1、第 1 页（共 27 页）2016 年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数 z 满足 z（li）= 1i，则 |z+1|=（ ）A0 B1 C D22已知 U=R，函数 y=ln（1x）的定义域为 M，集合 N=x|x2x0则下列结论正确的是（ ）AMN=N BM （ UN）= CMN=U DM（ UN）3已知 a，b 都是实数，那么“ ”是“lnalnb”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4设变量 x，y 满足 ，则 2x+3y
2、的最大值为（ ）A20 B35 C45 D555己知 x0= 是函数 f（x）=sin （2x+ ）的一个极大值点，则 f（x）的一个单调递减区间是（ ）A（ ， ） B（ ， ） C（ ，） D（ ，）6已知 F1，F 2 分别是双曲线 C： =1（a0，b0）的左右两个焦点，若在双曲线 C 上存在点 P 使F 1PF2=90，且满足 2PF1F2=PF2F1，那么双曲线 C 的离心率为（ ）A +1 B2 C D7某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责每次献爱心活动均需该组织 4位同学参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给 4 位同学，且所发信
3、息都能收到则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ）第 2 页（共 27 页）A B C D8已知 tanx= ，则 sin2（ +x）=（ ）A B C D9执行如图所示的程序框图，输出的 z 值为（ ）A3 B4 C5 D610某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A13 B16 C25 D2711给出下列函数：f（x）=xsinx ；f（x）=e x+x；f（x）=ln （ x）；a0，使 f（x）dx=0 的函数是（ ）A B C D第 3 页（共 27 页）12设直线 y=t 与曲线 C：y=x（x 3） 2 的三个交点分别为 A（a，t），B（
4、b，t ），C（c，t），且abc现给出如下结论：abc 的取值范围是（0，4）；a2+b2+c2 为定值；ca 有最小值无最大值其中正确结论的个数为（ ）A0 B1 C2 D3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13（ ） 5 的展开式的常数项为 （用数字作答）14已知向量 =（1，2）， =（1，0）， =（3，4），若 为实数，（ + ） ，则 的值为 15宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“茭草形段” 第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令落一形 埵（同垛）之问底子在 ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别是a、b、c，M 是 BC 的中点
5、，BM=2，AM=c b，ABC 面积的最大值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 an=3Sn2（nN *）（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列na n的前 n 项和 Tn18未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间某制造企业向 A 高校 3D 打印实验团队租用一台 3D 打印设
6、备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取 10 件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：m）（） 计算平均值 与标准差 ；第 4 页（共 27 页）（） 假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N（， 2），该团队到工厂安装调试后，试打了 5 个零件，度量其内径分别为（单位：m）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（2Z+2 ）=0.9544，P（3 Z +3）=0.9974，0.9544 3=0.87，0.9974 4=0.99，0.0456 2=0.0021
7、9如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C 丄侧面ABB1A1，AC=AA 1= AB，AA 1C1=60，ABAA 1，H 为棱 CC1 的中点，D 在棱 BB1 上，且A1D 丄平面 AB1H（）求证：D 为 BB1 的中点；（）求二面角 C1A1DA 的余弦值20已知椭圆： + =1（ab0）的一个顶点为 A（2，0），且焦距为 2，直线 l 交椭圆于E、F 两点（ E、F 与 A 点不重合），且满足 AEAF（）求椭圆的标准方程；（）O 为坐标原点，若点 P 满足 2 = + ，求直线 AP 的斜率的取值范围21设常数 0，a 0，函数 f（x）= alnx（1）当 a
8、= 时，若 f（x）最小值为 0，求 的值；（2）对任意给定的正实数 ，a，证明：存在实数 x0，当 xx 0 时，f（x）0第 5 页（共 27 页）选修 4-1：几何证明选讲22如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，BA、CD 的延长线交于点 P，且 AB=AD，BP=2BC（）求证：PD=2AB；（）当 BC=2，PC=5 时求 AB 的长选修 4-4：坐标系与参数方程选讲23已知直线 l 的方程为 y=x+4，圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标；（）若 P 为圆 C 上的动点求 P 到直线 l 的距
