1、第1章 矩阵位移法,本章主要内容,第一节 概述及位移法回顾 第二节 矩阵位移法基本概念 第三节 单元刚度方程和单元刚度矩阵 第四节 坐标变换 第五节 用整体坐标描述的单元刚度矩阵 第六节 结构刚度方程和总刚度矩阵 第七节 直接刚度法 第八节 荷载向量 第九节 支座条件的引进 第十节 刚度方程的求解及内力计算,习题训练,3,第一节 概述及位移法回顾,矩阵位移法适用于静定结构及超静定结构，是有限元法的雏形，也称为杆系有限元法； 有限元法的要点：单元分析：建立单元刚度方程和单元刚度矩阵；整体分析：建立结构整体刚度矩阵和刚度方程。 特点： 从有限单元法的角度讲解，易于编写通用的计算机程序，对于大型复杂
2、结构，该法具有很大的优越性，大大减少手算的工作量，是面向计算机的计算方法。,位移法回顾,1,2,3,4,结构力学 II,返回,附加约束1,附加约束2,原结构,1）基本未知量：,基本体系,位移法求解图示刚架。,基本结构,返回,位移法基本思路,基本体系中附加约束的反力：,基本体系,P,荷载作用,2作用,=,+,+,1作用,=1,=1,位移法基本思路,返回,由此可得位移法基本方程：,基本体系,P,原结构,消除基本体系与原结构的差异：,即使附加约束上的反力为0.,实质是平衡方程,力矩方程,水平投影方程,位移法基本思路,返回,8,位移法基本要点,位移法基本未知量：独立的节点位移。 位移法基本方程：节点位
3、移对应的平衡方程；,基本体系把结构分划为若干独立的超静定梁，基本方程把它们组合在一起。 等截面直杆的刚度方程是关键。,返回,9,位移法和矩阵位移法异同点,矩阵位移法是考虑所有结点位移的位移法；基本未知量都是结点位移。 位移法一般忽略杆的轴向变形和支座结点的位移，只把独立结点位移作为未知量。,矩阵位移法的未知量考虑所有结点（包括支座结点）的位移，除非注明，否则不能忽略杆的轴向变形。 矩阵位移法从有限单元法的思路分析，借助于单元和结构刚度方程，求解结点位移。 位移法一般借助于叠加法求最终的内力；矩阵位移法 借助于单元的刚度方程求解各单元的杆端力及内力。,位移法未知量：,矩阵位移法未知量：,返回,第
4、二节 矩阵位移法基本概念,1,2,3,4,返回,11,一、结构离散化,结构离散化 结构计算的第一步。把结构假想地划分成若干个相互分离的有限个单元, 单元与单元之间用结点联结。 用离散化的单元集合体来代替原结构。 分析的对象 就是离散化后的结构。荷载按等效原则移置到结点上去。,原结构：,分析对象：,图1,图2,图3,12,二、坐标系,单元坐标系 与单元联系在一起的坐标系。 单元坐标系x 轴就是杆轴,原点为单元左端点, 用 xoy 表示。 每个单元都有各自独立的坐标系，方向一般不同。 用来描述单元的变形和杆端力.,整体坐标系 整个结构唯一的坐标系。 用来描述结构整体的变形 和受力用 来表示.,13
5、,注意：,一般只标定单元坐标的x方向，y轴及转角位移的方向根据整体坐标系确定。单元坐标xy与整体坐标xy的转向要保持一致，的正转向与整体坐标一致。单元节点的力及位移与坐标方向一致取为正。,单元弯矩与转角位移的正向与整体坐标一致。,14,三、杆端力和杆端位移,杆端力 作用在单元两端的力按次序排列，统一用杆端力向量F(e)来表示。 在平面杆系结构中， 单元杆端力向量一般为：,杆端位移 结构变形使单元产生位移，单元两端节点的位移按次序排列，统一用杆端位移向量(e) 来表示。 。 在平面杆系结构中， 单元杆端位移向量一般为：,15,单元杆端力向量由沿单元坐标的分量构成。,其元素也就是传统意义上的内力，
6、即分别为单元两端截面的轴力、剪力、弯矩，只是符号规定不同； 内力符号规定：轴力以拉力为正；剪力以顺时针转为正。,单元坐标描述的杆端力向量,16,单元杆端力向量由沿整体坐标的分量构成,单元坐标系表示的杆端位移,整体坐标系表示的杆端位移,分别为单元左、右端沿整体坐标x轴方向的力分量、y轴方向的力分量、力矩,整体坐标系描述的杆端力向量,单元杆端位移向量由沿单元坐标的位移分量构成。,单元杆端位移沿整体坐标系分解得到的分量按顺序排列。,返回,17,例1：已知某单元的单元坐标下的杆端力：,单元坐标系如图，作出单元的内力图。,1.24,1.5,2.6,1.24,1.5,3.4,-,-,1.24,1.5,2.
