1、, 过程系统工程研究的内容(ASO)和4个基本问题（SDOS） 过程系统工程研究内容的两个案例（单元、系统) 过程系统工程的主要工具-过程模拟系统（组成、分类和用途） 过程系统工程的应用,Review of last lecture , 过程系统工程研究的内容(ASO)和4个基本问题（SDOS） 过程系统工程研究内容的两个案例（单元、系统) 过程系统工程的主要工具-过程模拟系统（组成、分类和用途） 过程系统工程的应用,Review of last lecture ,物性数据数学模型（本章起）计算方法,化工过程模拟计算与优化三要素,4,第二章 数学模型,本章内容 概念、定义与分类 过程系统模型及
2、其自由度 机理模型 经验模型及其建模方法 流程结构模型 流程模拟基本模型* 过程单元模型* 关于数学模型预测性检验的探讨*,2.1 概念、定义与分类,模型：可描述、表现原型某种特性的替代物物理模型 physical model 实物模型 concrete model 分类： 几何模型 geometric model 概念模型 conceptual model 数学模型 mathematical model ？ 数学模型是建模的最高境界，是对原型认识深刻、研究透彻的体现。（王教授语）什么是数学模型？,2.1.1 模型 （model）,描述的是对象系统 “如何实现”系统的物理过程,依靠物质的基本形
3、态所做的模仿,使立体像对同名光线对相交所构成的与实地相似的模型。,关于地理现象与过程的逻辑关系清楚的概念阐述模型,茂名石化,Case 1： y = 2*x 是数学模型； y = x2 是数学模型； Case 2： y 1= 2*x y2 = x2 方程组， 是数学模型； Case 3： y 1= 2*x 1 + 5x22 y2 = x12 + 3*x 2 方程组，也是数学模型；如何表述？,热力学方程,?,数学模型,数学模型：变量之间的约束关系,数学模型是一套数学关系式或数学符号，这些关系式或符号描述了系统的各种因素、特征、变量之间的数量关系或逻辑关系，是原型特性的数学描述。比如状态方程就是流体
4、PVT关系的数学模型（f( p, T, V ) = 0 或 P=P(T,V)。,数学模型的分类,流程模拟系统设计角度：物性模型、过程单元模型、,建模的方式和信息依据：机理模型、经验模型(?),对象的概率特性：确定模型、随机模型 （变量之间的关系是否以统计值的形式给出）,对象的时变特性:定态（稳态）模型、动态模型,对象的空间特性：集中参数模型、分布参数模型（参数是否与空间位置有关）,实际使用目的：操作型模型、设计型模型,系统结构模型等,数学模型的分类,2.1.3 运用模型方法的实例（P12）例2-1,如图2-1，在边长为2的正方形中内接一个圆。在正方形面积内随机地打上N个点，其中有n个点落在内接
5、圆中。如N足够大，可认为n与N之比近似等于圆形与正方形面积之比。即,图2-1 Monte Carlo Method蒙特卡罗方法计算圆周率与概率方法无关的问题可以用概率的方法来解决!,故当N足够大时，有,蒙特卡罗(?)方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数,有特定的程序）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。,物性模型：是流程模拟中的最基本的模型。其作用主要是解决被加工物料的状态计算问题。通常包括焓、逸度、密度、压力、温度、相态、
6、组成等计算。方法或理论来源自化工热力学。 单元模型：是为了解决基本单元过程与设备的计算问题，方法或理论来源有化工原理、反应工程、分离工程、传递原理等。 结构模型：是描述整套装置中各个单元过程之间联系方式的模型。 经济模型:经济分析 控制模型:动态模拟 用户接口：自编模型,流程模拟系统中的模型,2.1.4 流程模拟系统中的模型,2.1.5 评价模型的标准,适用、简单、预测性好是评价模型的根本标准。模型的好坏与是否使用了复杂的方法、是否使用了前沿的成果、是否使用了时髦的理论完全无关。（ 王教授语 ）,转2.3,2.3 机理模型2.3.1 机理模型的特征,（1）机理模型的概念 对系统的各个组成部分及
7、其相互联系方式进行研究，了解其各部分运行的物理规律，然后利用已知的、经过长期实践检验的公理，如质量守恒、能量守恒、万有引力定律等建立系统的数学模型。实质上就是将系统分解至已知公理可以解释的程度再进行相应的数学描述。,建模的方式和信息依据,2.3 机理模型,（2）机理模型的特征 在化工系统工程领域，对于流程模拟任务而言，所称机理模型一般应具有如下基本特征（或其中部分特征）： 确定的组分，统一、可靠的基础物性数据。 质量衡算方程 能量衡算方程 严格的相平衡计算 化学反应动力学或化学平衡计算 传递与流动计算,？,2.3.2 建模手段与实例,建模工作内容：系统（物理）分析与数学推演 （1)系统分析 工
