1、2017 年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知全集为 R，集合 M=1，0，1，3，N=x |x2x20，则 M RN=（ ）A 1，0，1 ，3 B 0，1，3 C 1，0，1 D0，12 （5 分）设 i 是虚数单位，若（2a+i） （12i ）是纯虚数，则实数 a=（ ）A1 B1 C4 D 43 （5 分）已知一组数据 a、b、9、10、11 的平均数为 10，方差为 2，则|a b|=（ ）A2 B4 C8 D124 （5 分）ABCDA 1B1C1D1 是棱长为 2
2、 的正方体，AC 1、BD 1 相交于 O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点 M，OM1 的概率 p=（ ）A B C D5 （5 分） 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（ ）A2 B4+2 C4+4 D6+46 （5 分）等差数列中a n，a 1=2，公差为 d，则“d=4”是“a 1，a 2，a 5 成等比数列” 的（ ）A充要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D非充分非必要条件7 （5 分）F 是抛物线 y2=4x 的焦点，P 、Q 是抛物线上两点，|PF|=2，|QF |=5，则|PQ |=（ ）A3 B4 C3 或
3、D3 或 48 （5 分）若的（x 2+a） （x ） 10 展开式中 x6 的系数为30，则常数 a=（ ）A 4 B3 C2 D39 （5 分）四面体 ABCD 中BAC=BAD=CAD=60，AB=2 ，AC=3，AD=4，则四面体 ABCD的体积 V=（ ）A2 B2 C4 D410 （5 分）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A直线 B椭圆 C抛物线 D双曲线11 （5 分）函数 f（x ）= sinxcosx+cos2x（0） （0）在区间 ， 的值域是， ，则常数 所有可能的值的个数是（ ）A0 B1 C2 D412 （
4、5 分）已知函数 f（ x）的图象与函数 y=x33x2+2 的图象关于点（ ，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线 y=f（x）的一条切线，则实数 t 的取值范围是（ ）A （ 3，2） B3，2 C （ ，3）（ 2，+） D （，3） 2，+）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）偶函数 f（x ）在（ 0，+）单调递减，f（1）=0，不等式 f（x）0 的解集为 14 （5 分）正项数列a n满足 a1= ，a 1+a2+an=2anan+1，则通项 an= 15 （5 分）某个部件由 3 个型号相同的电子元件并联而成，3 个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工
5、作，已知这种电子元件的使用年限 （单位：年）服从正态分布，且使用年限少于 3 年的概率和多于 9 年的概率都是 0.2那么该部件能正常工作的时间超过 9 年的概率为 16 （5 分）若向量 、 满足| + |=2，| |=3，则| | |的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）ABC 的内角 A、B 、C 所对的边分别是，a、b 、c ，ABC 的面积 S= （）求 A 的大小；（）若 b+c=5，a= ，求ABC 的面积的大小18 （12 分）为了摸清整个江门大道的交通状况，工作人员随机选取 20 处路段，在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况
6、如下（单位：辆）：147 161 170 180 163 172 178 167 191 182181 173 174 165 158 154 159 189 168 169（）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图；通行数量区间145，155） 155，165） 165，175） 175，185） 185，195）频数（）现用分层抽样的方法从通行数量区间为165，175） 、175，185）及185，195）的路段中取出 7 处加以优化，再从这 7 处中随机选 2 处安装智能交通信号灯，设所取出的 7 处中，通行数量区间为165，175）路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量 X（单位：盏）
7、 ，试求随机变量 X 的分布列与数学期望 E（X） 19 （12 分）如图，多面体 EFABCD 中，ABCD 是正方形，AC、BD 相交于 O，EF AC，点 E在 AC 上的射影恰好是线段 AO 的中点（）求证：BD平面 ACF；（）若直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为 60，求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值20 （12 分）设函数 f（x）=e xax，a 是常数（）若 a=1，且曲线 y=f（x）的切线 l 经过坐标原点（0，0） ，求该切线的方程；（）讨论 f（x）的零点的个数21 （12 分）椭圆 E： + =1（ab0）的左右焦点分别为 F1、F 2，D 为
8、椭圆短轴上的一个顶点，DF 1 的延长线与椭圆相交于 GDGF 2 的周长为 8，|DF 1|=3|GF1|（）求椭圆 E 的方程；（）过椭圆 E 的左顶点 A 作椭圆 E 的两条互相垂直的弦 AB、AC，试问直线 BC 是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的正半轴重合，两坐标系单位长度相同已知曲线的极坐标方程为 =2cos+2sin，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （）将直线 l 的参数
9、方程化为普通方程，将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设曲线 C 上到直线 l 的距离为 d 的点的个数为 f（d ） ，求 f（d）的解析式选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）=|x+ |+|xa+1|（a 0 是常数） （）证明：f（x）1；（）若 f（3） ，求 a 的取值范围2017 年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2017江门一模）已知全集为 R，集合 M=1，0，1，3，N= x|x2x20，则M RN=（ ）A 1，0，1
10、 ，3 B 0，1，3 C 1，0，1 D0，1【分析】先求出 N，从而得到 CRN，由此能求出 M RN【解答】解：全集为 R，集合 M=1，0，1，3，N=x|x2x2 0=x|x1 或 x2 ，C RN=x|1 x2，M RN=0，1故选：D【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用2 （5 分） （2017江门一模）设 i 是虚数单位，若（ 2a+i） （1 2i）是纯虚数，则实数 a=（ ）A1 B1 C4 D 4【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解：（2a+i） （12i ）=2a+2+（1
