1、第 1 页（共 30 页）2018 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 设复数 z1，z 2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i，则 z1z2=（ ）A2 B2 C1+i D1 i2 设全集 U=R，函数 f（x）=lg（|x +1|1）的定义域为 A，集合 B=x|sinx=0，则（ UA）B 的子集个数为（ ）A7 B3 C8 D93 函数 f（x）=sin（x +） （0，0 ）的图象中相邻对称轴的距离为，若角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）A B C
2、2 D4 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m，n 分别是（ ）第 2 页（共 30 页）Am=38，n=12 Bm=26，n=12 Cm=12，n=12 Dm=24，n=105 设不等式组 表示的平面区域为 1，不等式（x+2） 2+（y 2） 22 表示的平面区域为 2，对于 1 中的任意一点 M 和 2 中的任意一点 N，|MN|的最小值为（ ）A B C D6 若函数 f（x）= 的图象如图所示，则 m 的范围为（ ）A （ ，1 ） B （1，2） C （0，2） D （1，2）7 某多面
3、体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A11 B C D8 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S20140 ，S 20150，对任意正整数 n，都有|a n|a k|，则 k 的值为（ ）A1006 B1007 C1008 D10099 已知非零向量 ， ， 满足| |=| |=4， （ ）（ ）=0，若对每一个第 3 页（共 30 页）确定的 ，| |的最大值和最小值分别为 m，n ，则 mn 的值为（ ）A随 增大而增大 B随 增大而减小C是 2 D是 410 已知如图所示的三棱锥 DABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，ABC 和DBC 所在平面相互垂直
4、，AB=3 ，AC= ，BC=CD=BD=2 ，则球 O 的表面积为（ ）A4 B12 C16 D3611 已知双曲线 C： （a 0，b 0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若PAQ=60 ，且，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D12 已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x0，1，总存在唯一的y1， 1，使得 x+y2eya=0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A1 ，e B C （1，e D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 已知 a0 ， 展开式的常数项为 15，则 = 14 设
5、 a，bR，关于 x，y 的不等式|x |+|y|1 和 ax+4by8 无公共解，则ab 的取值范围是 15 正项数列 an的前 n 项和为 Sn，且 （nN*） ，设第 4 页（共 30 页），则数列c n的前 2016 项的和为 16 已知 F 是椭圆 C： + =1 的右焦点，P 是 C 上一点，A （ 2，1） ，当APF 周长最小时，其面积为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12.00 分） ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，且 ，AB=3 （）求 AD 的长；（）求 cosC18 （12.00 分）如图，在多面
6、体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，ADE，BCF 均为等边三角形， EFAB ，EF=AD= AB（1）过 BD 作截面与线段 FC 交于点 N，使得 AF平面 BDN，试确定点 N 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值19 （12.00 分） 2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾，5.6 万人紧急转移安置， 288 间房屋倒塌，46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假
7、，小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成0，2000， （2000，4000，第 5 页（共 30 页）（4000，6000， （6000 ， 8000， （8000，10000五组，并作出如下频率分布直方图：（）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款现从损失超过 4000 元的居民中随机抽出 2 户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000 元的居民为 户，求的分布列和数学期望；（）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如
8、表，根据表格中所给数据，分别求b，c， a+b，c+d，a+c ，b+d，a+b +c+d 的值，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元合计捐款超过500 元a=30 b捐款不超过 500 元c d=6合计P（K 2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：临界值表参考公式：， 第 6 页（共 30 页）20 （12.00 分）已知抛物线 C 的顶
