1、2016 年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x2160，B= 5，0，1，则（ ）AAB= BBA CAB=0，1 DA B2 （5 分）如图，在复平面内，复数 z1 和 z2 对应的点分别是 A 和 B，则 =（ ）A + i B + i C i D i3 （5 分）在等差数列a n中，a 7=8，前 7 项和 S7=42，则其公差是（ ）A B C D4 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A2 B C3 D
2、15 （5 分）已知 =（ 3，2） ， =（1，0） ，向量 + 与 2 垂直，则实数 的值为（ ）A B C D6 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为 98，则判断框内可填入的条件为（ ）An4？ Bn5？ Cn6？ Dn7？7 （5 分）函数 f（x）= xsinx 的图象是（ ）A B C D8 （5 分）如图所示，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABC 为正三角形，PA=AB，E 是 PC 的中点，则异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为（ ）A B C D9 （5 分）已知函数 f（x）=|log 4x|，正实数 m，n 满足 mn，且 f（m ）=f（n）
3、 ，若 f（x）在区间m 2，n上的最大值为 2，则 m，n 的值分别为（ ）A ，2 B ，4 C ，2 D ，410 （5 分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（ ）A B4 C2 D11 （5 分）已知椭圆： ，左右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B两点，若 的最大值为 5，则 b 的值是（ ）A1 B C D12 （5 分）函数 y=f（x）为定义在 R 上的减函数，函数 y=f（x 1）的图象关于点（1，0）对称，x，y 满足不等式 f（x 22x）+f（2yy 2）0，M（1，2） ，N（x，y） ，O
4、 为坐标原点，则当 1x4 时， 的取值范围为（ ）A12，+ B0，3 C3，12 D0，12二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如表对应数据（单位：百万元） x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =6.5x+17.5，则表中 t 的值为 14 （5 分）过原点的直线与双曲线 =1（a0，b 0）交于 M，N 两点，P 是双曲线上异于 M，N的一点，若直线 MP 与直线 NP 的斜率都存在且乘积为 ，则双曲线的离心率为 15 （5 分
5、）已知函数 f（x） = （xR） ，正项等比数列a n满足 a50=1，则 f（lna 1）+f（lna 2）+f（lna 99）等于 16 （5 分）ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，下列命题正确的是 （写出正确命题的编号） 总存在某内角 ，使 cos ；若 AsinBBsinA，则 B A；存在某钝角ABC，有 tanA+tanB+tanC0；若 2a +b +c = ，则ABC 的最小角小于 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知函数 f（x） =2 sinxcosx2cos2x+1（1）求
6、函数 f（x）的最小正周期；（2）在ABC 中，若 f（ ）=2，边 AC=1，AB=2，求边 BC 的长及 sinB 的值18 （12 分）某学校高三年级有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成 5 组：100，110） ，110，120） ，120，130） ，130，140） ，140，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人，求两人恰好
7、为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于 130 分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关 ”？P（K 2k0）0.100 0.050 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.828附：K 2= 19 （12 分）如图甲，圆 O 的直径 AB=2，圆上两点 C，D 在直径 AB 的两侧，使CAB= ，DAB=，沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙） ，F 为 BC 的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点 B 到平面 ACD 的距离；（2）如图：若DOB 的平分线交 于一
8、点 G，试判断 FG 是否与平面 ACD 平行？并说明理由20 （12 分）已知椭圆 C： （a b0）过点 A（2，0） ，离心率为 （）求椭圆 C 的方程；（）过点 B（1，0）且斜率为 k（k0） ）的直线 l 与椭圆 C 相交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别交直线 x=3 于 M， N 两点，线段 MN 的中点为 P记直线 PB 的斜率为 k，求证：kk为定值21 （12 分）已知函数 f（x） =x alnx（a R） （1）当 a0 时，讨论 f（x）的单调区间；（2）设 g（x）=f（x）+2alnx，且 g（x）有两个极值点为 x1，x 2，其中 x1（0，e，求 g（
9、x 1）g（x 2）的最小值四、请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修 4-1：几何证明选讲】22 （10 分）如图，AB 是O 的一条切线，切点为 B，直线 ADE、CFD、CGE 都是O 的割线，已知AC=AB（1）若 CG=1，CD=4 求 的值（2）求证：FGAC 【选修 4-4：坐标系与参数方程 】23已知平面直角坐标系 xOy，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的极坐标为（2， ） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程；（2）若 Q 为曲线 C 上的动
10、点，求 PQ 中点 M 到直线 l：cos+2 sin+1=0 的距离的最小值选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）=|x 1|（1）解不等式 f（x）+f（x+4）8；（2）若|a|1，|b|1，且 a0，求证：f（ab）|a |f（ ） 2016 年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2016 吉林校级模拟）已知集合 A=x|x216 0，B= 5，0，1，则（ ）AAB= BBA CAB=0，1 DA B【分析】根据集合
