1、All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,第11章 矩阵位移法, 本章教学的基本要求：掌握用矩阵位移法计算平面杆件结构的原理和方法。包括单元和结点的划分；单元和结构坐标系中单元刚度矩阵的形成；用单元定位向量形成结构刚度矩阵；形成结构综合结点荷载列阵；结构刚度方程的形成及其求解；结构各杆内力和支座约束力的计算。掌握矩阵位移法的计算步骤。, 本章教学内容的重点：用先处理法形成结构刚度矩阵和综合结点荷载列阵。, 本章教学内容的难点：用先处理法形成结构刚度矩阵中各步骤的物理意义；单元刚度矩阵和结构刚度矩阵中刚度系数的物理意义和求法；矩阵位移法与位移法之间的联系与区别。,All Ri
2、ghts Reserved,重庆大学土木工程学院, 本章内容简介:,11.1 概述 11.2 杆件结构的离散化 11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵 11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵 11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵 11.6 结构的综合结点荷载列阵 11.7 求解结点位移和单元杆端力 11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,第11章 矩阵位移法,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.1 概 述,11.1.1 结构矩阵分析,结构矩阵分析以结构力学的原理为基础，采用矩阵进行运算，公式紧凑，形式统一，便于计算过程的规格化和程序化，适合电子计算机进行自动化计算的要
3、求。,11.1.2 结构矩阵分析的两类方法,力法,位移法,传统结构分析方法,结构矩阵分析方法,矩阵力法（柔度法）,矩阵位移法（刚度法）,结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限单元法。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.1.3 矩阵位移法的三个基本环节,矩阵位移法就是以矩阵形式表达的位移法。,1. 结构的离散化,2. 单元分析,3. 整体分析,把结构划分为有限个较小的单元，各单元只在有限个结点处相连。,分析杆单元的杆端内力与杆端位移之间的关系，以矩阵形式表示，建立单元刚度方程 。,通过考虑各结点的变形协调条件和平衡条件，建立整个结构的刚度方程，以求解原结构的结点位
4、移。,11.1 概 述,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.2 杆件结构的离散化,11.2.1 单元与结点的划分和编号,1. 单元与结点的划分,基本要求：保证单元为等截面直杆。,此外，应兼顾计算的方便和结构的特殊形式。,2. 单元与结点的编号,单元号用、表示； 结点号用1、2、3、表示 。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.2.2 两种直角坐标系,矩阵分析中，为了矢量分析的方便，需要采用两种直角坐标系，即结构坐标系和单元坐标系 。,采用右手旋转直角坐标系，如图所示。,11.2 杆件结构的离散化,All Rights Reserv
5、ed,重庆大学土木工程学院,11.2.3 单元杆端力和杆端位移的表示方法,单元杆端截面的内力和位移分别称为单元杆端力和杆端位移。,平面刚架中的第e个单元，其始端和末端的结点编号分别为i和j。,11.2 杆件结构的离散化,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,1. 单元坐标系中的单元杆端力和杆端位移,在单元分析时，各杆端力和杆端位移均应按照一定的次序排列，一般规定先“始端”后“末端”。,11.2 杆件结构的离散化,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 结构坐标系中的单元杆端力和杆端位移,杆端线位移与结构坐标系正向一致为正，杆端转角以顺时针方向
6、为正。,11.2 杆件结构的离散化,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵,11.3.1 一般单元的单元刚度方程和单元刚度矩阵,单元杆端力和杆端位移之间的转换关系，称为单元刚度方程。,单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之间的转换矩阵。,在单元坐标系中，单元刚度方程可表示为,为单元坐标系中的单元刚度矩阵。,式中，,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,在线弹性小变形范围内，可忽略轴向变形与弯曲变形之间的相互影响，根据杆件的拉压胡克定律和无荷载作用时的转角位移方程，可写出关系式,11.3.1 一般单元的单元刚度方程和单
7、元刚度矩阵,11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,写成矩阵形式,简写为,称为单元坐标系中平面刚架一般单元的单元刚度方程。 称为单元坐标系中平面杆件结构一般单元的单元刚度矩阵，简称单刚。是66阶的方阵。,11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.3.2 单元刚度矩阵的性质,1. 单元刚度系数的物理意义,单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移引起的杆端力。,1）任一个元素 表示第l个杆端位移分量等于1（其余位移分量等于零）时，所引起的第m个杆端力分量
8、的值。,2）某一列的六个元素，分别表示当某个杆端位移分量等于1（其余位移分量等于零）时所引起的六个杆端力分量。,3）某一行的六个元素，分别表示各个杆端位移分量分别等于1时所引起的按该行号顺序排列的杆端力分量的数值。,11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 单元刚度矩阵是对称矩阵,11.3.2 单元刚度矩阵的性质,单元刚度矩阵中位于主对角线两边处于对称位置上的两个元素相等。,3. 一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵,的行列式 之值等于零，不存在逆矩阵。,如果已知单元结点位移，可惟一求出单元杆端力；反之，则没有惟一解。,无外界约束的一
