1、学习内容有限单元法的基本概念，结构离散化。平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。支承条件的处理，单元内力计算。利用对称性简化位移法计算。矩阵位移法的计算步骤和应用举例。,第10章 矩阵位移法,学习目的和要求矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机作为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理
2、。尽管矩阵位移法从手算的角度来看运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。,前面介绍的力法、位移法和力矩分配法都是建立在手算基础上的传统计算超静定结构的方法，因而只能解决一些比较简单的超静定结构的计算问题。随着电子计算机的广泛使用，给以计算为特征,10-1 概 述,本章的基本要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移后求单元杆端力的计算方法。在整体分析中，熟练掌
3、握结构整体刚度矩阵中元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会由它来推出特殊单元的单元刚度矩阵。,的结构力学在计算方法上带来了很大的变革。传统计算方法已不能适应新的计算技术的要求,于是适合于电算的结构矩阵分析便得到了迅速的发展。它是以传统的位移法作为理论基础,力学分析中采用数学中的矩阵形式,计算工具采用计算机。因为采用矩阵运算,不仅使得公式形式紧凑,而且运算规律性强，很适合电算的要求,便于编制简单而通用性强的计算程序,故该方法得到了广泛应用。 杆系结构矩阵分析又叫杆系结构的有
4、限元法,分为矩阵力法和矩阵位移法,亦称为柔度法和刚度法。由于矩阵位移法比矩阵力法更容易实现计算过程程序化,因而应用很广泛,故本章只讨论矩阵位移法。,矩阵位移法的内容包括以下两部分：(1) 将整体结构分成为有限个较小的单元(在杆系结构中常把一个等截面直杆作为一个单元),即进行结构的离散化。然后分析单元内力与位移之间的关系式,建立单元刚度矩阵,形成单元的刚度方程,称该过程为单元分析。(2) 把各单元按结点处的变形协调条件和结点的平衡条件集合成原整体结构,建立结构刚度矩阵,形成结构刚度方程,解方程后求出原结构的结点位移和内力,称该过程为整体分析。上述一分一合,先拆后搭的过程中,是将复杂结构的计算问题
5、转化为简单单元的分析及集合问题。而由单元刚度矩阵直接形成结构刚度矩阵是直接刚度法的核心内容。,1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法图10-1所示刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j,10-2 单元刚度矩阵,由于矩阵位移法和传统位移法计算手段不同,引起计算方法的差异。若从手算角度看,会感到该方法死板、繁杂。而从电算的角度看则是方便的,说明该方法适合电算不适合手算。因为手算怕繁,怕重复性的大量运算;而电算怕乱,怕无规律性
6、的计算,它适用于计算过程程序化强、计算量大的问题。,其次,可由转角位移方程(10-1)和(10-2),并按本节规定的符号和正负号,可将单元两端的弯矩和剪力表示为:,(b),将(a)、(b)两式中的六个刚度方程合在一起,写成矩阵形式为:,上式称为单元的刚度方程,它可简写为：,(10-2),(10-3),(10-4),分别称为单元的杆端力列向量和杆端位移列向量，而,（10-5）,称为单元刚度矩阵 (简称为单刚)。它的行数等于杆端力列向量的分量数,列数等于杆端位移列向量的分量数,因而 是一个66阶的方阵。值得注意的是杆端力列向量和杆端位移列向量的各个分量,必须是按式(10-3)和(10-4)那样从i
7、到j按一定次序排列。否则,随着排列顺序的改变, 中各元素的排列亦将随之改变。为清晰起见,在式(10-5)的上方注明杆端位移分量,而在右方注明杆端力分量。 (1) 单元刚度矩阵中各元素的物理意义,中每一元素的物理意义就是当所在列对应的杆端位移分量等于1(其余杆端位移分量为零)时,所引起的所在行对应的杆端力分量的数值。,式(10-5)是一般单元的刚度矩阵,六个杆端位移可指定为任意值。有时,由于支承条件、考虑变形形式的影响及杆件受力特性等情况的不同,经常会遇到一些特殊单元。在这些单元中，由于有些杆端位移的值已知为零，而不能随意指定，从而使单元刚度矩阵较一般单元的要简单。各种特殊单元的刚度矩阵无需另行