11、的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x 2160=x|4x4，B= 5，0， 1，则 AB=0，1，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2 （5 分） （2016 衡阳一模）如图，在复平面内，复数 z1 和 z2 对应的点分别是 A 和 B，则 =（ ）A + i B + i C i D i【分析】由图形可得：z 1=2i，z 2=i再利用复数的运算法则即可得出【解答】解：由图形可得：z 1=2i，z 2=i = = = = i，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义，考查了计算能力，属于基础题3 （5 分） （2015 唐山二模）在等差数列a n中，a
12、 7=8，前 7 项和 S7=42，则其公差是（ ）A B C D【分析】由通项公式和求和公式可得 a1 和 d 的方程组，解方程组可得【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 7=8，前 7 项和 S7=42，a 1+6d=8，7a 1+ d=42，解得 a1=4，d=故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题4 （5 分） （2016 长沙校级一模）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A2 B C3 D1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到点 D
13、（0，1）的斜率，由图象知 AD 的斜率最大，由 ，得 ，即 A（1，3） ，此时 的最大值为 ，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率公式以及数形结合是解决本题的关键5 （5 分） （2016 长沙校级一模）已知 =（3，2） ， =（ 1，0） ，向量 + 与 2 垂直，则实数 的值为（ ）A B C D【分析】根据两向量垂直，数量积为 0，列出方程求出 的值即可【解答】解： =（ 3，2） ， =（1，0） ， =13， =1， =3；又向量 + 与 2 垂直，（ + ）（ 2 ）= +（1 2） 2 =0，即 13+3（12） 2=0，解得 = 故选：B【点评】本题考
14、查了平面向量的垂直与坐标运算问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，是基础题目6 （5 分） （2016 长沙校级一模）执行如图所示的程序框图，输出的结果为 98，则判断框内可填入的条件为（ ）An4？ Bn5？ Cn6？ Dn7？【分析】模拟执行程序框图，依次得到 s，n 的值，当 n=5 时，由题意满足条件，退出循环，输出 s 的值为98，从而可得判断框内可填入的条件【解答】解：模拟执行程序框图，可得：s=0，n=1执行循环体，s=2，n=2不满足条件，执行循环体，s=10，n=3不满足条件，执行循环体，s=34，n=4不满足条件，执行循环体，s=98，n=5此时，由题意，满足条件，退出
15、循环，输出 s 的值为 98，则判断框内可填入的条件为：n4？故选：A【点评】本题考查循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由 n 的变化规律得出退出循环的条件，本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结，属于基础题7 （5 分） （2015 宿州三模）函数 f（x）= xsinx 的图象是（ ）A B C D【分析】先根据函数的奇偶性排除 B，D，再根据特殊值排除 C，问题得以解决【解答】解：f（x）= x+sinx=（ xsinx）=f（x） ，f（x）为奇函数，即图象关于原点对称，排除 B，D ，当 x= 时，f（ ）= 10，故排除 C，故选
16、：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键求出函数的奇偶性，以及利用特殊值，属于基础题8 （5 分） （2016 长沙校级一模）如图所示，三棱锥 PABC 中，PA 平面 ABC，ABC 为正三角形，PA=AB，E 是 PC 的中点，则异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，得到AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成角，由此能求出异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值【解答】解：取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，则 EFPB，AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成角，ABC 为正三角形，BAC
17、=60设 PA=AB=2a，PA平面 ABC， ， 异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养9 （5 分） （2016 长沙校级一模）已知函数 f（x）=|log 4x|，正实数 m，n 满足 mn，且 f（m）=f（n） ，若 f（x）在区间m 2，n上的最大值为 2，则 m，n 的值分别为（ ）A ，2 B ，4 C ，2 D ，4【分析】由题意和对数函数的性质得 m1n、log 4m0、log 4n0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，
18、求出 m、n 的值【解答】解：函数 f（x）=|log 4x|，正实数 m，n 满足 mn，且 f（m ）=f（n） ，m1n，log 4m0，log 4n0，则log 4m=log4n， ，得 mn=1，f（x）在区间m 2，n上的最大值为 2，f（x）在区间 上的最大值为 2， ，则 log4m=1，解得 ，故选 B【点评】本题考查了对数函数的性质，以及对数的运算性质，属于基础题10 （5 分） （2016 长沙校级一模）已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（ ）A B4 C2 D【分析】作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征和球的性质找出球心位置计算球的半径【解答】解：根据三视图作出棱锥 DABC 的直观图，其中底面 ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC底面 ABC，DC= ，取 AB 中点 E，过 E 作 EH 底面 ABC，且 HE= = 连结 AH，则 H 为三棱锥外接球的球心AH为外接球的半径