9、般单元，也称自由单元。任一自由单元还可以产生任意的刚体位移，故某一组满足平衡条件的杆端力可以与弹性位移和任意刚体位移组成的多组杆端位移相对应。,11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,4. 单元刚度矩阵是单元固有的性质，只与单元的弹性模量E、横截面积A、惯性矩I及杆长l有关，而与外荷载无关。,5. 单元刚度矩阵中，对角线上元素均为正（这可由刚度系数的物理意义理解，实际上也就是位移法基本方程中的主系数）,11.3.2 单元刚度矩阵的性质,11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,
10、11.3.3 特殊单元的单元刚度矩阵,两端具有六个位移分量的单元称为一般单元，而把其他的一些端部有约束的单元称为特殊单元，如连续梁单元、桁架单元等。,1. 连续梁单元,连续梁离散得出的单元（通常忽略轴向变形），只有两端的弯矩和与转角存在，其余位移为零 ，即,其单元刚度方程为,11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 桁架单元,对于理想桁架，各杆件只有轴向变形，在单元坐标系中杆端位移仅有轴向位移 的存在，而其它位移为零，即,其单元刚度方程为,11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工
11、程学院,采用上述同样的方法还可以得出其他各种特殊单元（如一端固定而另一端为铰支或定向支承或自由的梁单元等）的刚度方程和刚度矩阵。在结构矩阵分析中，我们着眼于计算过程的程序化、标准化和自动化，因而，无论i、j两端的约束情况如何，都可按一般单元情况处理，即采用一种标准化形式（一般单元）的刚度矩阵。这时，需要把实际铰支或自由端未知的位移作为求解的未知位移。此外，在采用计算机进行分析时，一般都把杆件的轴向变形影响考虑进来，使程序编制上更为简单，而且对于大多数情况，这样得到的结果更为准确。,11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.4 结构
12、坐标系中的单元刚度矩阵,11.4.1 单元坐标转换矩阵,单元坐标系下的杆端力向量,结构坐标系下的杆端力向量,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,规定由x轴到 轴的夹角a 以顺时针旋转为正，可得,并有,11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,将两式合写成矩阵形式，则有,11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵,或简写成,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,称为单元坐标转换矩阵。它是一个正交矩阵,必然有,杆端位移向量的转换也存在相同的方式 ，即,11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵,All
13、Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.4.2 结构坐标系中的单元刚度矩阵,这就是结构坐标系中的单元刚度方程。其中,称为结构坐标系中的单元刚度矩阵，仍然是对称矩阵；由于仍为自由单元，故仍然是奇异矩阵。其中元素的值还与结构坐标系到单元坐标系之间的夹角a有关。a以从结构坐标系x轴顺时针旋转到单元坐标系 轴方向为正。,11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,平面刚架一般单元的单元刚度矩阵,11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵,对 称,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.5 用先处理法形成结
14、构刚度矩阵,11.5.1 结构的整体分析,结构刚度方程可写作,D为待求的基本未知量（结点位移）列阵；P为结构的综合结点荷载列阵（也称总荷载列阵）；K为结构刚度矩阵，简称总刚，是结构各结点力与结点位移之间的转换矩阵。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.5.2 先处理法和后处理法,1.先处理法,所谓先处理法，就是一开始即考虑结构的支承条件，把已知的支座位移排除在基本未知量之外，相应地，结构的综合结点荷载列阵中也不包括支约束力。因而，所形成的结构刚度方程阶数小，不用再修正。先处理法可很方便地处理有铰结点的结构、各种性质的支承结点结构及忽略轴向变形的结构。,11.5
15、用先处理法形成结构刚度矩阵,在整体分析时，必须考虑和引入支承边界条件，而这一条件可以在形成整体刚度方程之前或之后处理，因而形成了先处理法和后处理法两种作法,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.5.2 先处理法和后处理法,在整体分析时，必须考虑和引入支承边界条件，而这一条件可以在形成整体刚度方程之前或之后处理，因而形成了先处理法和后处理法两种作法,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,2.后处理法,所谓后处理法，就是先不考虑支承条件，把已知的支座结点位移和自由结点的位移也一并列入结构的结点位移列阵中，形成不受约束的原始刚度方程；然后，再根据结点的实际支承条件修正原
16、始刚度方程，形成结构刚度方程，以求解结点位移。后处理法的基本未知量数目更多，占用计算机的内存和机时更多。一般用于结点多而支座约束少、考虑轴向变形的结构。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.5.3 结点位移分量的统一编码总码,当采用一般单元考虑单元的轴向变形时，结构的每个结点一般有三个位移（u,v,q ）。采用先处理法计算，首先应按照结构的结点顺序，依次对每个结点的未知位移分量u、v、q 统一编码（又称为结点未知量编码）。,1）对于取作基本未知量的有效结点未知量，按照结点顺序（每个结点又按照u、v、q 的顺序），依次连续编码即1，2，n。,11.5 用先处理法形
17、成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2）对于已知的支座结点位移分量（包括为零和非零两种情况），编“0”号。,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,3）对于平面刚架内部有铰结点（全铰或半铰结点）的情况，因采用一般单元来分析，杆在铰端的转角也是未知量，故应将相互铰结的杆端编以不同的结点号（即进行双编号）。,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,4）对于无效结点未知量（即计算中不需考虑的结点未知量），编“0”号,11.5 用先处理法形成
