图 24-4-4b经过已知直线外一点作这条直线的垂线如图 24-4-5，已知：直线 AB 和 AB 外一点 C求作：AB 的垂线，使它经过点 C作法：任意取一点
4、 K，使 K 和 C 在 AB 的两旁以 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E分别以 D 和 E 为圆心，大于E21的长为半径作弧，两弧交于点 F作直线 CF直线 CF 就是所求的垂线注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决(5)平分已知角如图 24-4-6，已知AOB 求作：射线 OC，使AOCBOC作法：在 OA 和 OB 上，分别截取 OD、OE分别以 D、E 为圆心，大于DE21的长为半径作弧，在AOB 内，两弧交于点 C作射线 OCOC 就是所求的射线注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组
5、成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点和点画射线，或画射线(2)在射线上截取(3)以点为圆心，为半径画弧(4)以点为圆心，为半径画弧，交于点(5)分别以点，点为圆心，以，为半径作弧，两弧相交于点 (6)在射线上依次截取(7)在的外部或内部画注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了如：(1)画线段(2)画(3)画平分，或画的角平分线(4)过点画，垂足为点(5)作线段的垂直平分线，等等但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按
6、程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理【经典例题精讲】例 1 已知两边及其夹角，求作三角形如图 24-4-7，已知：，线段 a、b，求作：ABC，使A，ABa，ACb作法：作MAN在射线 AM、AN 上分别作线段 ABa ，AC b连结 BC如图 24-4-8，ABC 即为所求作的三角形注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析例 2 如图 24-4-9，已知底边 a，底边上的高 h，求作等腰三角形已知线段 a、h求作：ABC，使 ABAC，且 BCa，高 ADh分析：可先作出底边 BC，根据等腰三角形的三线合一
7、的性质，可再作出 BC 的垂直平分线，从而作出 BC 边上的高 AD，分别连结 AB 和 AC，即可作出等腰ABC 来作法：(1)作线段 BCa(2)作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 交于点 D(3)在 MN 上截取 DA，使 DAh(4)连结 AB、AC如图 24-4-10，ABC 即为所求的等腰三角形例 3 已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形如图 24-4-11，已知线段 a，m，h(mh) 求作：ABC 使它的一边等于 a，这边上的中线和高分别等于 m 和 h(mh)分析：如图 24-4-12，假定ABC 已作出，其中 BCa，中线 ADm ，高 AEh，在AE
8、D 中 AD m，AE h，AED 90，因此这个 RtAED 可以作出来( AED 为奠基三角形) 当 RtAED 作出后，由 21DCB的关系可作出点 B 和点 C，于是ABC 即可得到作法：(1)作AED，使AED90，AEh，ADm (2)延长 ED 到 B，使a21D(3)在 DE 或 BE 的延长线上取C(4)连结 AB、AC则ABC 即为所求作的三角形注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果 hm，作图题无解；若 mh，则作出的图形为等腰三角形例 4 如图 24-4-13，已知线段 a求作：菱形 ABCD，使其半周长为 a，两邻角之比为 12分析：因为菱形四边
9、相等， “半周长为 a”就是菱形边长为a，为此首先要将线段 a 等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为 12”可知，菱形较小内角为 60，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形 ABCD作法：(1)作线段 a 的垂直平分线，等分线段 a(2)作线段 AC，使 2AC(3)分别以 A、 C 为圆心， 为半径，在 AC 的两侧画弧，两弧分别交于 B，D(4)分别连结 AB、BC、CD、DA 得到四边形 ABCD，则四边形 ABCD 为所求作的菱形(如图 24-4-14)注意：这种通过先画三角形，然后再
10、画出全部图形的方法即为“三角形奠基法” 例 5 如图 24-4-15，已知AOB 和 C、D 两点求作一点 P，使 PCPD ，且使点 P 到AOB 的两边 OA、OB 的距离相等分析：要使 PCPD，则点 P 在 CD 的垂直平分线上，要使点 P 到AOB 的两边距离相等，则 P 应在 AOB 的角平分线上，那么满足题设的 P 点就是垂直平分线与角平分线的交点了作法：(1)连结 CD(2)作线段 CD 的中垂线 l(3)作AOB 的角平分线 OM，交 l 于点 P，P 点为所求注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求【中考考点】例 6 (20
11、00安徽省)如图 24-4-16，直线 321ll， 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A一处 B二处C三处 D四处分析：到直线 21l， 距离相等的点在 21l， 相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点解：分别作 3， 相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个答案：D注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点例 7 (2002陕西省) 如图 24-4-17，ABC 是一块直角三角形余料， C 90，工人师傅要把它加工成个正
12、方形零件，使 C 为正方形的 个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC 、AC 边上(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线( 不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得 AC80 cm，BC120cm，请帮助工人师傅算出按(1) 题所画裁割线加工成的正方形零件的边长解：(1)作ACB 的平分线与 AB 的交点 E 即为正方形顶点，作 CE 线段的中垂线HK 与 AC、BC 的交点 F、D 即为所作正方形另两个顶点，如图 24-4-17(2)设这个正方形零件的边长为 x cm，DEAC， BCAE， 120x8x48答：这个正方形零件的边长为 48cm注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读
13、者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚例 8 (2002山西省) 如图 24-4-18，有一破残的轮片( 不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T 形尺或尺规作图均可，图中MN21是这个零件的半径，图中 OB 是这个零件半径解：如图 24-4-18所示【常见错误分析】例 9 如图 24-4-19，已知线段 a、b、h求作ABC，使 BCa，ACb，BC 边上的高 ADh并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：作 RtADC
14、 ，使 ADh，AC b在直线 CD 上截取 CBa 如图 24-4-20，则ABC 就是所求作的三角形(2)作出的三角形唯一(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部正解：如图 24-4-21，作法：作 RtADC，使 ADh，ACb在直线 CD 上截取 CBa(在点 C 的两侧)则ABC，ABC 都是所求作三角形(2)作出的三角形不唯一(3)得出结论有两边及边上的高对应相等的两三角形不一定全等注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎【学习方法指导】学习本单元基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解
15、各种基本作图的步骤，掌握作图语言【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法【同步达纲练习】1下列画图语言表述正确的是( )A延长线段 AB 至点 C，使 ACBCB以点 O 为圆心作弧C以点 O 为圆心，以 AC 长为半径画弧D在射线 OA 上截取 OB a，BCb，则有 OCab2过点 C 画直线 l 的垂线的思想方法是：把这个问题转化为画 _的方法来解决3作线段的垂直平分线的理论根据是_和两点确定一条直线4把一个角四等分的步骤是：第一步：先把这个角_等分，第二步：把得到的两个角分别再_等分5已知 和，求作一个角，使它等于)(216求作三角形三条角平分线的交点7已知一腰和底边上的高，作等腰三角形8已知，三个自然村 A、B、C 的位置如图 24-4-22 所示现计划建一所小学，使其到 A、B、C 三个自然村的距离相等请你设计出学校所在的位置 O(不写作法，保留作图痕迹) 9如图 24-4-23，在直线 l 上求作点 P，使 PAPB(不写作法，保留作图痕迹)10已知 求作： 的中点 P