9、点为原点，其焦点 F（0，c ） （c0）到直线l：xy2=0 的距离为 ，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线PA，PB，其中 A，B 为切点（1）求抛物线 C 的方程；（2）当点 P（x 0，y 0）为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；（3）当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF| |BF|的最小值21 （12.00 分）已知函数 f（x）= +bex，点 M（0 ，1）在曲线 y=f（x ）上，且曲线在点 M 处的切线与直线 2xy=0 垂直（1）求 a，b 的值；（2）如果当 x0 时，都有 f（x） +kex，求 k 的取值范围请考生在 22、2
10、3 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10.00 分）选修 44；坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程是 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 =2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B ，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ） （1）求点 A，B，C ，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1 上任意一点，求 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23设 f（x） =|x|2x1|，记 f（x ） 1 的
11、解集为 M（1）求集合 M；（2）已知 aM，比较 a2a+1 与 的大小第 7 页（共 30 页）2018 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 设复数 z1，z 2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i，则 z1z2=（ ）A2 B2 C1+i D1 i【分析】利用复数的对称关系，求出复数 z2，然后求解 z1z2 即可【解答】解：复数 z1，z 2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i，所以 z2=1i，z 1z2=（1 +i）
12、（1i）=2故选：A【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的对称，考查计算能力2 设全集 U=R，函数 f（x）=lg（|x +1|1）的定义域为 A，集合 B=x|sinx=0，则（ UA）B 的子集个数为（ ）A7 B3 C8 D9【分析】由对数式的真数大于 0 求得集合 A，求解三角方程化简集合 B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案【解答】解：由|x+1|10，得|x+1 |1，即 x2 或 x0 A=x|x2 或 x0，则 UA=x|2x0；由 sinx=0，得：x=k ， kZ，x=k，k Z则 B=x|sinx=0=x|x=k，k Z，则（ UA）B= x|2x0x|x
13、=k，k Z=2，1，0（ UA）B 的元素个数为 3（ UA）B 的子集个数为：2 3=8第 8 页（共 30 页）故选：C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数函数的定义域，考查了三角函数值的求法，是基础题3 函数 f（x）=sin（x +） （0，0 ）的图象中相邻对称轴的距离为，若角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）A B C2 D【分析】根据正弦函数的性质可得相邻对称轴的距离为 ，可得周期 T=，那么 =2，角 的终边经过点 ，利用定义求解 ，可得 f（x）的解析式，即可求解 的值【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为 ，可得周期 T=，那么 =2，角 的终边经过点 ，在
14、第一象限即 tan= ，=故得 f（ x）=sin（2x+ ）则 =sin（ + ）=cos = 故选：A【点评】本题考查正弦函数的性质应用，任意三角函数的定理属于基础题4 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m，n 分别是（ ）第 9 页（共 30 页）Am=38，n=12 Bm=26，n=12 Cm=12，n=12 Dm=24，n=10【分析】算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80 的人数，和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数，根据茎叶图可得【解答】解：由程序
15、框图知：算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于 80 的人数，和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数，由茎叶图得，在 50 名学生的成绩中，成绩大于等于 80 的人数有80，80，81 ， 84，84，85，86，89，90，91，96， 98，共 12 人，故 n=12，由茎叶图得，在 50 名学生的成绩中，成绩小于 60 的人数有43，46，47 ， 48，50，51，52，53，53，56，58， 59，共 12 人，则在 50 名学生的成绩中，成绩小于 80 且大于等于 60 的人数有 501212=26，故 m=26故选：B【点评】本题借助茎叶图考查了
16、循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键第 10 页（共 30 页）5 设不等式组 表示的平面区域为 1，不等式（x+2） 2+（y 2） 22 表示的平面区域为 2，对于 1 中的任意一点 M 和 2 中的任意一点 N，|MN|的最小值为（ ）A B C D【分析】画出约束条件的可行域，利用题目的几何意义转化求解即可【解答】解：不等式组 表示的平面区域为 1，不等式（x +2） 2+（y 2）22 表示的平面区域为 2，如图：对于 1 中的任意一点 M 和 2 中的任意一点 N，| MN|的最小值就是可行域内的点 O 与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为： = 故选