18、结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,5）对于忽略轴向变形的刚架，每个刚结点在某一方向上的位移分量不一定都是独立的。,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.5.4 单元定位向量,1. 定义,将单元始末两端的结点位移分量的统一编码（即结点未知量编码）按顺序排列所组成的列向量称为单元定位向量。,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 单元定位向量的作用,单元定位向量不但可以用来确定单元刚度矩阵各元素在结构刚度矩阵K中的位置，以及
19、单元杆端位移向量各元素在整个结构的结点位移向量中的位置，而且，可以用来确定单元等效结点荷载（由单元上非结点荷载等效转换而得到的结点荷载）各元素在结构综合结点荷载列阵P中的位置。,3. 单元定位向量的优点,借助于单元定位向量，可以很方便地解决计算机自动化计算中所需的信息。,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.5.5 按照单元定位向量装配结构刚度矩阵,1. 装配过程,1) 计算单元e在结构坐标系中的刚度矩阵Ke，将其定位向量中各分量（始末两端结点未知量编码简称“总码”）及单元自身的结点位移分量编码简称“局部码” ,分别写在Ke的
20、上方和右侧。,2) 按照单元定位向量中的非零分量所指定的行码和列码，将各单元刚度矩阵中的元素，正确地叠加到结构刚度矩阵K中去，行、列码相同的元素则相加。这一作法称为对号入座，同号相加。,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例11-1】试按单元定位向量装配图示连续梁的结构刚度矩阵。,解：(1) 对连续梁进行结点编号、单元编号和结点未知量编码。,(2)根据各单元始末两端的结点未知量编码（总码）形成各单元的定位向量，即,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3)列出三个单
21、元的结构坐标系中的刚度矩阵。由于连续梁的单元坐标系与结构坐标系是一致的，故无需经过变换。,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(4)按照单元定位向量中的非零分量（即总码中的非零编码）所指定的行码和列码，将各单元的刚度矩阵中的元素，正确地叠加到结构刚度矩阵K中去。,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserv
22、ed,重庆大学土木工程学院,2. 结构刚度矩阵的特性,1)结构刚度矩阵K是一个NN阶的方阵，N为结点的位移未知量数。,2)结构刚度矩阵K是一个对称矩阵，K=K T。这可由约束力互等定理证明K中对称于主对角线的元素两两相等，即 Kij=Kji,3)结构刚度矩阵K是正定的，这时的结构是几何不变的。,4)结构刚度矩阵K是一个带状矩阵，即非零元素分布在主对角线的附近。因此，在同一单元内的未知量编码差值应尽量保持最小值。,5)在实际结构分析中所遇到的结构刚度矩阵一般都是大型稀疏矩阵。非零元素很少，往往只占10%左右。,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学
23、土木工程学院,6)主对角元素kii由未知量Di的相关单元刚度矩阵的相应主对角元素叠加而成。,7)非对角元素kij有两种情况：,若未知量Di与Dj是相关未知量，则,若未知量Di与Dj不是相关未知量，则,11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.6 结构的综合结点荷载列阵,11.6.1 形成单元的等效结点荷载列阵,1)计算在单元坐标系中的单元固端约束力,2)计算在单元坐标系中的单元等效结点荷载,将固端约束力反号，得到单元坐标系中的单元等效结点荷载,3)计算在结构坐标系中的单元等效结点荷载,All Rights Reserved,重庆大
24、学土木工程学院,11.6.2 计算结构的等效结点荷载列阵PE,依次将每个 中的元素，按单元定位向量 ，采用与装配结构刚度矩阵相同的“对号入座，同号相加”的方法，送到结构的等效结点荷载列阵PE的相应位置进行叠加。,11.6.3 形成结构的综合结点荷载列阵P,将直接结点荷载列阵PJ与等效结点荷载列阵PE进行叠加，即得到结构的综合结点荷载列阵（也称总荷载列阵）,11.6 结构的综合结点荷载列阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例11-2】试求图示结构的综合结点荷载列阵P。,解：(1)计算单元固端约束力,11.6 结构的综合结点荷载列阵,All Rights Reser
25、ved,重庆大学土木工程学院,(2)计算单元等效结点荷载,单元：,11.6 结构的综合结点荷载列阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,单元：,11.6 结构的综合结点荷载列阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,单元：,11.6 结构的综合结点荷载列阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3)利用单元定位向量形成结构的等效结点荷载列阵PE,按单元定位向量，“对号入座，同号相加”,11.6 结构的综合结点荷载列阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(4)形成结构的综合结点荷载列阵P,11
26、.6 结构的综合结点荷载列阵,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.7 求解结点位移和单元杆端力,结构刚度方程（即位移法的基本方程）,11.7.1 求解结点位移D,用先处理法直接形成的结构刚度方程，是一个线性代数方程组，其结构刚度矩阵K为对称正定矩阵。求解此方程组，即可得到未知结点位移D的惟一确定解。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.7.2 求单元杆端位移,11.7.3 求单元杆端内力,应该注意杆端内力符号与传统结构分析中的差异性,11.7 求解结点位移和单元杆端力,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,