11、4a）i 是纯虚数， ，解得 a=1故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分） （2017江门一模）已知一组数据 a、b 、9、10、11 的平均数为 10，方差为 2，则|ab|=（ ）A2 B4 C8 D12【分析】根据题意，可得 a+b=20，以及（a 10） 2+（b10） 2=8，；解可得 a、b 的值，计算可得|ab|的值，即可得答案【解答】解：一组数据 a、b、9、10、11 的平均数为 10，方差为 2，则有 a+b+9+10+11=50，即 a+b=20，（a10 ） 2+（b 10） 2+（9 10） 2+（1010） 2+（
12、1110） 2=2，即（a 10） 2+（b 10） 2=8，联立、可得： 或 ，则|a b|=4；故选：B【点评】本题考查数据方差、平均数的计算，关键是求出 a、b 的值4 （5 分） （2017江门一模）ABCD A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体，AC 1、BD 1 相交于 O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点 M，OM1 的概率 p=（ ）A B C D【分析】由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和球的体积可得【解答】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积 23=8，满足 OM1 的基本事件为 O 为球心 1 为半径的球内部在正方体中的部分，其体积为V=
13、 13= ，故概率 P= = 故选：A【点评】本题考查几何概型，涉及正方体和球的体积公式，属基础题5 （5 分） （2017江门一模） 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（ ）A2 B4+2 C4+4 D6+4【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 、斜边是 2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是 2，几何体的表面积 S= =6+4 ，故选：D【点评】本题考查三视图求几何体的表面积
14、，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力6 （5 分） （2017江门一模）等差数列中a n，a 1=2，公差为 d，则“d=4”是“a 1，a 2，a 5 成等比数列”的（ ）A充要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D非充分非必要条件【分析】由 a1，a 2，a 5 成等比数列，可得： =a1a5， （2+d） 2=2（2+4d） ，解得 d，即可判断出结论【解答】解：由 a1，a 2，a 5 成等比数列，可得： =a1a5，（2+d） 2=2（2+4d） ，解得d=0 或 4“d=4”是“a 1，a 2，a 5 成等比数列”的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查了等差
15、数列与等比数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7 （5 分） （2017江门一模）F 是抛物线 y2=4x 的焦点，P 、Q 是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（ ）A3 B4 C3 或 D3 或 4【分析】根据抛物线的性质将|PF|，|QF|转化为到准线的距离，求出 P，Q 的坐标，得出答案【解答】解：抛物线的准线方程为 x=1，|PF |=x1+1=2，|QF|=x 2+1=5x 1=1，x 2=4P（1，2） ，Q（4，4） ，|PQ|= = 或 =3故选：C【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题8 （5 分） （2017江门
16、一模）若的（x 2+a） （x ） 10 展开式中 x6 的系数为30，则常数 a=（ ）A 4 B3 C2 D3【分析】根据题意求出（x ） 10 展开式中含 x4 项、 x6 项的系数，得出（x 2+a） （x ） 10 的展开式中 x6 的系数，列出方程求出 a 的值【解答】解：（x ） 10 展开式的通项公式为：Tr+1= x10r =（ 1） r x102r；令 102r=4，解得 r=3，所以 x4 项的系数为 =120；令 102r=6，解得 r=2，所以 x6 项的系数为 =45；所以（x 2+a） （x ） 10 的展开式中 x6 的系数为：120+45a= 30，解得 a=
17、2故选：C【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题9 （5 分） （2017江门一模）四面体 ABCD 中BAC=BAD= CAD=60，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体 ABCD 的体积 V=（ ）A2 B2 C4 D4【分析】由题意画出图形，通过分割补形，求出 B 到底面 ACD 的距离，代入体积公式求解【解答】解：如图，在 AC 上取 E，使 AE=2，在 AD 上取 F，使 AF=2，连接 BE、BF、EF，则四面体 BAEF 为正四面体，过 B 作 BO平面 AEF，垂足为 O，连接 AO 并延长，交 EF 于 G，则 AG= ，AO=
18、，BO= = 故选：A【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题10 （5 分） （2010重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A直线 B椭圆 C抛物线 D双曲线【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为 x 轴，公垂线与 x 轴交点为原点，公垂线所在直线为 z 轴，过 x 且垂直于公垂线的平面为 xoy 平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得 z 的表达式，把 z=0 和 z=a 代入即可求得
19、 x 和 y 的关系，根据其方程判断轨迹【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为 x 轴，公垂线与 x 轴交点为原点，公垂线所在直线为 z 轴，过 x 且垂直于公垂线的平面为 xoy 平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是 y=0，z=0 和 x=0，z=a（a 是两异面直线公垂线长度，是个常数）空间内任意点设它的坐标是（x，y ，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即=两边平方，化简可得 z= （y 2x2+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是 z=0 和 z=a分别代入所得式子z=0 时代入可以得到 y2x2=a2，图形是个双曲线z=a 时代入
20、可以得到 y2x2=a2，图形也是个双曲线故选 D【点评】本题主要考查了双曲线的方程考查了学生分析归纳和推理的能力11 （5 分） （2017江门一模）函数 f（x）= sinxcosx+cos2x（ 0） （0）在区间， 的值域是 ， ，则常数 所有可能的值的个数是（ ）A0 B1 C2 D4【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin（x+ ）的形式，将内层函数看作整体，求出其范围，根据值域是 ， ，建立关系，讨论常数 所有可能的值【解答】解：函数 f（x） = sinxcosx+cos2x，化简可得：f（x）= =sin（2x+ ） ，x ， ，f （x） ， ，1 sin（2x+ ）0，则 ，
