1、第 1 页 (共 10 页)ca58a53dff78c66d33dbc819de8b38a8.pdf 1993 年普通高等数学招生全国统一考试（全国）理 科 数 学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分参考公式：如果事件 、 互斥，那么AB)()(PP如果事件 、 相互独立，那么 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么次独立重复试验中恰好发生 次的概率：nk()(1)knnPCP球是表面积公式 24RS其中 R 表示球的半径球的体积公式 3V其中 R 表示球的半径第卷（选择题共 68 分）一、选择题：本大题共 17 小题，每小题 4 分，共 68 分在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项是符合题目要求的1函数 的最小正周期是()sincofxxA B C D2242如果双曲线的焦距为 6，两条准线间的距离为 4，那么该双曲线的离心率为A B C D2332623和直线 关于 轴对称的直线的方程为450xyxA B 3450xyC Dxy4极坐标方程 所表示的曲线是435cosA焦点到准线距离为 的椭圆 B焦点到准线距离为 的双曲线右支45C焦点到准线距离为 的椭圆 D焦点到准线距离为 的双曲线右支35 在 上是35yx,第 2 页 (共 10 页)ca58a53dff78c66d33dbc819de8b38a8.pdf A增函数且是奇函数 B增函数且是偶函数 C减函数且是奇
3、函数 D减函数且是偶函数6 的值为251limnA B C D5215527集合 ， ，则|,4kMxZ|,4kNxZA B C DNMN8 的值是sin20co7sin105A B C D143212349参数方程 表示|cosin|(0)1()2xyA双曲线的一支，这支过点 B抛物线的一部分，这部分过点1(,2 1(,)2C双曲线的一支，这支过点 D抛物线的一部分，这部分过点)10若 、 是任意实数，且 ，则ababA B C D21lg()0ab12ab11一动圆与两圆 和 都外切，则动圆圆心轨迹为2xy282xyA圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线12圆柱轴截面的周长 为定值，那么圆
4、柱体积的最大值是lA B C D36l3192l34l324l13 展开式中 的系数为45(1)(x4xA B 10 C40 D45014直角梯形的一个内角为 45，下底长为上底长的 ，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周32第 3 页 (共 10 页)ca58a53dff78c66d33dbc819de8b38a8.pdf 所成的旋转体的全面积为 ，则旋转体的体积为(52)A B C D2435237315已知 ， ， 为各项都大于零的等比数列，公比 ，则1a28a1qA B8451845aC D 与 的大小关系不能确定1 a16设有如下三个命题：甲：相交两直线 ， 都在平面 内，并且都不在平面
5、 内乙： ，lml之中至少有一条与 相交丙： 与 相交当甲成立时mA乙是丙的充分而不必要的条件 B乙是丙的必要而不充分的条件C乙是丙的充分且必要的条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17将数字 1，2，3，4 填入 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有A6 种 B 9 种 C11 种 D23 种第卷（非选择题共 82 分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上18 1sin(arcors)2319若双曲线 与圆 没有公共点，则实数 的取值范围为 9
6、4xyk21xyk20从 1，2，10 这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法 （用数字作答）21设 ，则 1()4xf1(0)f22建造一个容积为 ，深为 的长方体无盖水池如果池底和池壁的造价每平方米分别8m2第 4 页 (共 10 页)ca58a53dff78c66d33dbc819de8b38a8.pdf 为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为 元23如图， 是正方形，ABCD是 的中点，如将 和EE 分别沿虚线 和 折起，使 与 重合，记 与 重合后的点为 ，则面 与面PCD所成的二面角为 度EC三、解答题：本大题共 6 小题，共 58 分，解答应写出文字说明
7、，证明过程或演算步骤24 （本小题满分 10 分）已知 1()log(0,1)axfx（1）求 的定义域；()fx（2）判断 的奇偶性并予以证明；（3）求使 的 取值范围()0fx25 （本小题满分 12 分）已知数列 ， ， ， 为其前281325228(1)nnS项和计算得 ， ， ， n189S2459S40观察上述结果，推测出计算 的公式，并用数学归纳法加以证明n26 （本小题满分 12 分）已知平面 平面 直线 同垂直于平面 ，又同平行于直a,线 求证：b（1） ；a（2） ECDPA BCDEab第 5 页 (共 10 页)ca58a53dff78c66d33dbc819de8b3
8、8a8.pdf 27 （本小题满分 12 分）在面积为 1 的 中， ， 建立PMN1tan2tan2MNP适当的坐标系，求以 ， 为焦点且过点 的椭圆方程28 （本小题满分 12 分）设复数 ，cosin(0)z，并且 ， ，求 41()z3|arg2数 学 试 题 参 考 答 案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13 14 15 16三、解答题171993 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：1本解答指出了每题要考查的主要知识
9、和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数4只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 68 分(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (
10、12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分(18) (19)k|k| (20)100 (21)1 (22)1760 (23)3063231三、解答题(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能M NP第 6 页 (共 10 页)ca58a53dff78c66d33dbc819de8b38a8.pdf 力满分 12 分解 () 由对数函数的定义知 1 分01x如果 ，则11，log a 等价于 ， 0而从() 知 1x 0，故等价于 1+x1x，又等价于 x0故
11、对 a1，当 x(0，1)时 有 f(x)0 9 分()对 00，故等价于 10 12 分(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法满分 10 分解 4 分NnSn2证明如下：()当 n=1 时， ，等式成立 6 分983121S()设当 n=k 时等式成立，即 7 分.2kk则 221318Sk 22318k2k23118k 22311kk23由此可知，当 n=k+1 时等式也成立 9 分21k根据()() 可知，等式对任何 nN 都成立 10 分(26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力满分 12 分证法一() 设 =AB， =A
12、C在 内任取一点 P并于 内作直线 PMAB ，PNAC 1 分 ， PM 而 a ， PMa同理 PNa 4 分又 PM ，PN ， a 6 分第 7 页 (共 10 页)ca58a53dff78c66d33dbc819de8b38a8.pdf ()于 a 上任取点 Q，过 b 与 Q 作一平面交 于直线 a1，交 于直线 a27 分 b ， ba 1同理 ba 2 8 分 a 1，a 2 同过 Q 且平行于 b， a 1，a 2 重合又 a1 ，a 2 ， a 1，a 2 都是 、 的交线，即都重合于 a 10 分 ba 1， ba而 a ， b 12 分注：在第部分未证明 ba 而直接断
13、定 b 的，该部分不给分证法二() 在 a 上任取一点 P，过 P 作直线 a 1 分 ，P ， a 同理 a 3 分可见 a是 ， 的交线因而 a重合于 a 5 分又 a ， a 6 分()于 内任取不在 a 上的一点，过 b 和该点作平面与 交于直线 c同法过 b 作平面与 交于直线 d 7 分 b ，b bc，bd 8 分又 c ，d ，可见 c 与 d 不重合因而 cd于是 c 9 分 c ，c ， =a， c a 10 分 bc，ac，b 与 a 不重合(b ，a )， ba 11 分而 a ， b 12 分注：在第部分未证明 ba 而直接断定 b 的，该部分不给分(27)本小题主要
14、考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力满分 12分解法一如图，以 MN 所在直线为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，设以 M，N 为焦点且过点 P 的椭圆方程为，焦点为 M (c，0)，N (c，0) 1 分12byax由 tgM= ，tg =tg( MNP)=2，得直线 PM 和直线 PN 的方程分别为 y= (x+c)和 y=2(xc) 将此二方程联立，解得 x= c，y=2 35c，即 P 点坐标为 ( c， c) 343545 分在MNP 中，|MN|=2c，MN 上的高为点 P 的纵坐标，故 .34212cSMNP由题设条件 SMNP =1， c=
15、 ，即 P 点坐标为 7 分2365，由两点间的距离公式， 1236522 ycxPM第 8 页 (共 10 页)ca58a53dff78c66d33dbc819de8b38a8.pdf 31523652 ycxPN得 10 分11PNMa又 b2=a2c 2= ，故所求椭圆方程为 12 分34513542yx解法二同解法一得 ，P 点的坐标为 7 分6， 点 P 在椭圆上，且 a2=b2+c2 化简得 3b48b 23=01325b解得 b2=3，或 b2= (舍去) 10 分31又 a2=b2+c2=3+ 故所求椭圆方程为 12 分4513542yx解法三同解法一建立坐标系 1 分 P=
16、PMN， 43211tgMNttgP P 为锐角 sinP= ， cosP= 534而 SMNP = |PM|PN|sinP=1， |PM| PN|= 4 分2130 |PM |+|PN|=2a，|MN|=2c ，由余弦定理，(2c)2=|PM|2+|PN|22|PM |PN|cosP=(|PM|+|PN|)22|PM| PN|(1+cosP)=(2a)22 2 310，54 c 2=a23，即 b2=3 7 分又 sinM= ，sin N= ，由正弦定理， ， 512PMNsinisinPNPMsinisin即 ， a= c 10 分5321c第 9 页 (共 10 页)ca58a53dff
17、78c66d33dbc819de8b38a8.pdf a 2=b2+c2=3+ a 2= 541故所求椭圆方程为 12 分3yx(28)本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力满分 12分解法一 2 分4sinco14sinco1s5 分2i2cosinitg 6 分34cstg 32t因 ，故有0()当 时，得 或 ，这时都有 ，32t127sinco3得 ，适合题意 10 分6arg()当 时，得 或 ，这时都有 ，32t125 61sinco3得 ，不适合题意，舍去61arg综合() 、()知 或 2 分217解法二： 4sinco4z记 ，得 sicz 2 分si1 5 分concosi cossin2tg ， ，3arg 8 分0cos2tgin2t第 10 页 (共 10 页)ca58a53dff78c66d33dbc819de8b38a8.pdf 当成立时，恒成立，所以 应满足() ，或( ) ， 04cos32tg04cos32tg10 分解()得 或 () 无解127综合() 、() 或 12 分12