9、离 d 的最大值选修 4-5：不等式选讲24己知函数 f（x）=|x2|+a，g（x）=|x+4|，其中 aR（）解不等式 f（x）g（ x）+a；（）任意 xR，f（x）+g（ x）a 2 恒成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 27 页）2016 年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数 z 满足 z（li）= 1i，则 |z+1|=（ ）A0 B1 C D2【考点】复数求模【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数【分析】根据复数的运算性质计算即可【
10、解答】解：z（li）= 1i，z（1i）（ 1+i）=（1+i ） 2，2z=2i，z=i，z+1=1i，则|z+1|= ，故选：C【点评】本题考查了复数的化简与模的计算2已知 U=R，函数 y=ln（1x）的定义域为 M，集合 N=x|x2x0则下列结论正确的是（ ）AMN=N BM （ UN）= CMN=U DM（ UN）【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】转化思想；综合法；集合【分析】分别解出关于 M，N 的范围，然后判断即可【解答】解：由 1x0，解得： x1，第 7 页（共 27 页）故函数 y=ln（1 x）的定义域为 M=（ ，1），由 x2x 0，解得： 0x1，故集合 N
11、=x|x2x0=（0，1），MN=N，故选：A【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题3已知 a，b 都是实数，那么“ ”是“lnalnb”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；综合法；简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案【解答】解：lnalnb ab0 ，是必要条件，而 ，如 a=1，b=0 则 lnalnb 不成立，不是充分条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题4设变量 x，y 满足 ，则 2x
12、+3y 的最大值为（ ）A20 B35 C45 D55【考点】简单线性规划【专题】计算题【分析】先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数 z=2x+3y 取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：第 8 页（共 27 页）令 z=2x+3y 可得 y= ，则 为直线 2x+3yz=0 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线 l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点 D 时 2x+3y 最大，由 可得 x=5，y=15 ，此时 z=55故选 D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平
13、面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键5己知 x0= 是函数 f（x）=sin （2x+ ）的一个极大值点，则 f（x）的一个单调递减区间是（ ）A（ ， ） B（ ， ） C（ ，） D（ ，）【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】由极值点可得 = ，解 2k+ 2x 2k+ 可得函数 f（x）的单调递减区间，结合选项可得【解答】解：x 0= 是函数 f（x）=sin（2x+ ）的一个极大值点，sin（2 +）=1， 2 +=2k+ ，解得 =2k ，kZ，不妨取 = ，此时 f（x）=sin（2x ）第 9 页（共
14、27 页）令 2k+ 2x 2k+ 可得 k+ xk+ ，函数 f（x）的单调递减区间为（ k+ ，k+ ）k Z，结合选项可知当 k=0 时，函数的一个单调递减区间为（ ， ），故选：B【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题6已知 F1，F 2 分别是双曲线 C： =1（a0，b0）的左右两个焦点，若在双曲线 C 上存在点 P 使F 1PF2=90，且满足 2PF1F2=PF2F1，那么双曲线 C 的离心率为（ ）A +1 B2 C D【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知得F 1PF2=90，P
15、F 1F2=30，PF 2F1=60，设|PF 2|=x，则|PF 1|= ，|F 1F2|=2x，由此能求出双曲线 C 的离心率【解答】解：如图，F 1PF2=90，且满足 2PF1F2=PF2F1，F1PF2=90， PF1F2=30， PF2F1=60，设|PF 2|=x，则|PF 1|= ，|F 1F2|=2x，2a= ，2c=2x，双曲线 C 的离心率 e= = 故选：A第 10 页（共 27 页）【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用7某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责每次献爱心活动均需该组织 4位同学