8、作的思路: 选定研究对象，明确系统的功能及与环境的信息交换； 进一步研究系统的物理规律，适当的简化、假设； 分解系统，划分子系统及确定诸子系统间的联系，直至各子系统都可以运用所熟悉的原理或假设给予解释和描述为止。在某些特殊情况下，尤其系统较为复杂、未知物理规律较多时，确实也可以首先建立系统的物理模型实验设备，为下一步总结物理规律服务。,2.3.2 建模手段与实例,（2)数学推演在系统分析的基础上写出各子系统的有关数学表达式及各子系统相互联系的表达式，形成系统数学模型的雏形或原始形式；再根据模型求解与使用的需要对原始表达式进行推导、演算、整理、化简，得到表达清晰、便于理解和计算的数学模型。,例2
9、-7 无相变单程逆流换热器稳态模型,A,dA,dT,dt,T1,T2,t1,t2,符号说明： 热物流流率与比热， 冷物流流率与比热， 换热量， 总传热系数建模过程简化假设：总传热系数K为常数；流体不可压缩；流体比热为常数；稳态流动；忽略设备的热容与传递滞后；与流动方向垂直的方向上无温差；焓衡算用显热衡算代替。本例中因认为流率与组成不变，进出口流率为同一变量，故不存在质量衡算关系式。,无相变单程逆流换热过程的模型,系统分析,首先由传热方程得： 即(2-1)由热平衡可知： 即则 , 其中系数 将 积分可得：(2-2)将(2-2)代入(2-1)得：(2-3),数学推演,对(2-3)积分:再整理，得：
10、(2-4)式2-4已表达了换热面积、换热量、物流温度等变量间的数量关系。但式中t2为换热终温，非已知量，在操作型模拟问题中一般作为数学模型中待求的状态变量。故上式无法用作操作型模拟的数学模型。宜设法消去t2 。可由冷物流的热平衡得：,整理上式得： ，代入(2-4)后再整理可得：若定义热容流率比 则可化为 (2-5)式(2-5)与如下两式结合(2-6)(2-7)即构成所需数学模型（机理模型？）。当给定冷、热物流的物性（热容）和初态（流率与温度）并已知设备参数K和A后，即可由(2-5)算出换热量Q,并进而由热平衡(2-6) (2-7)两式算出冷、热物流的终态温度，完成操作型模拟任务。,连续流动加热
11、水槽动态模型（自学）,符号说明：F,T 流量(kg/hr)与温度(K)，T0 环境温度(K)，C, 物性，比热(kJ/kg.K)与密度(kg/m3)，K, A 传热系数(kJ/h K m3) 与传热面积(底面积)(m2)，L, V 液位(m)与持液体积(m3)，t 时间(h)建模简化假设：K，C，为常数，理想搅拌（集中参数体系），流体不可压缩，忽略设备热容与传递滞后，焓衡算用显热衡算代替。,连续流动加热水槽动态模型 （自学）,首先考虑质量衡算： ，即(2-12) 热量衡算(显热衡算)： 即: 利用(2-12)，代入上式，消去 ,整理得：(2-13)式(2-12)与式(2-13)即构成了所需的数
12、学模型（机理模型）。此模型描述了液位与温度随时间的动态变化关系。如给定适当初始条件，即可算出液位与温度随时间的变化曲线。,2.4经验模型（empirical model）及其建模方法,几个环节,系统分析,抽样或获取观测数据（即掌握原型的实际信息）,确定函数形式,检验与评价,参数估值,概念：不分析实际过程的机理，而是根据从实际得到的与过程有关的数据进行数理统计分析、按误差最小原则，归纳出该过程各参数和变量之间的数学关系式，用这种方法所得到的数学表达式称为经验模型，黑箱模型（Black box） 。,2.4.1 建模问题的描述,系 统,x,Y,输入变量,输出变量,待建模系统,系统分析 获取观测数据
13、（xj，yj），j=1,m 选择函数y=f（x，b） 参数估值，确定b，使得模型计算值与实测值尽量拟合 检验与评价,如何估值？,建模基本步骤,2.4.2 最小二乘法*,构造误差函数,极值点问题,Note： J为函数，b为决策变量！,（Note： J为函数，b为模型参数！）,y=f（x，b）,关于最小二乘法（the least square method ）,最小二乘法是一种数学方法，用于曲线拟合。二乘，就是平方，是早年翻译的沿用。 当在实验中获得自变量与因变量的一系列对应数据,(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),.(xn,yn)时，要找出一个已知类型的函数，y=f(x)，与之拟合，
