1、图像形态学,概述集合论基础知识膨胀和腐蚀(Dilation & Erosion)：产生滤波器作用开操作和闭操作(Opening & Closing)：产生滤波器作用击中或击不中变换(Hit-or-Miss Transform)形态学的主要应用：边界提取、区域填充、连通分量的提取、凸壳、细化、粗化等,概述,形态学:一般指生物学中研究动物和植物结构的一个分支数学形态学（也称图像代数）表示以形态为基础对图像进行分析的数学工具基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的形态学图像处理的数学基础和所用语言是集合论,概述（续）,形态学图像处理的应用可以简化图像
2、数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构形态学图像处理的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开操作和闭操作,集合论基础知识,复习集合的并、交、补、差,集合论基础知识,集合B的反射 ，定义为 =w|w= b,bB即关于原集合原点对称 集合A平移到点z=(z1,z2),表示为(A)z，定义为(A)z =c| c = a+ z, aA,二值形态学,二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合，S为结构元为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。 需要指出，实际上结构元素本身也是一个图像集合。对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点。 应注意，原点可以包含在结构元素中，也
3、可以不包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。 二值形态学中两个最基本的运算是腐蚀与膨涨,膨胀和腐蚀,膨胀：使图像扩大A和B是两个集合，A被B膨胀定义为：上式表示：B的反射进行平移与A的交集不为空 B的反射：相对于自身原点的映象 B的平移：对B的反射进行位移,膨胀和腐蚀,膨胀的另一个定义 上式表示：B的反射进行平移与A的交集是A的子集,适合算法实现. 其过程如下:将结构元素B的原点移至集合A的某一点,将结构元素中点的坐标与集合A中该点坐标相加,得到对集合中一点的膨胀运算结果.对集合对集合中所有元素重复该过程,膨胀应用举例,桥接文字裂缝,优点：在一幅二值图像中直接得到结果，对比低通滤波方法,膨胀
4、和腐蚀,腐蚀：使图像缩小 A和B是两个集合，A被B腐蚀定义为： 集合B称为结构元素将结构元素B相对于集合A进行平移, 只要平移后结构元素都包含在集合中, 那么这样的平移点都是,对一个给定的目标图像X和一个结构元素 S，将S在图像上移动。在每一个当前位置x，S+x只有三种可能的状态第一种情形说明S+x与X相关最大， 第二种情形说明S+x与X不相关， 而第三种情形说明S+x与X只是部分相关,X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在后仍在X中的x的集合。换句话说，用S来腐蚀来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S的原点位置的集合。,腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。 如果结构元素取33的像
5、素块，腐蚀将使物体的边界沿周边减少一个像素。 腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、小凸起)去除，这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体。 如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。,腐蚀运算的示例,图(a)中的阴影部分为集合X，图(b)中的中的阴影部分为结构元素S，而图(c)中黑色部分给出了结果。 由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。,腐蚀应用举例,使用腐蚀消除图像的细节部分，产生滤波器的作用,包含边长为1,3,5,7,9 和15像素正方形的二 值图像使用1313像素大小 的结构元素腐蚀原图 像的结果使用1313像素大小的结
6、 构元素膨胀图b，恢复原来 1515尺寸的正方形,（a）集合A， （b）窗口W 和与W有关的X的局部背景（W-X）， （c）A的补集， （d）用X对A腐蚀，（e）用（W-X）对A腐蚀， （f）（d）和（e）的交集，显示了我们希望得到的X的原点位置,开操作和闭操作,开操作：使图像的轮廓变得光滑，断开狭窄的间断和消除细的突出物使用结构元素B对集合A进行开操作，定义为：Ao B = (AB) B 含义：先用B对A腐蚀，然后用B对结果膨胀 另一个定义Ao B = (B)z | (B)z A,开操作和闭操作,闭操作：同样使图像的轮廓变得光滑，但与开操作相反，它能消除狭窄的间断和长细的鸿沟，消除小的孔洞，