7、6,3.4,N图 （KN）,Q图 （KN）,M图（KN.m）,单元受力图,返回,* 借助于受力图，可实现单元杆端力向量和内力图之间的变换。,18,例2：已知单元内力图，列出单元的杆端力向量,1.24,0.43,4.38,1.24,0.43,3.04,单元坐标表示：,整体坐标表示：,受力图,返回,19,作业：已知单元和结点的离散如图，给定荷载作用下各结点整体坐标下的位移：,写出单元坐标及整体坐标表示的单元杆端位移向量，整体坐标表示的单元杆端力向量，并作出单元的内力图。,单元坐标下：各单元的杆端力向量如下：,返回,20,单元刚度方程反映单元的杆端力和杆端位移之间的关系; 重点掌握单元刚度矩阵中每个
8、刚度系数的物理意义，由此求得杆单元的刚度矩阵。,第三节 单元刚度方程和 单元刚度矩阵,返回,21,单元刚度方程,对于一般梁单元，单元刚度矩阵K(e) 是6X6阶方阵。,单元的刚度方程：描述单元的杆端位移(e)与杆端力 F (e)之间的关系.,杆端力,杆端位移,对于一般梁单元：,F(e),(e),K(e),刚度方程的矩阵形式：,22,单元刚度矩阵物理意义,刚度系数kr s：表示us=1引起的杆端力Fr的值。刚度系数表示力。由反力互等定理： krs=ksr ， K(e)是一个对称矩阵。,矩阵展开,仅第5个位移u5=1时, 第4个杆端力F4 =k45的值。,仅第2个位移u2=1时, 6个杆端力F1
9、F6的值。,第i列的元素: 表示第i个位移 ui=1单独作用引起的六个杆端力。,返回,23,一般（两端刚结点）梁单元,根据单元刚度系数的物理意义,由梁单元受力和变形及等截面直杆的刚度方程可以给出。,注意：所有力与位移的符号均决定于坐标系方向。,一般梁单元（两端刚结点）,杆端力,杆端位移,ui=1,平面梁单元的单元刚度矩阵,单独作用下,返回,平面梁单元的单元刚度矩阵,vi=1,单独作用下,返回,i=1,平面梁单元的单元刚度矩阵,单独作用下,返回,uj=1,平面梁单元的单元刚度矩阵,单独作用下,返回,vj=1,平面梁单元的单元刚度矩阵,单独作用下,返回,j=1,平面梁单元的单元刚度矩阵,单独作用下
10、,30,平面一般梁单元的单元刚度方程为:,杆端力 向量 F (e),单元杆端位移 向量(e),单元刚度矩阵 K(e),31,梁单元的单元刚度矩阵为:,单元刚度矩阵常用子块形式表示:,其中每个都是33的方阵，子块 Kij(e) 表示杆端j 作用一单位位移时, 杆i 端引起的杆端力。,返回,不考虑轴向变形的梁单元刚度方程,32,独立位移,相应杆端力,不考虑轴向变形的梁单元刚度方程,33,F (e),(e),K(e),独立位移,相应杆端力,单元刚度方程：,返回,只考虑转角位移的梁单元刚度方程,34,独立位移,相应杆端力,只考虑转角位移的梁单元刚度方程,35,F (e),(e),K(e),单元刚度方程
11、：,可根据独立的非零位移数目来确定单元的刚度矩阵的阶数，只需在一般梁单元的刚度矩阵中划掉对应的行和列即可。实际计算中多提取非零位移对应的刚度系数值。,返回,独立位移,相应杆端力,36,平面桁架单元,平面桁架单元只有轴向变形, 杆端力只有轴力；,F(e)=Fxi Fyi Fxj Fyj T (e)=ui vi uj vj T,矩阵表示：,返回,37,例题3：列出下列结构各单元的刚度矩阵。,例题,返回,38,例题,例题4：求图示各单元用单元坐标和整体坐标描述的单元刚度矩阵。已知：各单元坐标系如图所示，各杆EI常量。如果忽略轴向变形，有何不同?,l,l,2,1,4,3,返回,39,作业1：按概念列出