16、参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给 4 位同学，且所发信息都能收到则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ）A B C D【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】设 A 表示“甲同学收到李老师所发活动信息 ”，设 B 表示“甲同学收到张老师所发活动信息” ，由题意 P（A） =P（B）= ，p（A+B ）=P（A）+P（B ）P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率【解答】解：设 A 表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设 B 表示“甲同学收到张老师所发活动信息” ，由题意 P
17、（A） = = ，P （B）= ，甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P （A）+P（B）P（A ）P（B ）= = 故选：C【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用第 11 页（共 27 页）8已知 tanx= ，则 sin2（ +x）=（ ）A B C D【考点】二倍角的正弦【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：tanx= ，则 sin2（ +x）= = = += + = + = ，故选：D【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系
18、，半角公式的应用，属于基础题9执行如图所示的程序框图，输出的 z 值为（ ）A3 B4 C5 D6【考点】程序框图【专题】操作型；算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量 a 值，并输出满足条件的累乘积关于 2 的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案【解答】解：执行循环体前，S=1，a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=120=20，a=1 ，第 12 页（共 27 页）当 S=2，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=12 1=21，a=2当
19、 S=21，a=2 ，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2 122=23，a=3当 S=23，a=3 ，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2 323=26，a=4当 S=26，a=4 ，满足退出循环的条件，则 z= =6故输出结果为 6故选：D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模10某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的
20、外接球的表面积是（ ）A13 B16 C25 D27【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为 4，高为 3则长方体的对角线为外接球的直径【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为 4，高为 3，长方体底面边长为 2则长方体外接球半径为 r，则 2r= =5 r= 长方体外接球的表面积 S=4r2=25故选 C第 13 页（共 27 页）【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题11给出下列函数：f（x）=xsinx ；f（x）=e x+x；f（x）=ln （ x）；a0，使
21、f（x）dx=0 的函数是（ ）A B C D【考点】特称命题【专题】对应思想；转化法；导数的综合应用；简易逻辑【分析】求出 f（x）dx 的积分，结合函数的图象得出存在 a0，使 f（x）dx=0 成立；求出 （e x+x）dx=0 时 a 的值，得出命题不成立；根据 f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为 0，满足条件【解答】解：对于，f（x）=xsinx，（ sinxxcosx）=xsinx ， xsinxdx=（sinx xcosx） =2sina2acosa，令 2sina2acosa=0，sina=acosa，又 cosa0， tana=a；画出函数 y
22、=tanx 与 y=x 的部分图象，如图所示；第 14 页（共 27 页）在（0， ）内，两函数的图象有交点，即存在 a0，使 f（x）dx=0 成立， 满足条件；对于，f（x）=e x+x， （e x+x）dx=（e x+ x2） =eaea；令 eaea=0，解得 a=0，不满足条件；对于，f（x）=ln（ x）是定义域 R 上的奇函数，且积分的上下限互为相反数，所以定积分值为 0，满足条件；综上， a0，使 f（x）dx=0 的函数是 故选：B【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为 0，是综合性题目12设直线 y=t 与曲线 C：y=