27、11.7.4 求支座约束力FR,结构支座约束力的计算，与单元杆端内力的计算从原理上讲没有什么区别。对于只涉及一个单元的支座，其支座端的杆端力就是该支座的支座约束力；对于涉及两个或两个以上单元的支座，则应根据支座结点的平衡条件计算支座约束力。注意：支座约束力一般应转换为结构坐标系方向。,11.7 求解结点位移和单元杆端力,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,11.8.1 矩阵位移法（先处理法）的计算步骤,1）对结构进行离散化。选取单元坐标系和结构坐标系。,2）对结点位移分量（即结点未知量）进行统一编码，并形成单元定位向量 。,3）形
28、成单元坐标系中的单元刚度矩阵 。,4）形成结构坐标系中的单元刚度矩阵 。,5）利用单元定位向量形成结构刚度矩阵 。,6）形成结构的综合结点荷载列阵 。,7）求解未知结点位移 。,8）计算杆端内力和支座约束力 。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.8.2 平面杆件结构算例,1. 连续梁,【例11-3】试用先处理法计算图示连续梁的内力，并作弯矩图。忽略各杆轴向变形的影响。,解：(1) 结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位移未知量编码如图所示。,(2)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵 。,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Res
29、erved,重庆大学土木工程学院,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K,(4)形成结构综合结点荷载列阵P,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,再利用单元定位向量形成结构综合结点荷载列阵,(5)形成结构刚度方程，解方程求结点位移,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,解方程，得结点位移D为,(6)利用单元定位向量从结点位移D中取出各单元杆端位移,11.8 矩阵位移法的计
30、算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,M 图(kN.m),11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,(7)作弯矩图,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 平面桁架,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,对 称,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,形成平面桁架结构刚度矩阵K的方法与平面刚架相同。对结点位移分量编码应注意，桁架单元的结点角位移不作为基本未知量。,【例11-4】试用先处理法计算图示桁架的内力。各杆
31、EA相同。,解：(1) 结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位移未知量编码如图所示。,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵,单元和单元:a=p /2,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,单元和单元 :a=0,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,单元 : a=p /4,单元 : a=3p /4,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Res
32、erved,重庆大学土木工程学院,(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K,(4)形成结构的综合结点荷载列阵P,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(5)形成结构刚度方程,解方程，得结点位移D为,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(6)计算各单元轴力,(kN),11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(kN),11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院
33、,FN图(KN),11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,3. 平面刚架,【例11-5】试用先处理法计算图示刚架的内力。已知各杆EA=4.8106kN，EI=0.9105kNm2。,解：(1) 结点编号、单元编号、结构位移分量编码及结构坐标系、各单元坐标系如图所示。,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,各单元定位向量为,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2)计算各单元在结构坐标系中的刚度矩阵,单元,11.
34、8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,单元,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,单元,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(4)结构的综合结点荷载列阵P (已在例11-2中求得),(5)形成结构刚度方程,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reser
35、ved,重庆大学土木工程学院,解方程，得结点位移D为,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(6)计算各单元杆端力,单元,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,单元,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,单元,11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(7)根据上述计算结果作内力图，如图所示。,M图(kNm),FQ图(kN),FN图(kN),11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例,