12、两端刚结点平面梁单元在单元及整体坐标系下的单元刚度方程，画出计算单元杆端力和变形的示意图。,l,作业,作业2：写出课本P429页题9-6、9-7中的各单元刚度矩阵。,返回,40,先处理法,将约束已经消除的结点位移排除在刚度方程之外。 采取的措施是对每一个不为零的位移编号，凡是约束对应的位移则编为零号。 先处理法 大大地减少了未知数的数目，缩小了总刚度矩阵的体积，减少了计算工作量。适合于手算。,约束所对应的位移在总刚度矩阵中根本不体现。零编码的元素也可以不列出。 先处理法可以根据单元真正的位移确定单元刚度矩阵的阶数。,单元4阶， 单元6阶， 单元3阶， 单元4阶,返回,41,后处理法,将支座约束
13、的零位移也作为基本未知量，在单元及整个结构的刚度方程建立时包含该零位移未知量。 后处理法每个单元都有相同的刚度矩阵阶数及形式，有利于编写计算机程序。适合于计算机计算。 后处理法建立原始刚度矩阵时不考虑约束情况，结构刚度方程建立之后再对支座约束条件进行处理。,后处理法刚架分析每个刚结点3个自由度，结构刚度总刚度矩阵阶数为结点总数的3倍。每个单元6阶。, 单元刚度矩阵均取6阶，结构总刚度矩阵15阶。,返回,42,在整体分析时，要在结构整体坐标下进行杆端力（结点力）的叠加; 通过坐标变换使所有单元的杆端力和杆端位移都变换到结构整体坐标下。,在进行单元分析时，使用的是单元坐标系，各单元杆端力和杆端位移
14、的排列顺序和符号要参照单元坐标系。 力和位移均为矢量，方向不同不能代数相加。,第四节 坐标变换,返回,43,设一向量R在单元坐标系xoy上的投影分别为x和y而在结构整体坐标上的投影为 和 ，则它们投影之间的关系为：,坐标变换矩阵,写成矩阵形式：,称为坐标变换矩阵, 且是一个正交矩阵 。为两个坐标系之间的夹角，如果整体坐标系到单元坐标系的转向与x到y轴的转向一致为正。,即：,其中：,因：,即：,则：,a,单元,整体,整体,单元,44,桁架单元的坐标变换矩阵,组合在一起，则,坐标转换矩阵：,单元,整体,45,杆端力变换,杆端位移变换,平面桁架中链杆单元的坐标变换矩阵,桁架单元的坐标变换矩阵,杆端位
15、移和杆端力一一对应。,单元坐标变换矩阵为正交矩阵:,单元,整体,返回,46,梁单元坐标变换矩阵,单元坐标系：,整体坐标系：,坐标转换矩阵：,47,杆端力变换,杆端位移变换,梁单元坐标变换矩阵,平面刚架中梁单元的坐标变换矩阵,单元,整体,单元,整体,单元坐标变换矩阵为正交矩阵:,返回,例题5. 平面桁架如图所示，各杆截面EA均为常数。已知P1=15kN,P2= 20kN，试计算桁架各杆轴力。,1. 对结点和单元编号如图示; 2. 列表表示各单元参数;,3.列出各单元刚度矩阵,单元(2)的单元坐标与整体坐标不一致，要进行坐标变换：,4. 单元(2) 的坐标变换矩阵：,若已经求得节点2的位移如下，试