17、：C【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力6 若函数 f（x）= 的图象如图所示，则 m 的范围为（ ）第 11 页（共 30 页）A （ ，1 ） B （1，2） C （0，2） D （1，2）【分析】根据函数的极值点范围和函数值的符号判断【解答】解：当 x0 时， f（x）0，2m0 ，故 m2f（x ）= f（ x）有两个绝对值大于 1 的极值点，m x2=0 有两个绝对值大于 1 的解，m1故选：D【点评】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，奇偶性，特殊点，极限等方面进行判断7 某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A11 B C
18、 D【分析】由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥 PABCD，其中底第 12 页（共 30 页）面 ABCD 是边长为 1 的正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 P 到平面 ABCD 的距离为 1，由此能求出该多面体各面的面积中最大的面的面积【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥 PABCD，其中底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 P 到平面 ABCD 的距离为 1，AB平面 PAD，AB PA，PA= = ，该多面体各面的面积中最大的是PAB 的面积：SPAB = = 故选：C【点评】本题考查多面体各面的面积中最大面积的求
19、法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题8 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S20140 ，S 20150，对任意正整数 n，都有|a n|a k|，则 k 的值为（ ）A1006 B1007 C1008 D1009【分析】由等差数列的求和公式和性质可得 a1007 0，a 10080，且|a1007|a 1008|，由题意易得结论【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得 S2014第 13 页（共 30 页）= =1007（a 1007+a1008）0，a 1007+a10080同理由 S20150 可得
20、2015a10080，可得 a10080，a 10070， a10080，且 |a1007|a 1008|对任意正整数 n，都有|a n|a k|，k 的值为 1008故选：C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，得出数列的最小项是解决问题的关键，属基础题9 已知非零向量 ， ， 满足| |=| |=4， （ ）（ ）=0，若对每一个确定的 ，| |的最大值和最小值分别为 m，n ，则 mn 的值为（ ）A随 增大而增大 B随 增大而减小C是 2 D是 4【分析】通过假设 =（4， 0） 、 =（2，2 ） 、 =（x，y） ，利用（ ）（ ）=0 ，计算可得向量 的终点在以（3， ）为圆
21、心、半径等于 2 的圆上，进而可得结论【解答】解：假设 =（4， 0） 、 =（2，2 ） 、 =（x，y） ，（ ）（ ）=0，（4x，y）（2x，2 y）=x 2+y26x2 y+8=0，即（x3） 2+（y ） 2=4，满足条件的向量 的终点在以（3， ）为圆心、半径等于 2 的圆上，| |的最大值与最小值分别为 m=2+2 ，n=2 2，mn=4，故选：D第 14 页（共 30 页）【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，利用特殊值代入法，是一种简单有效的方法，注意解题方法的积累，属于中档题10 已知如图所示的三棱锥 DABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，ABC 和DBC 所在
22、平面相互垂直，AB=3 ，AC= ，BC=CD=BD=2 ，则球 O 的表面积为（ ）A4 B12 C16 D36【分析】证明 ACAB，可得ABC 的外接圆的半径为 ，利用ABC 和DBC所在平面相互垂直，球心在 BC 边的高上，设球心到平面 ABC 的距离为 h，则h2+3=R2=（ h） 2，求出球的半径，即可求出球 O 的表面积【解答】解：AB=3，AC= ，BC=2 ，AB 2+AC2=BC2，ACAB，ABC 的外接圆的半径为 ，ABC 和DBC 所在平面相互垂直，球心在 BC 边的高上，设球心到平面 ABC 的距离为 h，则 h2+3=R2=（ h） 2，h=1，R=2 ，球 O
23、 的表面积为 4R2=16故选：C【点评】本题考查球 O 的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键第 15 页（共 30 页）11 已知双曲线 C： （a 0，b 0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若PAQ=60 ，且，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】设双曲线的一条渐近线方程为 x，A（a，0） ，P（m， ） ， （m0） ，由向量共线的坐标表示，可得 Q 的坐标，求得弦长|PQ |，运用中点坐标公式，可得 PQ 的中点坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为 1，可得 m= ，r=，运用圆的弦长公式计算即
24、可得到 a，b 的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为 y= x，A（ a，0） ，P（m， ） ， （m0） ，由 =3 ，可得 Q（3m， ） ，圆的半径为 r=|PQ|= =2m ，PQ 的中点为 H（2m， ） ，由 AHPQ ，可得 = ，解得 m= ，r= A 到渐近线的距离为 d= = ，则|PQ|=2 =r，即为 d= r，即有 = 可得 = ，第 16 页（共 30 页）e= = = = 故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1，以及圆的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档
