1、反比例函数压轴题类型一、反比例函数与几何图形的综合1、反比例函数与求四边形面积、存在性问题（正方形）26. (历下区一模、本题满分 9 分) 如图，正比例函数 yax 与反比例函数0)的图象交于点M（ ， ） (1)求这两个函数的表达式；(2)如图 1，若 AMB 90，且其两边分别于6 6两坐标轴的正半轴交于点 A、B求四边形 OAMB 的面积(3)如图 2，点 P 是反比例函数y (x 0)的图象上一点，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F，PF 交直线 OMkx于点 H，过作 x 轴的垂线，垂足为 G设点 P 的横坐标为 m，当 m 时，是否存在点6P，使得四边形 PE
2、GH 为正方形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由xyABMO xyEGFHMOP26解：（1）将点 M（ ， ）分别带入 与 得： a ，6ayk66k1 分解得：a1，k6 2 分这两个函数的表达式分别为：yx，.3 分（2）过点 M 分别做 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 C、D .则MCAMDB90，AMCBMD90AMD ，MCMD ，6AMCBMD，5 分S 四边形 OCMDS 四边形 OAMB6，6 分（3）设 P 点坐标为（ ） ，则 PEHGGE ，OE2x，x6, 6 MOE 45， OGGH ，OE OGGH 2x8 分1P 点坐标为（ ， ）. 9 分3
3、2x解 得 ： 322、反比例函数与判断平行四边形、存在性问题（矩形）26. (市中区一模、本题满分 9 分) 如图 1，已知双曲线 y （k0）与直线 ykx 交于kxA、B 两点，点 A 在第一象限，试回答下列问题：（1）若点 A 的坐标为（3，1），则点 B的坐标为_；当 x 满足：_时， kx；（2）如图 2，过原点 O 作另一条直kx线 l，交双曲线 y （k0）于 P，Q 两点，点 P 在第一象限 四边形 APBQ 一定是kx_；若点 A 的坐标为（3，1），点 P 的横坐标为 1，求四边形 APBQ 的面积，(3)设点 A，P 的横坐标分别为 m，n，四边形 APBQ 可能是矩形
4、吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出 m，n 应满足的条件；若不可能，请说明理由。26.【解答】解：（1）点 B 的坐标为（3， 1） ， 1 分 由图象可知，当3x0 或 x3 时， kx， 3 分（2） 平行四边形； 4 分 点 A的坐标为（3，1） ，k313，反比例函数的解析式为 y ，点 P 的横坐标为1，点 P 的纵坐标为 3，点 P 的坐标为（1，3） ，由双曲线关于原点对称可知，点 Q 的坐标为（1， 3） ，点 B 的坐标为（3，1） ，如图 2，过点 A、B 分别作 y 轴的平行线，过点P、Q 分别作 x 轴的平行线，分别交于 C、D 、E、F，则四边形 CDEF 是矩形，
5、CD6，DE6，DBDP4，CP CA 2，则四边形 APBQ 的面积矩形 CDEF 的面积ACP 的面积 PDB 的面积 BEQ 的面积AFQ 的面积36 282816 6 分 ( 3) mnk 时，四边形 APBQ 是矩形， 7 分 不可能是正方形 . 8 分 理由：当 ABPQ 时四边形 APBQ 是正方形，此时点 A、P 在坐标轴上，由于点 A，P 可能达到坐标轴故不可能是正方形，即POA90 9 分 3、反比例函数与三角形、平行四边形的面积26.（本小题满分 9 分）如图 1，直线 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，与反比例函数l的图像交于两点 A、E，AGx 轴，垂足为点 G
6、，S AOG 3 （1）k (0)kyx； （2）求证：AD CE；(3)如图 2，若点 E 为平行四边形 OABC 的对角线 AC 的中点，求平行四边形 OABC 的面积yxOA BCP26 题图yxOA BCP26 题图E D26.解：（1）k6 3 分（2）证明： 作 EHy 轴，垂足为 H，EH 交 AG 于点 P，设 AGx 轴 EHy 轴 (,),AaEb6(0,),GabaPHG;)( 又 PAEHAPG 5 分PAEPGH HG CD A 四边形 DAGH、 HECG 为平行四边形 ADCE 6 分（3）由上问知：AD CE AE， AGx 轴 SAOG Gy轴13ODC 3
7、SOAC 9 S 平行四边形 OABC 18 9 分4、反比例函数与中点的证明、存在性问题（菱形）26(本小题满分 9 分、槐荫区一模 )如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数y (x0) 的图象交于点 P(n，2)，与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 C，PB 丄 x 轴m于点 B，点 A 与点 B 关于 y 轴对称 (1)求一次函数、反比例函数的解析式； (2)求证：点 C为线段 AP 的中点；(3)反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形，如果存在，说明理由并求出点 D 的坐标；如果不存在，说明理由26. (1)点 A 与点 B 关于 y 轴对称，A
8、OBO ，A(4，0)，B(4，0) ，P(4，2),1 分把 P(4，2) 代入 y 得 m8，反比例函数的解析式：y 2 分把 A(4，0)，P(4，2)x 8x代入 ykxb 得： ，解得： ，所以一次函数的解析式： y x1.3 分042kb14kb 1(2) 点 A 与点 B 关于 y 轴对称，OA=OB ， 4 分PB 丄 x 轴于点 B，PBA=90，COA=90，PBCO，点 C 为线段 AP 的中点.5 分(3)存在点 D，使四边形 BCPD为菱形.6 分点 C 为线段 AP 的中点，BC = ，BC 和 PC 是菱形的两条边 712APC分由 y x1，可得点 C(0，1)