16、计算各杆的内力,5. 各单元的杆端位移：,整体坐标表示：,单元坐标表示：,返回,50,作业,求图示各单元用单元坐标及整体坐标描述的单元刚度矩阵。 已知：各单元坐标系如图所示，各杆EI常量。,l,l,l,返回,第五节 用整体坐标描述的 单元刚度矩阵,在装配结构总刚度矩阵时，要用整体坐标描述的单元刚度矩阵。 建立整体坐标描述的单元刚度矩阵的途径：,返回,途径一. 直接按概念写出,只要杆端力和杆端位移都按整体坐标顺序排列，可根据等截面直杆的刚度方程直接写出各单元整体坐标描述的刚度矩阵。,52,例6. 列出各单元先处理法的刚度矩阵。已知各杆EI、EA均为常量。,1 2 3 4,1 2 3 4,途径一.
17、 直接按概念写出,只要杆端力和杆端位移都按整体坐标描述及排列，这可根据等截面直杆的刚度方程直接写出各单元整体坐标描述的刚度矩阵。,53,例6. 列出各单元先处理法的刚度矩阵。已知各杆EI、EA均为常量。,2 3 4,2 3 4,返回,途径二. 坐标变换,对单元坐标下的杆端力、杆端位移 进行坐标变换：,单元坐标描述：,单元坐标下的刚度方程 化为：,上式两边分别左乘 ， 且由 ：,整体坐标描述的单元刚度矩阵：,单元刚度方程,整体坐标描述：,公式推导实现,途径二. 坐标变换,每个块可以单独坐标变换 ，而且变换后块的位置不变;,这样可根据需要变换需要的刚度子块。,分块形式：,返回,例7. 平面桁架如图
18、所示，各杆截面EA均为常数。已知P1=15kN,P2= 20kN，试桁架各杆轴力。,1. 结构离散如图所示,2. 单元坐标描述的各单元刚度矩阵,后处理法,先处理法,3. 整体坐标描述的各单元刚度矩阵,单元（1）的单元坐标和整体坐标一致,后处理法,先处理法,单元（2）需要坐标变换，a=300,先处理法,后处理法,返回,例 8. 平面刚架如图所示，各杆截面相同。E=1107kN/m2, A=0.24m2,I=0.0072m4，求各杆端力，并画出内力图。,解： 1. 结构离散如图所示;,2.列出单元参数表;,3. 单元坐标表示的单元刚度矩阵,先处理法,解： 1. 结构离散如图所示;,2.列出单元参数
19、表;,3. 单元坐标表示的单元刚度矩阵,先处理法,例 8. 平面刚架如图所示，各杆截面相同。E=1107kN/m2, A=0.24m2,I=0.0072m4，求各杆端力，并画出内力图。,3. 单元坐标表示的单元刚度矩阵,将各单元的参数代入梁单元的统一刚度矩阵公式：,后处理法,4. 整体坐标表示的单元刚度矩阵,单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以,先处理法,单元（2）的单元坐标和整体坐标成450角，要坐标变换,4. 整体坐标表示的单元刚度矩阵,后处理法,返回,第六节 结构刚度方程和 总刚度矩阵,本章主要内容：,2,3,1,返回,结构的结点位移向量,结点位移向量：所有的结点位移按顺序排成
20、一列； 先处理法不包含已知的零位移（支座等约束的位移）； 后处理法包含支座零位移在内的所有的结点位移，按结点排列；刚架每个结点都有3个位移，桁架每个结点都有2个位移。,结构的结点力向量P,结点力向量P : 作用在结点上的力按顺序排成一列; 结点力向量P和结点位移向量是一一对应的。,返回,66,结构的结点位移和结点力向量,例9。写出图示结构的结点位移向量和结点力向量P。,先处理法：,后处理法：,支座反力,支座反力,自由结点外力,返回,67,例10。写出图示结构的结点位移向量和结点荷载向量。,先处理法,后处理法,如果忽略轴向变形，则：,返回,68,写出图示结构矩阵位移法的基本未知量。,先处理法,后