23、x（x 3） 2 的三个交点分别为 A（a，t），B（b，t ），C（c，t），且abc现给出如下结论：abc 的取值范围是（0，4）；a2+b2+c2 为定值；ca 有最小值无最大值其中正确结论的个数为（ ）A0 B1 C2 D3【考点】函数的图象【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】作出 f（x）=x（x 3） 2 的函数图象，判断 t 的范围，根据 f（x）的变化率判断 ca 的变化情况，构造函数 g（x）=x（x3） 2t，根据根与系数的关系得出 abc，a 2+b2+c2，c a 的值进行判断【解答】解：令 f（x）=x（x 3） 2=x36x2+9x，f （x）=3
24、x 212x+9，令 f（x）=0 得 x=1 或 x=3当 x1 或 x3 时，f（x）0，当 1x3 时，f （x）0第 15 页（共 27 页）f（ x）在（，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+）上是增函数，当 x=1 时，f （x）取得极大值 f（1）=4，当 x=3 时，f （ x）取得极小值 f（3）=0作出函数 f（x）的图象如图所示：直线 y=t 与曲线 C：y=x （x 3） 2 有三个交点， 0t 4 令 g（x）=x（x 3） 2t=x36x2+9xt，则 a，b，c 是 g（x）的三个实根abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9 ，a2+b2+c
25、2=（a+b+c） 22（ab+bc+ac）=18由函数图象可知 f（x）在（0 ，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，ca 的值先增大后减小，故 ca 存在最大值，不存在最小值故，正确，故选：C【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13（ ） 5 的展开式的常数项为 10 （用数字作答）【考点】二项式系数的性质【专题】计算题；二项式定理【分析】在（ ） 5 展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于零，求出 r 的值，即可求出展开式的常数项第 16 页（共 27 页
26、）【解答】解：由于（ ） 5 展开式的通项公式为 Tr+1= （ 1） r ，令 155r=0，解得 r=3，故展开式的常数项是 10，故答案为：10 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14已知向量 =（1，2）， =（1，0）， =（3，4），若 为实数，（ + ） ，则 的值为 【考点】平面向量数量积的运算【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用【分析】求出 + 和 的坐标，根据向量垂直列出方程解出 【解答】解： + =（1+，2）， （ + ） ， （ + ） =0，即 3（1+）+8 =0，解得= 故答案为 【点评】本题考查了平
27、面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题15宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“茭草形段” 第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令落一形 埵（同垛）之问底子在 ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别是a、b、c，M 是 BC 的中点，BM=2，AM=c b，ABC 面积的最大值为 2 【考点】余弦定理【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形【分析】在ABM 和ABC 中分别使用余弦定理得出 bc 的关系，求出 cosA，sinA，代入面积公式求出最大值【解答】解：在ABM 中，由余弦定理得：cosB= = 第 17 页（共 27 页）在ABC 中，由余弦定理得：
28、cosB= = = 即 b2+c2=4bc8cosA= = ，sinA= = S= sinA= bc = 当 bc=8 时，S 取得最大值 2 故答案为 2 【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出 bc 的关系是解题关键三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 an=3Sn2（nN *）（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列na n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）通过 an=3Sn2 与 an1=
29、3Sn12（n2）作差、整理可知 an= an1（n2），进而可知数列a n是首项为 1、公比为 的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知 nan=（1） n1 ，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（1）a n=3Sn2，an1=3Sn12（n 2），两式相减得：a nan1=3an，第 18 页（共 27 页）整理得：a n= an1（n2），又 a1=3S12，即 a1=1，数列 an是首项为 1、公比为 的等比数列，其通项公式 an=（ 1） n1 ；（2）由（1）可知 nan=（1） n1 ，Tn=11+（1） 2 +（1） n2（n1） +（1） n1 ， Tn=1（