8、推导，只需由一般单元刚度矩阵式(10-5)作一些特殊处理即可得到。(1) 拉压杆单元 两端铰结的拉压杆件(例如桁架中的杆件)，在外因影响下，杆件只有轴力，即该单元杆件两端只有轴向变形而无弯曲变形，如图10-3所示。单元刚度矩阵仍可由式(10-5)中删去第二、三、五、六行及第二、三、五、六列各元素得到，即,（10-7）,为了以后便于进行坐标变换，可在式(10-7)中添上零元素的行和列，将22阶矩阵扩充 为44阶矩阵：,（a）,杆端力之间的转换关系式可由投影关系得到，即,(b),将(a)、(b)两式写成矩阵形式，则为,结构坐标系下的单元刚度矩阵可按式(10-18)来计算，其四个子块为,（10-26
9、）,10-4 结构的原始刚度矩阵 从本节开始进行结构的整体分析，即在单元分析的基础上，考虑各结点的几何条件及平衡条件，建立结构的刚度方程和结构刚度矩阵。现以图10-6(a)所示刚架为例来说明。,表10-1 各单元始末端的结点编号,在平面刚架中，每个结点有两个线位移和一个角位移。此刚架有四个结点，共有12个结点位移分量，按一定顺序排列成一列阵，称为结点位移列向量，即,解： (1) 将各单元、结点编号，并选取结构坐标系及各单元局部坐标系(图中剪头所示方向 为方向，其坐标原点在各杆的始端)如图中所示。各单元始末端的结点编号见表10-2。,表10-2 各单元始末端的结点编号,(2) 各单元在整体坐标系
10、中的单元刚度矩阵按式(10-23)计算。将有关数据计算如下,(3) 将各单刚子块对号入座形成总刚。 P.24810-5 支承条件的引入上节中建立的图10-6所示结构的原始刚度方程式(10-28)并没有考虑支承条件，结构还可以有任意的刚体位移，所以原始刚度矩阵是奇异的，其逆矩阵不存在，因而不能由式(10-28)来求解结点位移。在式(10-28)中F2、F3是已知的结点荷载，与之相应的2、3是待求的未知结点位移；而F1、F4是未知的支座反力，与之相应的1、4是已知的结点位移。因结点1、4均为固定端，故支承条件为1=4=0 (10-31),不过在全部杆件的内力求出后，一般无需再求反力，即使要求也可由
11、结点平衡很容易求得，故一般不用该式求反力。 10-6 非结点荷载的处理结构上受到的荷载，按其作用位置的不同可分为两类：一类直接作用在结点上的称为结点荷载；另一类作用在结点之间的杆件上的称为非结点荷载。非结点荷载不能直接用于结构矩阵分析。但实际问题中所遇到的大部分荷载又是非结点荷载。因此，在结构矩阵分析中，必须将非结点荷载处理为结点荷载，将其与结点荷载一并形成结构荷载列向量。1等效结点荷载图10-9(a)所示刚架，受有非结点荷载，可按以下两步来处理。(1) 在具有结点位移的结点上加入附加刚臂和附加链杆以阻止,所有结点的转动和移动，此时各单元将产生固端力，附加刚臂和附加链杆上产生附加反力矩和反力。
12、由结点的平衡可知，这些附加反力矩和反力的大小等于汇交于该结点的各单元固端力的代数和，如图10-9(b)所示。(2) 取消附加刚臂和链杆，相当于将上述附加反力矩和反力反号作为荷载加于结点上，如图10-9(c)所示。这些结点荷载称为原非结点荷载的等效结点荷载。这里 “等效”之意是指图(a)与图(c)两种情况的结点位移是相等的，因为图(b)情况的结点位移为零。在等效结点荷载作用下，便可按前述方法求解。最后，将以上两步内力叠加，即可得原结构在非结点荷载作用下的内力解答。 设某单元e在非结点荷载作用下，其局部坐标系中的固端力为,力，即可由式(10-40)及式(10-41)计算相应的等效结点荷载。 10-
13、7 矩阵位移法的计算步骤及示例通过以上的分析，可将矩阵位移法的计算步骤总结如下： (1) 对结点、单元进行编号，选定结构坐标系及局部坐标系。 (2) 建立单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。 (3) 建立单元在结构坐标系中的单元刚度矩阵。 (4) 形成结构原始刚度矩阵。 (5) 计算固端力，等效结点荷载及综合结点荷载。 (6) 引入支承条件，修改结构原始刚度方程。 (7) 解刚度方程，求结点位移。 (8) 计算各单元杆端内力。,例10-2 试求图10-10所示刚架内力，已知各杆材料及截面相同，具体数据见例10-1。,图10-10,在原始刚度矩阵中删去与上述零位移相应的行和列，同时在结点位移列向量
14、和结点外力列向量中删去相应的行，得结构的刚度方程为 见p.257 (6) 解方程。求得未知结点位移为 见p.257 (7) 计算各单元杆端力。按式(10-45)计算。 单元：见p.258单元：见p.258259单元：见p.259(8) 绘内力图。绘刚架的内力图时，内力正负号规定仍与第三章中的规定相同，而 上述计算出的杆端内力正负号是按本章中的规定求得的。故画,表10-4 各单元几何数据,(3) 将各单刚子块对号入座即形成总刚，结构的原始刚度方程为见p.262(4) 引入支承条件，u1=v1=u2=v2=0，在原始刚度方程中删去与这些零位移相应的行和列，并将已知的结点荷载代入，得结构刚度方程为