9、，过点 C 作 CD 平行于 x 轴，交 PB 于点 E，交反比例函数4y 的图象于点 D，分别连结 PD、BD，点 D（8，1） ， BPCDPEBE1， 8CEDE4，PB 与 CD 互相垂直平分，8 分四边形 BCPD 为菱形. 点 D（8，1）即为所求. 9 分二、反比例函数与一次函数的综合1、反比例函数与一次函数的求法、两直线的位置关系、角的度数26.( 17 天桥一模、 本小题满分 9 分) 如图，已知点 D 在反比例函数 y 的图象上，过点mxD 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 B（0,3） 过点 A（5,0）的直线 ykxb 与 y 轴于点 C，且BDOC，tan OAC (
10、1)求反比例函数 y 和直线 ykx b 的解析式；(2)连接 CD，试23 mx判断线段 AC 与线段 CD 的关系，并说明理由； (3)点 E 为 x 轴上点 A 右侧的一点，且AEOC，连接 BE 交直线 CA 与点 M，求BMC 的度数 xy MDBCAOE xyMEDCBAO26 解：（ 1）A（5,0） ，OA=5. .1 分,52tan,OA，2） ，（ -0 ，2OCBD） ，（ 30B轴 ， xD） ，（ 3,2- .2 分设直线 AC 关系,63my式为 ,bkxy过 A（5,0） ， ） ，（ 2-0C 解得： .3 分bk2505k2xy（2 ） ，） ，（ 3B） ，
11、（ 2-0C，OABOCBDAC,， .4 分DOA ，5 分， ，90D .6 分(3) 7 分连接 AD， ，C45BMCOCBDAE， 四边形 AEBD 为平行四边形，BDAE轴 ， x ， M .8 分 ， MDOA C 45 9 分为 等 腰 直 角 三 角 形CBC2、反比例函数与直角三角形26. (本小题满分 9 分、历城区 一模) 如图，已知点 A（5，0） ，B（0，5） ，把一个直角三角尺 DEF 放在OAB 内，使其斜边 FD 在线段 AB 上，三角尺可沿着线段 AB 上下滑动其中EFD=45，ED=2，点 G 为边 FD 的中点 （1）求直线 AB 的解析式；（2）如图
12、 1，当点 D 与点 A 重合时，求经过点 G 的反比例函数 y= （k0 ）的解析式；kx（3）在三角尺滑动的过程中，经过点 G 的反比例函数的图象能否同时经过点 F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由26. 解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，A（5，0） ，B（0，5） ， ，50kb解得： ，直线 AB 的解析式为：y=x+5；3 分（2）在 RtDEF 中，5kbEFD=45，ED=2，EF=2，DF=2 ，点 D 与点 A 重合，D （5，0） ，2F（3，2） ，G（4，1） ，5 分反比例函数 y= 经 过点 G，k=4，反比例函数的解析式为：
13、y= ；6 分x（3）经过点 G 的反比例函数的图象能同时经过点 F；理由如下：点 F 在直线 AB 上，设 F（t，t+5） ，又ED= 2， D （t+2，t +3） ，点 G 为边 FD 的中点G（t+1，t+4） ，8 分若过点 G 的反比例函数的图象也经过点 F，则，t(-t+5)=(t+1)(-t+4)解得： t=2，则 F（2,3）设解析式为 y= ，m=6， 经过点 G 的反比例函数的图象能同时经过点 F，这个反比例函数解析式为： 9 分6yx26.（17 长清一模）如图，反比例函数 y= k/x （x0）的图象经过线段 OA 的端点 A，O 为原点，作 ABx 轴于点 B，点
14、 B 的坐标为（3，0） ，tanAOB= 2/5 （1）求 k 的值；（2）将线段 AB 沿 x 轴正方向平移到线段 DC 的位置，反比例函数 y=k/x （x0）的图象恰好经过 DC 上一点 E，且 DE：EC=3：1，求直线 AE 的函数表达式；（3）若直线 AE 与 x 轴交于点，N，与 y 轴交于点 M，请你探索线段 AM 与线段 NE 的大小关系，写出你的结论并说明理由设直线 AE 的函数表达式为 y=kx+b 则 ， 5 分解得 ，bk1234531bk直线 AE 的函数表达式为 y=- x+5；6 分（3）结论：AM=NE理由：在表达式 y=-x+5 中，令 y=0 可得 x=
15、15，令 x=0 可得 y=5点 M（0，5） ，N（15，0 ） 延长 DA 交 y 轴31于点 F，则 AFOM，且 AF=3，OF=4，MF=OM-OF=1，由勾股定理得 AM=CN=15-12=3，EC=1，根据勾股定理可得 EN=10322MAAM=NE 9 分或由三角形全等证明。CEN34k kxxyCABO26.（本题满分 9 分历下区二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x 与反比例函数 yk/x 在第一象限内的图象相交于点 A(m，3)(1) 求该反比例函数的关系式；(2)将直线 y x 沿 y 轴向上平移 8 个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点 B
16、，连接 AB，这时恰好 ABOA，求 tanAOB 的值；(3)在(2)的条件下，在射线 OA 上存在一点 P，使 PABBAO，求点 P 的坐标26解：（1）点 A（m，3 ）在直线 y x 上3 m，m ，点3A（ ，3）1 分点 A（ ，3）在反比例函数 y 上,k 3 2kx 9分y 3 分(2)直线向上平移 8 个单位后表达式为：y x 8 x9 3ABOA ，直线 AB 过点 A（ ，3）直线 AB 解析式： 4 分12y . x .B( ,9) 5 分AB41238x 3又OA6，tan AOB 6 分（3） APBABO , 7 分4OABP即 AP88 分 OP14 P（7 ，7） 9 分34AP