7、并填补轮廓线中的裂痕,使用结构元素B对集合A进行闭操作，定义为：A B = (A B)B含义：先用B对A膨胀，然后用B对结果腐蚀,开操作的几何解释,AoB的边界通过B中的点完成B在A的边界内转动时，B中的点所能到达的A的边界的最远点,开运算去掉了凸角(a) 结构元素S1和S2； (b) XS1； (c) XS2,闭操作的几何解释,AB的边界通过B中的点完成B在A的边界外部转动,开操作的3条性质,AoB是A的子集合如果C是D的子集，则CoB是DoB的子集(AoB)oB= AoB,闭操作的3条性质,A是AB的子集合如果C是D的子集，则CB是DB的子集(AB)B= AB,开闭运算的代数性质,由于开、
8、闭运算是在腐蚀和膨胀运算的基础上定义的， 根据腐蚀和膨胀运算的代数性质，可得到下面的性质。 对偶性 扩展性（收缩性） 即开运算恒使原图像缩小，而闭运算恒使原图像扩大,开操作和闭操作应用举例,开操作和闭操作应用举例,a图是受噪声污染的指纹二值图像，噪声为黑色背景上的亮元素和亮指纹部分的暗元素 b图是使用的结构元素 c图是使用结构元素对图a腐蚀的结果：黑色背景噪声消除了，指纹中的噪声尺寸增加,d图是使用结构元素对图c膨胀的结果：包含于指纹中的噪声分量的尺寸被减小或被完全消除，带来的问题是：在指纹纹路间产生了新的间断e图是对图d膨胀的结果，图d的大部分间断被恢复，但指纹的线路变粗了f图是对图e腐蚀的
9、结果，即对图d中开操作的闭操作。最后结果消除了噪声斑点,缺点：指纹线路还是有缺点，可以通过加入限制性条件解决,击中或击不中变换,设有两幅图像A和B，如果AB，那么称B击中A，其中是空集合的符号；否则，如果AB=，那么称B击不中A,（a）B击中A； （b）B击不中A,一般来说，一个物体的结构可以由物体内部各种成分之间的关系来确定。为了研究物体（在这里指图像）的结构，可以逐个地利用其各种成分 (例如各种结构元素)对其进行检验，判定哪些成分包括在图像内，哪些在图像外，从而最终确定图像的结构。 击中/击不中变换就是在这个意义上提出的。,击中,设X是被研究的图像，S是结构元素，而且S由两个不相交的部分S
10、1和S2构成.即S=S1S2,且S1S2=.于是，X被S“击中”的结果定义为,X被S击中示意图 (a) 结构元素S=S1S2；(b) 图像X；(c) X被S击中,击中或击不中变换,三个相关公式 A中对B进行的匹配表示为：B=(B1,B2),B1 = X,B2 = (W X) B1是由与一个对象相联系的B元素构成的集合， B2是与相应背景有关的B元素的集合,A被B击中的结果相当于A被B1腐蚀的结果与X 被B2的反射集膨胀的结果之差 击中运算也可以借助于腐蚀、膨胀两基本运算来实现.,击中或击不中变换举例,形态学的主要应用,边界提取定义 (A)= A(AB) 上式表示：先用B对A腐蚀，然后用A减去腐
11、蚀得到，B是结构元素,边界提取举例,1表示为白色，0表示为黑色,形态学的主要应用,区域填充 定义:设所有非边界(背景)点标记为0，则将1赋给p点开始，实现目的：从边界内的一个点开始，用1填充整个区域 X0=p，如果Xk=Xk-1，则算法在迭代的第k步结束。Xk和A的并集包含被填充的集合和它的边界条件膨胀：如果对上述公式的左部不加限制，则上述公式的膨胀将填充整个区域。利用Ac的交集将结果限制在感兴趣区域内，实现条件膨胀,应用：形态学区域填充因为球内部的暗点不是真实的，而是反射所产生的效果，我们的目的就是通过区域填充消除反射。,区域填充举例,通过区域填充消除白色圆圈内的黑点,形态学的主要应用,连通
12、分量的提取 实现目的：在二值图像中提取连通分量 令Y表示一个包含于集合A中的连通分量，并假设Y中的一个点p是已知的。用下列迭代式生成Y的所有元素： Xk =(Xk1 B)A k =1,2,3,. x0=p,如果Xk=Xk-1，算法收敛，令Y=Xk,应用：使用连通分量检测包装食物中的外来物,连通分量提取的应用举例,形态学的主要应用,凸壳: 如果连接集合A内任意两个点的直线段都在A的内部，则A是凸形的集合S的凸壳H是包含S的最小凸集合H-S称为S的凸缺 求取集合A的凸壳C(A)的简单形态学算法：令Bi表示4个结构元素,i=1,2,3,4,凸壳,先对A用B1运用击中或击不中变换，反复使用，当不再发生
13、变化时，执行与A的并集运算，用D1表示结果 上述过程用B2重复，直到不发生变化。 最后得到的4个D的并集组成了A的凸壳,计算凸壳举例,计算凸壳举例（续）,上述过程的一个明显缺点是：凸壳可能超出确保凸性所需的最小尺寸 解决办法：限制水平和垂直方向上的尺寸大小，如下图所示。 也可限制水平、垂直和对角线方向上的最大尺寸。缺点是增加了算法的复杂性,形态学的主要应用,细化细化过程根据击中或击不中变换定义定义结构元素序列为是 旋转后的形式，如在 中旋转90 用结构元素序列定义细化为即连续使用 对A细化,细化过程举例,(a)用于细化的经旋转的结构元素序列，(b)集合A，(c)使用第1个结构元素进行细化的结果