15、见p.263(5) 解方程，得未知结点位移 见p.264(6) 计算杆端内力，由式(10-35)及式(10-36)计算。例如单元，有 见p.264又如单元 见p.264同理可求出其他各杆内力，各杆内力值标在图10-12中杆件旁边。,10-8 几点补充说明为了便于电算，对实际的计算问题要做以下补充说明。1结点位移分量的编号，单元定位向量单刚子块对号入座形成总刚，必须落实 到每个元素对号入座。单刚子块的两个下 标号码是由单元两端的结点编号确定的， 而每个元素的两个下标号码则由单元两端 的结点位移分量的编号确定。因此，我们 图10-13 不仅要对结点进行编号，而且还要对结点 位移的每个分量进行编号。
16、对图10-13所示刚架，单元、结点和,结点位移分量编号如图所示，它们的对应关系如表10-5所示。,表10-5 各单元始末端结点及结点位移分量编号,对结点位移分量的编号，同时也就是对结点外力分量的编号，两者是一一对应的。有了结点位移分量的编号，单刚中的每个元素便可按其两个下标号码送到总刚中相应的下标号码送到总刚中相应的行列位置上去 。图10-14表示单元的单刚元素 的入座位置。一个,平面刚架的一般单元有6个杆端结点位移，依靠这6个号码，其单刚的36个元素才能确定在总刚中的位置，因此这6个号码称为单元定位向量。图10-13所示，单元的定位向量为：,2总刚的带宽及存储方式结构总刚度矩阵为稀疏矩阵。具
17、有大量的零元素，而非零元素通常集中在主对角线附近的斜带形区域内，称为带状矩阵。在带状矩阵中，从主对角元素起至该行（列）最外一个非零元素止所包含的元素个数，称为该行（列）的带宽。由总刚的形成规律可知: 某行（列）的带宽=该行（列）结点位移分量号-最小相关结点位移分量号+1 （10-47） 所有各行（列）带宽中的最大值称为矩阵的最大带宽。可知， 最大带宽=相关结点位移分量号的最大差值+1 （10-48） 当平面刚架所有结点均为刚结点，且结点编号i与结点位移分量,编号有简单对应关系3i-2，3i-1，3i时，则有 最大带宽 =（相关结点编号的最大差值+1）3 （10-49） 在电算中，可以将总刚的全
18、部元素都存储起来，这称为满阵存储。但为了节省存储单元，对于对称带状矩阵，可以只存储其下半带（或上半带）在最大带宽范围内的元素，这称为等带宽存储。显然，最大带宽愈大，存储量也愈大。因此，对结点位移分量编号时，应使相关结点位移分量号的最大差值为最小。 3关于支承条件的引入前面介绍的矩阵位移法，是把包括支座在内的全部结点位移分量都看作是未知量而依次编号，每一单元的所有元素都对号入座以形成总刚，然后再处理支承条件，这种方法称为等带宽存储。显然，最大带宽愈大，存储量也愈大。因此，对结点,结点位移分量编号时，应使相关结点位移分量号的最大差值为最小。3关于支承条件的引入前面介绍的矩阵位移法，是把包括支座在内
19、的全部结点位移分量都先看作是未知量而依次编号，每一单元的所有元素都对号入座以形成总刚，然后再处理支承条件，这种方法称为后处理法。后处理法的优点是程序简单，适应性广，但这样形成的总刚阶数较高，占用存储量大。如果先考虑支承条件，则可以将已知的结点位移分量编号均用0表示，如图10-15所示（括号内依次为结点水平、竖向位移和角位移的编号）。单刚中凡与0对应的行和列的元素均不送入总刚，这样便可直接形成缩减后的总刚。这中方法就称为先处理法。,图10-15,图10-16,4铰结点的处理当刚架中有铰结点时，处理方法之一是像传统位移法那样，不把铰结点的转角作为基本未知量，这就要引用具有铰结端的单元刚度矩阵。另一
20、种处理方法是将各铰结端的转角作为基本未知量求解，这样虽然增加了未知量的数目，但所有杆件,都采用前述一般单元的刚度矩阵，因而单元类型统一，程序简单，通用性强。当采用后一种处理方法时，由于在铰结点处，各杆的转角各不相等，故铰结点处的转角未知量便不止一个，因此在对结点编号时要编2个及2个以上的号，把每个铰结端都作为一个结点，而令它们的线位移相等，角位移则各自独立。位移相等的则编相同的编号，如图10-16所示。 5忽略轴向变形的影响,移法计算刚架时，亦可忽略轴向变形的影响。由于不计轴向变形，各结点线位移不再全部独立，因而只对其独立的结点线位移予以编号，凡结点线位移相等者编号亦相同（图10-17）。但当有斜杆等情况时，这样处理并不方便。忽略轴向变形另一方便的办法是采用前面讲的一般方法（即每个结点位移,
