1、2018/10/8,机械工程,1,第4讲 -(2),方块图的简化等效变换 信号流图及Masons Gain Formula,2018/10/8,机械工程,2,第二章 控制系统的数学模型,2.1 引言 2.2 时域数学模型 2.3 频域数学模型 2.4 信号流图与梅逊公式 ,2018/10/8,机械工程,3,2.4.4 方块图的简化等效变换 为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则
2、一定要掌握。,图2-23 环节的串联连接,（1）串联连接,2018/10/8,机械工程,4,特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。,结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。,n为相串联的环节数,2018/10/8,机械工程,5,图2-24 环节的并联连接,特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和，即:,（2）并联连接,2018/10/8,机械工程,6,结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。,n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。,2018/10/8,机械工程,7,图2-25 环节的反馈连接,（4）比较点和分支点（
3、引出点）的移动 有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。,（3）反馈连接,2018/10/8,机械工程,8,图2-26 比较点移动示意图,放大缩小,缩小放大,2018/10/8,机械工程,9,左,图2-27 分支点移动示意图,缩小放大,放大缩小,右,2018/10/8,机械工程,10,化简的方法主要是通过移动分支点或相加点，消除交叉联接，使其成为独立的小回路，以便用串、并联和反馈联接的等效规则进一步化简，一般应先解内回路，再逐步向外回路，一环环简化，最后求得系统的闭环传递函数。例：如图2313所示，应用上述规则来简化一个三环回路的方
4、框图，并求系统传递函数。,图2.3.13 (a),2018/10/8,机械工程,11,化简过程可按如下步骤进行：(1)由(a)相加点前移得（b）;,图2.3.13 (b),2018/10/8,机械工程,12,(2)将（b）中，中间小环回路化为单一向前传递函数,得（c）；,图2.3.13 (c),2018/10/8,机械工程,13,(3)再消去(c)中第二个闭环回路，使之成为单位反馈的单环回路，得(d)；,图2.3.13 (d),2018/10/8,机械工程,14,(4)去掉（d）中单位反馈回路，得到单一向前传递函数，即原系统的闭环传递函数。,图2.3.13 (e),2018/10/8,机械工程
5、,15,将例2-9的系统方块图简化,例2-10,2018/10/8,机械工程,16,图2-28 方块图的简化过程,简化提示： 分支点A后移 （放大-缩小） 比较点B前移 （放大-缩小） 比较点1和2交换。,2018/10/8,机械工程,17,用方块图的等效法则，求图2-29所示系统的传递函数C(s)/R(s),解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。,例2-11,图2-29,2018/10/8,机械工程,18,反
6、馈公式,串联和并联,2018/10/8,机械工程,19,2018/10/8,机械工程,20,方框图的等效变换及简化途径不是唯一的,除了简化求解系统传递函数，含有多个局部反馈的闭环传递函数，还可直接用梅逊增益公式求解：括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，反馈信号为“相加”时取负号；反馈信号为“相减”时取正号。,(2.3.7),2018/10/8,机械工程,21,依此可直接由(a)作出（e），要特别注意，在应用式（2.3.7）时，必须要具备以下两个条件：（1）整个方框图只有一条前向通道；（2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。,2018/10/8,机械工程,22,如图2.3.14（a
7、）中，系统有两个独立的局部反馈回路，其间没有公共的方框。不能若直接用式（2.3.7），应先将两局部反馈回路分别简化成两个方框，然后，将此两方框串联，得传递函数,2018/10/8,机械工程,23,在图2.3.14（b）中，系统的两个反馈回路间有公共的传递函数方框 ，因此，可直接用式(2.3.7)得出传递函数：若系统不能满足使用式（2.3.7）的两个条件，可先将其方框图化成满足使用条件的形式，然后，再应用式（2.3.7）求出闭环传递函数。,2018/10/8,机械工程,24,2.4.5 信号流图和梅逊公式（SJMason）方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，
8、且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。 2.4.5.1信号流图中的术语,2018/10/8,机械工程,25,输入节点：具有输出支路的节点。图中的,输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图中的,混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。图中的,前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路
9、。,2018/10/8,机械工程,26,前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用 表示。,回路（闭通路）:起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。,2018/10/8,机械工程,27,回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 表示 。,不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。 在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。 例如：,和,和,2018/10/8,机械工程,28,信号流图的性质 信号流图适用于线性系统。 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出
10、支路。 具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。 对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。,2018/10/8,机械工程,29,2.4.5.2 信号流图的绘制 由微分方程绘制 方程，这与画方块图差不多。 由系统方块图绘制。,书上例2-18，见书P57 （第三版P56）画出图2-31(书图2-43)所示系统方块图的信号流图。,图2-31系统方块图,解：用小圆圈表示各变量对应的节点 在比较点之后的引出点,只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。,在比较点之前的引出点B，需设置两个
11、节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的,例2-12,2018/10/8,机械工程,30,2.4.5.3,信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。,式中,系统总增益（总传递函数）,前向通路数,第k条前向通路总增益,：,所有不同回路增益乘积之和；,所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；,所有任意m个不接触回路增益乘积之和。,为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值，称为第k条前向通路特征式的余因子。,2018/10/8,机械工程,31,求图2-33（a）所示信号流图的总增益,例2-1
12、3,2018/10/8,机械工程,32,2018/10/8,机械工程,33,利用Masons gain formula 求图2-34所示系统的闭环传递函数。,解：前向通路有3个,图2-34 某系统的信号流图,例2-14,2018/10/8,机械工程,34,4个单独回路,互不接触,2018/10/8,机械工程,35,总结,从原理图画系统方块图的方法 方块图的简化基本连接方式串联、并联和反馈的简化比较点、分支点的移动 信号流图及Masons Gain Formula,2018/10/8,机械工程,36,图2-18 输出对扰动的结构图,利用公式*，直接可得：,(6)输出对扰动的传递函数 假设R(s)
13、=0,*,2018/10/8,机械工程,37,（7）误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0,图2-19 误差对扰动的结构图,利用公式*，直接可得：,*,2018/10/8,机械工程,38,线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：,2.4.3 方块图的绘制 （1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。 （2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。 系统方块图-也是系统数学模型的一种。,注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。,