14、使得实际数据和理论曲线的离差平方和：yi-f(xi)2为最小。这种求f(x)的方法，叫做最小二乘法。,2.4.3 多元线性回归*（自学）,最小二乘问题转化成多元线性回归问题,如果选择函数,求出bi,求出b0,有现成的计算程序！,2.4.4 一元线性回归one dimensional linear regression （自学）当n=1，多元线性回归转化成一元线性回归，即直线拟合问题：Y=b0+b1X（见教材p28),特别需要注意经验模型的适用范围，即经验模型的定义域。从纯数学观点看，线性模型的自变量定义域为无穷大。但实际上经验模型（即使是线性模型）的定义域是受到严格限制的。这些限制由物理意义、
15、样本抽样范围等决定。经验模型的适用范围或定义域应限制在模型变量的抽样范围之内。如在抽样范围以外使用，则属外推使用。外推使用时，预测效果无法考察，易导致重大预测失误。尤其在失去物理意义的范围上外推使用以及建模时依据的样本方差较大、样本容量较小时，外推使用更不可取。,2.4.5 适用范围与使用单位,2.4.6 线性化方法（自学）,y=a+bx,2.4.7 统计检验 （自学）,利用数理统计的方法，可对多元线性回归的结果进行统计检验。最常用的是对模型参数进行显著性检验。原假设H0为:,统计量：TSS=L,回归平方和，ESS，反映由模型中解释变量所解释的那部分离差的大小,TSS为总体平方和（Total
16、Sum of Squares），反映样本观测值总体离差的大小,RSS为残差平方和（Residual Sum of Squares），反映样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小。,显著性检验即用于实验处理组与对照组或两种不同处理的效应之间是否有差异，以及这种差异是否显著的方法。,2.4.7 统计检验（自学，会用即可）,检验步骤： 确定置信度，查F分布得对应的方差比临界值F； 将统计量F计算值与临界值比较； 确定是否为小概率？ NOTE：统计检验从数理统计的角度提出了取舍模型的判据。由于统计检验时所用的前提条件在实际中未必满足以及统计检验方法本身的各种局限，在评判
17、模型时不能过多地依赖统计检验，而应立足于实际，充分利用有关专业领域的理论和实践知识，对经验模型进行客观、全面的考察、评判。,U：回归平方和；Q：剩余平方和,F检验，检验依据样本估计的回归方程所体现的被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立,显著性检验依据及其他,1、小概率原理：小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，假若在一次试验中事件 事实上发生了。那只能认为事件 不是来自我们假设的总体，也就是认为我们对总体所做的假设不正确。 2、观察到的显著水平：由样本资料计算出来的检验统计量观察值所截取的尾部面积。这个概率越小，反对原假设，观察到的差异便越加理由充分地表明真实差异存在。
18、3、检验所用的显著水平：针对具体问题的具体特点，事先规定这个检验标准。 4、在检验的操作中，把观察到的显著性水平与作为检验标准的显著水平标准比较，小于这个标准时，得到了拒绝原假设的证据，认为样本数据表明了真实差异存在。大于这个标准时，拒绝原假设的证据不足，认为样本数据不足以表明真实差异存在。,2.4.8 数值精度与数值稳定性,在求解方程组的过程中，需要特别注意数值精度问题。无论是手算或利用计算机编程序计算，都必需在运算过程中尽可能保留较多的有效数字。否则，极可能使得最终结果面目全非。,思考：为什么？,2.4.8 数值精度与数值稳定性,常见的均值计算问题：,曾有一种较为流行的观点，认为一般工程计
19、算结果仅需取三、四位有效数字，故中间结果仅需取五、六位有效数字。此说未考虑数值稳定性问题，忽略了误差的传递与放大，仅适用于拉计算尺计算简单问题的场合。,计算量小，但样本较大时占用内存较多且影响精度,计算量稍多，但较为稳定， 适宜在线计算,精度高，计算量大,为均值近似值,直接法：,递推算法法：,二次均值法：,灰箱模型灰箱模型(Gray box)或概念模型(conceptual model),指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。 在水利学上，结合流域观测数据和试验数据,根据物理过程为基础建立起来的模型，握力基础的结构和方程可能是经验或半经验方程.由于物理意义不是很明确，参数和变量很难通过实测数据获得。经常需要模拟(simulate),检验(verification) 验证(validation)评估(evaluate)。,模型化工作程序,模型评价,