21、处理法,例11。写出图示结构的结点位移向量。,先处理法：,后处理法：17*3=51,考虑轴向变形：14*3=42,忽略轴向变形：14+5=19,返回,69,结构的刚度方程,结构刚度方程：反映结点力向量P与结点位移向量之间的关系，即 ：K=P,K 为结构的总刚度矩阵，且为对称方阵。由个单元刚度矩阵装配叠加而成。 结点位移和结点力向量P是按结点位移的顺序排列的； 总刚度矩阵K也按结点位移顺序排列的。如果结构有n个位移，则总刚度矩阵为nxn方阵。 以上所有的量都要用整体坐标表示。,返回,第七节 直接刚度法,直接刚度法：直接由单元刚度矩阵扩展成贡献矩阵，然后将贡献矩阵迭加成结构总刚度矩阵。,具体做法：
22、根据单元的定位向量把各元素依次装配到总刚度矩阵K对应的位置中去。整个扩展迭加的过程，就是“元素搬家，对号入座”。 “号”是指结点位移编号。 先处理法形成的总刚矩阵是对称、稀疏的非奇异矩阵。,先处理法,返回,71,一、先处理法的具体做法,对结构的结点位移编码; 结点位移的最后一个编码就表示该结构未知数的数目。,根据单元结点的位移编号建立各单元的定位向量Ui 。,位移编号0可以不出现在单元的定位向量中，则单元刚度矩阵中的元素只列出非0编码对应的元素值，单元刚度矩阵的阶数决定于单元实际的位移个数。,单元(1)刚度矩阵搬家,单元(2)刚度矩阵搬家,单元(3)刚度矩阵搬家,单元(4)刚度矩阵搬家,其它空
23、格补0,根据定位向量，把各单元的刚度矩阵逐个“元素搬家”：,返回,73,例12. 列出先处理法的总刚度矩阵。EI、EA均为常量。,2 3 4,2 3 4,贡献矩阵,整体坐标描述的单元刚度矩阵,1 2 3 4,1 2 3 4,定位向量,贡献矩阵直接代数相加,74,常用作法，不写出贡献矩阵，根据定位向量直接装配总刚。,1 2 3 4,1 2 3 4,2 3 4,2 3 4,1 2 3 4,1 2 3 4,装配总刚矩阵：,返回,75,例13：写出图示连续梁的整体刚度矩阵。,(0,1,0),(0,0,2),(0,0,3),(0,4,0),1 2,1 2,定位向量,2 3,2 3,3 4,3 4,1 2
24、 3 4,1 2 3 4,装配总刚矩阵：,单元刚度矩阵：,返回,76,例13：写出图示连续梁的整体刚度矩阵。,(0,1,0),(0,0,2),(0,0,3),(0,4,0),1 2,1 2,定位向量,2 3,2 3,3 4,3 4,1 2 3 4,1 2 3 4,装配总刚矩阵：,单元刚度矩阵：,返回,77,具体做法：把整体坐标下的单元刚度矩阵根据单元两端结点的编号把各子块送到总刚度矩阵K对应的位置中去。装配过程：“子块搬家，对号入座”。 整体坐标下单元刚度矩阵：,如果i, j 对应的结点编号为g,h，则单元刚度矩阵的各子块在总刚中的位置分别为：,后处理法,二、后处理法的具体做法,1 2 3 g
25、 h n,1 2 3ghn,总刚度矩阵的集成,每个单元的刚度矩阵都经过如上扩展和对号入座后，总刚度矩阵的各个子块经过简单的叠加即可得到最终的总刚度矩阵。,“子块搬家，对号入座”,如：图示平面刚架的总刚度矩阵的集成,各结点编号如图。 用矩阵可记为：,如果求出各单元整体坐标下的单元刚度矩阵：,1 2 3 4 5 6,1 234 56,根据结点编号把各单元的子块搬入总刚K中的对应位置。 同一位置各子块的对应元素相加；空位补0。,如果修改各结点编号如图。则用矩阵：,1 2 3 4 5 6,1 234 56,把各单元的子块搬入总刚度矩阵K中的相应位置。,单元的子块搬入总刚度矩阵中的位置，完全取决于结构结
