1、2017 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，B=x|x 2x6=0，则 AB=（ ）A1 B2 C3 D2，32 （5 分）复数 3i（1+i）的实部和虚部分别为（ ）A3 ，3 B3，3 C3，3i D 3，3i3 （5 分）y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ）A B C2 D4 （5 分）椭圆 E 的焦点在 x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是 2 的正方形的顶点，则椭圆 E 的标准
2、方程为（ ）A B C D5 （5 分）已知函数 ，则（ ）Ax 0R，使得 f（x）0Bx （0， +） ，f（x）0C x1，x 20，+） ，使得Dx 10，+） ，x 20，+）使得 f（x 1）f （x 2）6 （5 分）如图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为 2 的半圆，俯视图是直径为 2 的圆，则该几何体的表面积为（ ）A3 B4 C5 D127 （5 分） 九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246 个问题及其解法，其中一个问题为“ 现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为 3升，下面三节的容积之和为 4 升，求中间两节的容积各
3、为多少？”该问题中第 2 节，第 3 节，第 8 节竹子的容积之和为（ ）A 升 B 升 C 升 D 升8 （5 分）某同学为实现“给定正整数 N，求最小的正整数 i，使得 7iN， ”设计程序框图如右，则判断框中可填入（ ）Ax N BxN CxN DxN9 （5 分）若 1log 2（x y+1）2，|x3|1，则 x2y 的最大值与最小值之和是（ ）A0 B2 C2 D610 （5 分）函数 y=ln|x|x2 的图象大致为（ ）A B C D11 （5 分）在ABC 中， C= ，AB=3 ，则ABC 的周长为（ ）A B C D12 （5 分）A 、F 分别是双曲线 的左顶点和右焦点
4、，A、F 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为 B、Q，O 为坐标原点， ABO 与FQO 的面积之比为 ，则该双曲线的离心率为（ ）A2 B C D二、填空题（每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）等比数列a n的公比为 ，则 ln（a 2017） 2ln（a 2016） 2= 14 （5 分）空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级，050 为优；51100 为良；101150 为轻度污染；151200 为中度污染； 201300 为重度污染；大于 300 为严重污染一环保人
5、士当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取 10 个，用茎叶图记录如图根据该统计数据，估计此地该年 AQI大于 100 的天数约为为 （该年为 365 天）15 （5 分）化简： = 16 （5 分）矩形 ABCD 中，AB=3 ，AD=2 ，P 矩形内部一点，且 AP=1，若 =x +y ，则3x+2y 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （12 分）已知数列a n为等差数列，其中 a2+a3=8，a 5=3a2（1）求数列a n的通项公式；（2）记 ，设b n的前 n 项和为 Sn求最小的正整数 n，使得 18 （12 分
6、）某研究型学习小组调查研究”中学生使用智能手机对学习的影响”部分统计数据如表：使用智能手机人数 不使用智能手机人数 合计学习成绩优秀人数 4 8 12学习成绩不优秀人数 16 2 18合计 20 10 30参考数据：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式： ，其中 n=a+b+c+d（）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响？（）研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的 4 位同学记为 A 组，
7、不使用智能手机且成绩优秀的 8 位同学记为 B 组，计划从 A 组推选的 2 人和 B 组推选的 3 人中，随机挑选两人在学校升旗仪式上作“ 国旗下讲话” 分享学习经验求挑选的两人恰好分别来自 A、B 两组的概率19 （12 分）如图，以 A、B 、C、D、E 为顶点的六面体中，ABC 和ABD 均为等边三角形，且平面 ABC平面 ABD， EC平面 ABC，EC= ， AB=2（）求证：DE平面 ABC；（）求此六面体的体积20 （12 分）已知 A（0 ，2）的动圆恒与 x 轴相切，设切点为 B，AC 是该圆的直径（）求 C 点轨迹 E 的方程；（）当 AC 不在轴上时，设直线 AC 与曲
8、线 E 交于另一点 P，该曲线在 P 处的切线与直线 BC交于 Q 点求证： PQC 恒为直角三角形21 （12 分）已知函数 ，a 为实常数（1）设 F（x）=f（x）g（x） ，当 a0 时，求函数 F（x）的单调区间；（2）当 a=e 时，直线 x=m、x=n（m0，n0）与函数 f（x ） 、g （x ）的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形求证：（m1） （n1）0请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程（共 1 小题，满分 10 分）22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1
9、的参数方程为 ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线 C2 的方程为 （cosmsin）+1=0（m 为常数）（1）求曲线 C1，C 2 的直角坐标方程；（2）设 P 点是 C1 上到 x 轴距离最小的点，当 C2 过点 P 时，求 m 的值选修 4-5：不等式选讲（共 1 小题，满分 10 分）23 （10 分）已知 f（x）=|x a|+|x3|（1）当 a=1 时，求 f（x）的最小值；（2）若不等式 f（x）3 的解集非空，求 a 的取值范围2017 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共