25、题12 已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x0，1，总存在唯一的y1， 1，使得 x+y2eya=0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A1 ，e B C （1，e D【分析】由 x+y2eya=0 成立，解得 y2ey=ax，根据题意可得：a1（1） 2e1，且a01 2e1，解出并且验证等号是否成立即可得出【解答】解：由 x+y2eya=0 成立，解得 y2ey=ax，对任意的 x0，1，总存在唯一的 y1，1，使得 x+y2eya=0 成立，a 1 （1） 2e1，且 a01 2e1，解得 ae，其中 a=1+ 时，y 存在两个不同的实数，因此舍去，a 的取值范围是 故选：B【点
26、评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 17 页（共 30 页）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 已知 a0 ， 展开式的常数项为 15，则 = 【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得 a 的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值【解答】解：由 的展开式的通项公式为 Tr+1= （1） ra6r ，令 =0，求得 r=2，故常数项为 a4=15，可得 a=1，因此原式为则= x2dx+ xdx+ dx=2 x2dx+2dx=2 +2（ + 22）= ，故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二
27、项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题14 设 a，bR，关于 x，y 的不等式|x |+|y|1 和 ax+4by8 无公共解，则ab 的取值范围是 16，16 【分析】画出不等式表示的可行域，通过对 a，b 的符号讨论，然后求解 ab 的取值范围【解答】解：关于 x，y 的不等式|x|+|y |1 表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0） ， （0，1） ， （0，1） ， （ 1，0） ，第 18 页（共 30 页）关于 x，y 的不等式|x|+| y|1 和 ax+4by8 无公共解，则 ax+4by8 表示的范围在可行域外侧，当 a0，b 0 时
28、满足题意，可得 1， 1，可得 0ab 16，当 a0，b 0 时满足题意，可得 1， ，可得：2b0，0a 8 可得16ab 0，当 a0，b 0 时满足题意，可得 ， ，可得： 0b2，8a0 可得16ab 0，当 a0，b 0 时满足题意，可得 ， ，可得：2 b0 ，8 a 0，0ab 16 ，当 ab=0 时，不等式|x|+|y|1 和 ax+4by8 无公共解；故 ab 的取值范围是：16，16；故答案为：16，16【点评】本题考查线性规划的应用，考查分类讨论的应用，可以利用特殊值方法判断求解15 正项数列 an的前 n 项和为 Sn，且 （nN*） ，设第 19 页（共 30 页
29、），则数列c n的前 2016 项的和为 【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且 （n N*），则： ，得： +an+1an，整理得：a n+1an=1，当 n=1 时， ，解得：a 1=1，所以：数列a n是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列则 an=1+n1=n，所以： 则： = ，数列c n的前 2016 项的和为： ，=1+ ，= 故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用16 已知 F 是椭圆 C： + =1 的右焦点，P 是 C 上一点
30、，A （ 2，1） ，当APF 周长最小时，其面积为 4 【分析】利用椭圆的定义，确定APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出APF第 20 页（共 30 页）周长最小时，该三角形的面积【解答】解：椭圆 C： + =1 的 a=2 ，b=2 ，c=4，设左焦点为 F（4，0 ） ，右焦点为 F（4，0） APF 周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a|PF|）=|AF|+|AP|PF|+2a|AF| |AF|+2a，当且仅当 A，P，F三点共线，即 P 位于 x 轴上方时，三角形周长最小此时直线 AF的方程为 y= （x+4） ，代入 x2+5y2=20 中，可求得 P
31、（0，2） ，故 SAPF =SPFF SAFF = 28 18=4故答案为：4【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查三角形面积的计算，确定 P的坐标是关键三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12.00 分） ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，且 ，AB=3 （）求 AD 的长；（）求 cosC第 21 页（共 30 页）【分析】 （）直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果（）利用正弦定理和三角形函数关系式的变换求出结果【解答】解：（）由 得到：ADAC，所以 ，所以 （2 分）在ABD 中，由余弦定理可知，BD 2
32、=AB2+AD22ABADcosBAD即 AD28AD+15=0， （4 分）解之得 AD=5 或 AD=3，由于 ABAD，所以 AD=3 （ 6 分）（）在ABD 中，由正弦定理可知， ，又由 ，可知 （8 分）所以 （10 分）因为 ，即 （12 分）【点评】本题考查的知识点：向量垂直的充要条件，余弦定理的正弦定理的应用及相关的运算问题18 （12.00 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，ADE，BCF 均为等边三角形， EFAB ，EF=AD= AB（1）过 BD 作截面与线段 FC 交于点 N，使得 AF平面 BDN，试确定点 N 的位置，并予以证明；（