26、点编号。对同一结构，如果改变了结点的编号，则总刚度矩阵完全不同。,81,后处理法总刚度矩阵的特点,总刚度矩阵是一个对称矩阵；即处于与矩阵主对角线对称位置的两个元素是相等的，即kij=kji 。 总刚度矩阵是一个稀疏的矩阵；大片的区域都是零元素，它的非零元素只分布在主对角线两侧的带状区域内。 最大半带宽d =（c+1)*m; 其中： c各单元两端结点编号差的最大值； m每个结点的自由度数； 不相关结点对应的刚度子块均为0。 总刚度矩阵是一个奇异矩阵；当没有引进支座约束条件的情况下，总刚度矩阵不存在逆矩阵。,返回,判断图示结构矩阵位移法（后处理法）总刚矩阵的最大半带宽。,d=(3+1)*3=12,
27、82,d=(6+1)*3=21,总刚矩阵中元素的排列与结点的顺序直接相关。,d=(7+1)*2=16,返回,最大相关结点差3,最大相关结点差6,最大相关结点差7,83,例14. 列出后处理法的总刚度矩阵。EI、EA均为常量。,1 2,12,2.整体坐标描述的单元刚度矩阵,2 3,2 3,1.结构离散如图,1,2,3,1 2 3,3.装配总刚矩阵：,1 2 3,1 2,12,1,2,3,1 2 3,装配总刚矩阵：,1 2 3,23,返回,1,2,3,2 3,86,第八节 荷载向量,不考虑约束反力，只由外荷载引起的结点力排成的向量则称为荷载向量。如图1，结构的结点力向量:,结构的荷载向量:,荷载向
28、量P 的构成： 直接结点荷载Pd 等效结点荷载PE：单元上的非结点荷载（如分布荷载，温荷载，惯性力等）等效移置到结点上得到的。,等效移置的方法: 首先求出基本结构在非结点荷载作用下引起的固端力。最后将各固端力反向作用到结构的结点上去，即为该结点的等效结点荷载。,等效结点荷载向量:,荷载向量:,2,3,1,2,荷载等效图,基本结构:两端固定梁,返回,例15：计算图示结构的荷载向量。,荷载等效图,原始荷载向量：,2. 先处理法,1. 后处理法,考虑边界后荷载向量：,考虑轴向变形：,忽略轴向变形：,返回,例16：计算图示结构的荷载向量。,荷载等效图,原始荷载向量：,2. 先处理法,1. 后处理法,考
29、虑边界后荷载向量：,考虑轴向变形：,忽略轴向变形：,返回,例17：写出图示结构的荷载向量。,原始荷载向量：,1. 后处理法,考虑边界后荷载向量不变：,2. 先处理法,返回,例18：写出图示结构的刚度方程。,返回,92,第九节 支座条件的引进,在形成结构刚度方程时没有考虑支座等约束条件; 总刚度矩阵是一个奇异矩阵； 刚度方程 P=K 没有唯一解，方程中包含任意大小的刚体位移。 必须引进约束条件，消除 刚体位移，才能得到唯一解。,后处理法,先处理法,在形成结构刚度方程是已经考虑了支座约束条件，可对刚度方程直接求解，不再需要任何处理。,支座条件引进的目的就是使：,后处理法支座约束条件的引进,自由结点