14、，(d)(i)使用接下来的7个结构元素进行细化得到的结果（第7个和第8个结构元素之间没有区别），(j)再次使用第1个结构元素得到的结果（与接下来的两个结构元素没有区别），(k)收敛后的结果，(l)转换为具有m连通度的结果,形态学的主要应用,粗化粗化和细化在形态学上是对偶过程，定义为用结构元素序列定义粗化为即连续使用 对A粗化 粗化可以通过细化算法求补集实现： 先对所讨论集合的背景进行细化，然后对结果求补集，即,粗化可以通过细化算法求补集实现： 为了对集合A进行粗化，先令C=Ac，然后对C进行细化，最后形成Cc,形态学的主要应用,骨架 概念：骨架S(A)可以从下图中直观看出，推断结果 (1) 圆
15、盘Dz叫做最大盘； (2) 圆盘Dz在两个或更多的不同位置上与A的边界接触。,定义：A的骨架可用腐蚀和开操作表达。表示为：在此，B是一个结构元素 表示对A的连续k次腐蚀：第k次是A被腐蚀为空集合前进行的最后一次迭代：,初始集合位于左上角，它的形态学骨架在第4列的底部。 第6列底部为重构后的集合,裁剪 实现目的：裁剪方法实际上是对细化和骨架绘制算法的补充，因为要清除这些算法产生的一些不必要的附加成分。 应用实例：自动手写字符识别，分析每种字符的骨架形状。,由于在字符骨架中经常有各种“毛刺”存在，毛刺是在腐蚀过程中由于构成字符的笔画不均匀造成的。图示如下：我们要消除字符“a”左边的寄生部分。假定寄
16、生成分的长度都小于三个象素。 过程：(1) 用一系列被设计用来检测终点的结构元素对A进行细化；,B为结构元素序列，每种结构元素都全部8个象素进行90度的旋转。 (2) 得到建立在X1中,包含的所有终点的集合X2。图中（e）所示,(3) 对端点进行三次膨胀处理，用集合A作为消减因子；X3=(X2H) AH是元素值为1的33的结构元素; 图（f）为显示的结果 (4) X3和X1的并集X4=X3X1,灰度级图像扩展,我们前面所讲的形态学方法都是基于二值图像的，下面我们要把形态学处理扩展到灰度图像的基本操作。 在下面的讲解中，我们设f(x,y) 为输入图像，而b(x,y) 为结构元素。,膨胀,定义：用
17、b对函数f进行的灰度膨胀表示为f b(f b)(s,t)=maxf(s-x,t-y)+b(x,y)|(s-x),(t-y)Df ; (x,y)Db其中， Df和Db分别是f和b的定义域。注意，f和b是函数而不是二值形态学情况中的集合。一维说明：用一维函数说明上式的表示法和运算原理。 (f b)(s)=maxf(s-x)+b(x)|(s-x)Df; (x,y)Db,在此式中，f(-x)是f(x)关于x轴的镜像。当s为正时函数f(s-x)向右移动，为负则向左移动。而且f 和b 是彼此交叠的。我们也可以把b 看作滑过f 的函数。,(a)一个简单的函数，(b)高度A的结构元素，(c)b滑过f的不同位置
18、进行膨胀的结果，(d)膨胀得到的完整结果（以实线表示）,从图中我们可以看出，在每个结构元素的位置上，这一点的膨胀值是在跨度为b 的区间内f 与b 之和的最大值。 结果：通常对灰度图像进行膨胀处理的结果是双重的。 (1)若所有结构元素的值为正，则输出图像会趋向于比输入图像更亮； (2)暗的细节部分全部减少了还是被消除了,取决于膨胀所用的结构元素的值和形状。,腐蚀,定义：灰度腐蚀，f b其中，Df和Db分别是f和b的定义域 一维说明：用一维函数说明上式的表示法和运算原理,例子,从图中我们可以看出，腐蚀操作是以结构元素形状定义的区间中选取（fb）最小值为基础的。结果：通常对灰度图像进行腐蚀处理的结果
19、是双重的。 (1)若所有结构元素的值为正，则输出图像会趋向于比输入图像更暗； (2)在输入图像中亮的细节的面积如果比结构元素的面积小，则亮的效果将被削弱。削弱的程度取决于环绕于亮细节周围的灰度值和结构元素自身的形状和幅值。,使用(b)中显示的结构元素对(a)中显示的函数进行腐蚀得到(c),膨胀和腐蚀的比较：对偶关系,图解：灰度图像的膨胀和腐蚀的说明， 其中: (a)表示一幅512512大小的灰度图像；(b)表示用“平顶”元素对图像进行膨胀的结果；(c)表示对原图像进行腐蚀的结果。,(a)原图，(b)膨胀后的结果，(c)腐蚀后的结果,开操作和闭操作,定义：用子图(结构元素) b 对图像f 进行开操作AoBfob=(f b) b 用子图(结构元素) b 对图像f 进行闭操作 fb= (f b) b二者是对偶关系,几何解释,(1)用b对f 进行开操作的原理可以解释为，推动球沿着曲面的下侧面滚动，以便球体能在曲面的整个下侧面来回移动。当球体的任何部分接触到曲面的最高点就构成了开操作的曲面 (2)相对应的，闭操作就是在曲面的上侧面滚动，同时构成了闭操作的曲面,(a)一条灰度扫描线，(b)开操作时滚动球的位置，(c)开操作的结果，(d)闭操作时滚动球的位置，(e)闭操作的结果返回,