30、1） +2 +（1） n1（n 1） +（1） nn ，错位相减得： Tn=1+ + +（1） n1 （1） nn=1+ （ 1） nn= +（1） n1 ，Tn= +（1） n1 = +（1） n1 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题18未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间某制造企业向 A 高校 3D
31、 打印实验团队租用一台 3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零第 19 页（共 27 页）件该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取 10 件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：m）（） 计算平均值 与标准差 ；（） 假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N（， 2），该团队到工厂安装调试后，试打了 5 个零件，度量其内径分别为（单位：m）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（2Z+2 ）=0.9544，P（3 Z +3）=0.9974，0.9544 3=0.87，0.9974 4=0
32、.99，0.0456 2=0.002【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；茎叶图【专题】转化思想；综合法；概率与统计【分析】（I）利用平均值与标准差的计算公式即可得出 ，；（II）假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N（105，6 2），分别计算出满足满足 2 的概率及其 3 的概率，即可得出【解答】解：（I）平均值 =100+ =105标准差 = =6（II）假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N（105，6 2），P（ 2Z +2）=P （93 Z117）=0.9544，可知：落在区间（ 93，117）的数据有 3 个：95、10
33、3、109，因此满足 2 的概率为：0.954430.045620.0017P（ 3Z+3）=P（87Z 123）=0.9974 ，可知：落在区间（87，123）的数据有 4 个：95、103、109、118，因此满足 3 的概率为：0.997440.00260.0026由以上可知：此打印设备不需要进一步调试【点评】本题考查了茎叶图、平均值与标准差、正态分布，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 20 页（共 27 页）19如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C 丄侧面ABB1A1，AC=AA 1= AB，AA 1C1=60，ABAA 1，H 为棱 CC1 的中点，D 在棱
34、 BB1 上，且A1D 丄平面 AB1H（）求证：D 为 BB1 的中点；（）求二面角 C1A1DA 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明 D 为BB1 的中点；（）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角 C1A1DA 的余弦值【解答】（）证明：连接 AC1，AC=AA1，AA 1C1=60，三角形 ACC1 是正三角形，H 是 CC1 的中点，AHCC1，从而 AHAA1，侧面 AA1C1C 丄侧面 ABB1A1，面 AA1C1C侧面 ABB1A1=AA1，AH
35、平面 AA1C1C，AHABB1A1，以 A 为原点，建立空间直角坐标系如图，设 AB= ，则 AA1=2，则 A（0，2，0），B 1（ ，2，0），D（ ，t ，0），则 =（ ，2，0）， =（ ，t2，0），A1D 丄平面 AB1HAB 1丄平面 AB1HA1D 丄 AB1，第 21 页（共 27 页）则 =（ ，2，0）（ ，t 2，0）=2+2（t 2）=2t 2=0，得 t=1，即 D（ ，1，0），D 为 BB1 的中点；（2）C 1（0，1， ）， =（ ， 1，0）， =（0，1， ），设平面 C1A1D 的法向量为 =（x，y，z），则由 = xy=0）， =y+ z=0
36、，得 ，令 x=3，则 y=3 ，z= ， =（3，3 ， ），显然平面 A1DA 的法向量为 = =（0，0， ），则 cos ， = = = ，即二面角 C1A1DA 的余弦值是 【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法综合性较强，运算量较大20已知椭圆： + =1（ab0）的一个顶点为 A（2，0），且焦距为 2，直线 l 交椭圆于E、F 两点（ E、F 与 A 点不重合），且满足 AEAF（）求椭圆的标准方程；（）O 为坐标原点，若点 P 满足 2 = + ，求直线 AP 的斜率的取值范围第 22 页
37、（共 27 页）【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意可得 a=2，c=1，由 a，b，c 的关系可得 b，进而得到椭圆方程；（）设直线 AE 的方程为 y=k（x 2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得 E 的坐标，由两直线垂直可得 F 的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围【解答】解：（）由题意可得 a=2，2c=2，即 c=1，b= = ，则椭圆的标准方程为 + =1；（）设直线 AE 的方程为 y=k（x 2），代入椭圆方程，可得（3+4k 2）x 216k2x+16