30、和约束结点之间的关系： 自由结点（位移未知）上的作用力（荷载）是已知的；而约束结点（位移已知（为零）上的作用力（约束反力）是未知的；,约束结点，位移为0, 约束反力未知。,自由结点，荷载已知, 位移是未知量。,返回,结构刚度方程：,对总刚度方程 P=K初等变换- 行列交换,Px 未知支座反力,P1 已知节点 荷载,1支座已知0位移,x求解的未知量,Kx1,Kxx,K11,K1x,把初等变换后的总刚度方程 P=K可写成,将方程式展开得:,未知节点位移 求解的未知量,已知节点位移 （支座0位移）,已知节点力 （节点荷载）,未知节点力 （支座反力）,对于刚性支座：,支座反力对位移的计算没有影响，但位
31、移决定支座反力。,如果手算可划掉0位移对应的行和列；,98,划掉后得到和先处理法相同的刚度方程：,此时的刚度矩阵是非奇异矩阵，可直接解刚度方程可得结构的节点位移x。,代入方程：,返回,后处理法-面向计算机处理方法,后处理法是面向计算机的边界处理方法，划掉约束0位移的方法会改变刚度方程的阶数，一般计算机计算不采用。常用的处理方法有：主元素置1法，主元素置大数法。主元素置1法作法：-主元素置1，副元素置0，荷载置0. 主元素置大数法作法：主元素置大数。,返回,后处理法-面向计算机处理方法,主元素置1法 若编号为i的位移为0，应保证刚度方程解得 i=0。 将总刚度矩阵K中第i行的主元素（第i行的主对
32、角线元素）改为1，即令K（i，i）=1。 将第i行、i列的所有副元素都改为零。即令K（i，j）=0，K（j，i）=0(ij)。 将荷载向量中的第i元素置为零，即令Pi=0。 经过这三步改动后，便可实现i=0的目标。,主元素置1法引进支座条件：,根据约束结点的位移修改刚度矩阵；,根据约束结点的位移修改荷载向量。,如改变单元结点的编号；如图,引入边界条件后的总刚方程为：,主元素置1法引进支座条件：,返回,形成了荷载向量P，集成了总刚度矩阵K并且引进支座条件后，便可由刚度方程P=K 求解结点位移。这就转化为求解大型线性代数方程组问题。,线性代数方程式组的解法：直接法和迭代法。 直接解法：如高斯消去法
33、，及其派生的LU、LDLT三角分解法。 迭代法：塞德尔迭代法。,第十节 刚度方程求解及内力计算,一、刚度方程求解,返回,104,首先从整体的结点位移向量中取出该单元的结点位移。 设单元e左右两端的结点编号分别为m和n，则该单元的整体坐标表示的结点位移向量 为：,然后将 进行坐标变换，换成用单元坐标表示 。,最后代入单元刚度方程, 便可求各单元的杆端力,如果单元上还作用非结点荷载，则需要叠加由非结点荷载引起的固端内力，得到真正的杆端力：,二、单元杆端内力计算,返回,例19. 先处理法求桁架内力。EA=常量。,1. 结构离散如图所示,2. 单元坐标描述的各单元刚度矩阵,3. 整体坐标描述的各单元刚
34、度矩阵,单元（1）的单元坐标和整体坐标一致,不需要变换,单元（2）需要坐标变换，a=300,4. 装配结构总刚度矩阵，建立结构的刚度方程,总刚度矩阵：,荷载向量：,结构刚度方程：,位移向量：,5. 求解结构的刚度方程可得：,6. 单元坐标下各单元的杆端位移向量：,整体坐标下：,单元坐标下：,7. 单元坐标下各单元的杆端力向量：,单元内力：,返回,例20：计算图示结构的内力。 忽略轴向变形，已知求得结构的结点位移向量：,2. 单元坐标下各单元的位移向量,1. 单元坐标下各单元的刚度矩阵,为了同时计算弯矩和剪力，取四项：,单元信息,4. 单元杆端力向量,3. 单元固端力向量,例20：计算图示结构的内力。 忽略轴向变形，已知求得结构的结点位移向量：,111,112,113,弯矩图,剪力图,5. 根据杆端力向量作内力图,返回,