10、60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2017长沙一模）已知集合 A=1，2， 3，B=x|x 2x6=0，则 AB=（ ）A1 B2 C3 D2，3【分析】求解一元二次方程化简 B，再由交集运算得答案【解答】解：A=1，2，3，B=x|x2x6=0=2，3，AB=1，2，32，3= 3故选：C【点评】本题考查交集及其运算，考查了一元二次方程的解法，是基础题2 （5 分） （2017长沙一模）复数 3i（1+i ）的实部和虚部分别为（ ）A3 ，3 B3，3 C3，3i D 3，3i【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案【解答】解：3i（1+i）=3
11、+3i，复数 3i（1+i）的实部和虚部分别为 3，3故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （5 分） （2017长沙一模）y=cos （x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ）A B C2 D【分析】y=cos（x+1）的周期是 2，最大值为 1，最小值为 1，即可求出 y=cos（x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离【解答】解：y=cos（x+1 ）的周期是 2，最大值为 1，最小值为1，y=cos （x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是 = ，故选：A【点评】本题考查了函数 y=Acos（x+）的图象与性质的应
12、用问题，是基础题4 （5 分） （2017长沙一模）椭圆 E 的焦点在 x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是 2 的正方形的顶点，则椭圆 E 的标准方程为（ ）A B C D【分析】用正方形的正方形边长为 2，得|AF 1|=|AF2|=a=2，|F 1F2|=2 ，c=b 即可【解答】解：设左右焦点为 F1、F 2，上顶点为 A，正方形边长=2 ，|AF 1|=|AF2|=a=2，|F 1F2|=2 ，c=b= ，则椭圆 E 的标准方程为： 故选：C【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，属于基础题5 （5 分） （2017长沙一模）已知函数 ，则（ ）Ax 0
13、R，使得 f（x）0Bx （0， +） ，f（x）0C x1，x 20，+） ，使得Dx 10，+） ，x 20，+）使得 f（x 1）f （x 2）【分析】函数 的值域为0，+） ，是增函数，由此能求出结果【解答】解：由函数 ，知：在 A 中，f（ x）0 恒成立，故 A 错误；在 B 中，x（0，+） ，f （x）0，故 B 正确；在 C 中， x1，x 20，+） ，使得 0，故 C 错误；在 D 中，当 x1=0 时，不存在 x20，+）使得 f（x 1）f（x 2） ，故 D 不成立故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用6 （5
14、分） （2017长沙一模）如图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为 2 的半圆，俯视图是直径为 2 的圆，则该几何体的表面积为（ ）A3 B4 C5 D12【分析】由三视图可知：该几何体是一个直径为 2 的半球即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个直径为 2 的半球该几何体的表面积= =3故选：A【点评】本题考查了球的三视图、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7 （5 分） （2017长沙一模） 九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246 个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为 3 升
15、，下面三节的容积之和为 4 升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第 2 节，第 3 节，第 8 节竹子的容积之和为（ ）A 升 B 升 C 升 D 升【分析】自上而下依次设各节容积为：a 1、a 2、a 9，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案【解答】解：自上而下依次设各节容积为：a 1、a 2、a 9，由题意得， ，即 ，得 ，所以 a2+a3+a8= （升） ，故选：A【点评】本题考查了等差数列的性质的灵活应用，以及方程思想，属于基础题8 （5 分） （2017长沙一模）某同学为实现“ 给定正整数 N，求最小的正整数 i，使得 7iN， ”设计程序框图如右，则判断框中可填
16、入（ ）Ax N BxN CxN DxN【分析】模拟执行程序框图结合程序框图的功能即可得解【解答】解：由于程序框图的功能是给定正整数 N，求最小的正整数 i，使得 7iN，故 xN 时，执行循环体，当 xN 时，退出循环故选：C【点评】本题主要考查了程序框图的应用，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属基础题9 （5 分） （2017长沙一模）若 1log 2（xy+1）2，|x3|1，则 x2y 的最大值与最小值之和是（ ）A0 B2 C2 D6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 1log 2（x y+1）2，|x3|1，作出可行域如图，1log 2（xy+ 1）2 ，可得 1xy3由 ，解得 B（2，1） 由 ，解得 A（4，3） ，化目标函数 z=x2y 为 y= x z，由图可知，当直线 y= x z 过 B（2，1）与 A（4，3）时，目标函数取得最值，z 有最小值为：423=2，最大值为：2+ 21=4，最大值与最小值之和为：2故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10 （5 分） （2017荆州模拟）函数 y=ln|x|x2 的图象大致为（ ）