38、k212=0，由 2+xE= ，可得 xE= ，yE=k（x E2）= ，由于 AEAF，只要将上式的 k 换为 ，可得 xF= ，y F= ，由 2 = + ，可得 P 为 EF 的中点，即有 P（ ， ），则直线 AP 的斜率为 t= = ，当 k=0 时，t=0；当 k0 时，t= ，第 23 页（共 27 页）再令 s= k，可得 t= ，当 s=0 时，t=0；当 s0 时，t= = ，当且仅当 4s= 时，取得最大值；当 s0 时，t= ，综上可得直线 AP 的斜率的取值范围是 ， 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求
39、法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题21设常数 0，a 0，函数 f（x）= alnx（1）当 a= 时，若 f（x）最小值为 0，求 的值；（2）对任意给定的正实数 ，a，证明：存在实数 x0，当 xx 0 时，f（x）0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；导数的概念及应用【分析】（1）当 a= 时，函数 f（x）= （x0）f （x）=，分别解出 f（x）0，f（x）0，研究其单调性，即可得出最小值（2）函数 f（x）=x alnxx alnx令 u（x）=x alnx利用导数研究其单调性即可得出【解答
40、】（1）解：当 a= 时，函数 f（x）= alnx= （x0）第 24 页（共 27 页）f（x）= = ，0， x0， 4x2+9x+320，4x（+x） 20当 x 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增；当 0x 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减当 x= 时，函数 f（x）取得极小值，即最小值，f（ ）= =0，解得 = （2）证明：函数 f（x）= alnx= alnx=x alnxx alnx令 u（x）=x alnxu（x）=1 = ，可知：当 xa 时，u（x）0，函数 u（x）单调递增，x+，u（x）+一定存在 x00，使得当 xx 0 时，u（x 0）0，存在
41、实数 x0，当 xx 0 时，f （x）u（x）u（x 0）0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题选修 4-1：几何证明选讲22如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，BA、CD 的延长线交于点 P，且 AB=AD，BP=2BC（）求证：PD=2AB；（）当 BC=2，PC=5 时求 AB 的长【考点】与圆有关的比例线段【专题】选作题；方程思想；综合法；推理和证明【分析】（）证明：APDCPB ，利用 AB=AD，BP=2BC，证明 PD=2AB；第 25 页（共 27 页）（）利用割线定理求 AB 的
42、长【解答】（）证明：四边形 ABCD 是圆内接四边形，PAD=PCB，APD=CPB，APDCPB， = ，BP=2BCPD=2AD，AB=AD，PD=2AB；（）解：由题意，BP=2BC=4，设 AB=t，由割线定理得 PDPC=PAPB，2t5=（ 4t）4t= ，即 AB= 【点评】本题考查三角形相似的判断，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题选修 4-4：坐标系与参数方程选讲23已知直线 l 的方程为 y=x+4，圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标；（）若 P 为圆 C 上的动点求 P
43、 到直线 l 的距离 d 的最大值【考点】参数方程化成普通方程【专题】选作题；转化思想；消元法；坐标系和参数方程【分析】（I）由圆 C 的参数方程为 （ 为参数），利用 cos2+sin2=1 化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用 可得极坐标第 26 页（共 27 页）（II）圆心（0，2）到直线 l 的距离为 d1，可得 P 到直线 l 的距离 d 的最大值为 d1+r【解答】解：（I）由圆 C 的参数方程为 （ 为参数），利用 cos2+sin2=1 化为：x2+（y 2） 2=4，联立 ，解得 或 可得极坐标分别为： ， （II）圆心（0，2）到直线 l 的距离 = ，P 到直
44、线 l 的距离 d 的最大值为 +r= +2【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲24己知函数 f（x）=|x2|+a，g（x）=|x+4|，其中 aR（）解不等式 f（x）g（ x）+a；（）任意 xR，f（x）+g（ x）a 2 恒成立，求 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（）问题转化为解不等式|x 2|x+4|，两边平方，解出即可；（）f（x）+g（x）a 2 可化为 a2a|x 2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x 2|+|x+4|的最小值，从而求出 a 的范围【解答】解：（）不等式 f（x）g（x）+a 即|x2| |x+4|，两边平方得：x 24x+4x 2+8x+16，解得：x 1，原不等式的解集是（ 1，+）；（）f（x）+g（x）a 2 可化为 a2a|x 2|+|x+4|，又|x 2|+|x+4|（x 2）（x+4）|=6，第 27 页（共 27 页）a2a6，解得：2a3，a 的范围是（2，3）【点评】本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题