33、2）在（1）的条件下，求直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值第 22 页（共 30 页）【分析】 （1）当 N 为 CF 的中点时， AF平面 BDN连结 AC 交 BD 于 M，连结MN利用中位线定理即可证明 AFMN，于是 AF平面 BDN；（2）过 F 作 FO平面 ABCD，垂足为 O，过 O 作 x 轴AB ，作 y 轴BC 于 P，则 P 为 BC 的中点以 O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 ABF 的法向量 ，则|cos ， |即为所求【解答】解：（1）当 N 为 CF 的中点时，AF平面 BDN证明：连结 AC 交 BD 于 M，连结 MN四边形 ABCD 是矩形，
34、M 是 AC 的中点，N 是 CF 的中点，MNAF，又 AF平面 BDN，MN平面 BDN，AF平面 BDN（2）过 F 作 FO平面 ABCD，垂足为 O，过 O 作 x 轴AB ，作 y 轴BC 于 P，则 P 为 BC 的中点以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AD=1，则 BF=1，FP= ，EF= =1，OP= （AB EF）= ，OF= A（ ， ，0） ，B（ ， ，0） ，C （ ， ，0） ，F（0，0， ） ，N（ ， ） =（ 0，2，0） ， =（ ， ， ） ， =（ ， ， ） 设平面 ABF 的法向量为 =（x，y ，z） ，则 ， ，令 z= 得
35、 =（2，0， ） ， =1，| |= ，| |= 第 23 页（共 30 页）cos ， = = 直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值为|cos ， |= 【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题19 （12.00 分） 2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾，5.6 万人紧急转移安置， 288 间房屋倒塌，46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造
36、成的经济损失，将收集的数据分成0，2000， （2000，4000，（4000，6000， （6000 ， 8000， （8000，10000五组，并作出如下频率分布直方图：（）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款现从损失超过 4000 元的居民中随机抽出 2 户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000 元的居民为 户，求的分布列和数学期望；（）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c， a+b，c+d，a+c ，b+d，
37、a+b +c+d 的值，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元合计第 24 页（共 30 页）捐款超过500 元a=30 b捐款不超过 500 元c d=6合计P（K 2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：临界值表参考公式：， 【分析】 （）根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；（）由频率分布直方图，得损失超过 4000 元
38、的居民有 15 户， 的可能取值为 0，1，2 ，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E（）求出 K2，与临界值比较，即可得出结论【解答】解：（）记每户居民的平均损失为 元，则：=（ 10000.00015+30000.0002+50000.00009+70000.00003+90000.00003）2000=3360（2 分）（）由频率分布直方图，得：损失超过 4000 元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）200050=15 户， 的可能取值为 0，1，2，P（=0 ）= = ，第 25 页（共 30 页）P（=1 ）= = ，P（=2 ）= = ， 的分布
39、列为： 0 1 2 P E=0 +1 +2 = （）如图：经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元合计捐款超过500 元30 9 39捐款不超过 500 元5 6 11合计 35 15 50K2= 4.0463.841，所以有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元有关 （12 分）【点评】本题考查频率分布直方图，独立性检验知识，考查古典概型，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强20 （12.00 分）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F（0，c ） （c0）到直线l：xy2=0 的距离为 ，设 P 为直线 l 上的点，过点 P
40、 作抛物线 C 的两条切线PA，PB，其中 A，B 为切点（1）求抛物线 C 的方程；（2）当点 P（x 0，y 0）为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；（3）当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF| |BF|的最小值第 26 页（共 30 页）【分析】 （1）利用焦点到直线 l：xy2=0 的距离建立关于变量 c 的方程，即可解得 c，从而得出抛物线 C 的方程；（2）先设 ， ，由（1）得到抛物线 C 的方程求导数，得到切线 PA，PB 的斜率，最后利用直线 AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线 AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有 ， ，从而表示出|AF|BF|，再由
41、（2）得 x1+x2=2x0，x 1x2=4y0，x 0=y0+2，将它表示成关于 y0 的二次函数的形式，从而即可求出|AF|BF|的最小值【解答】解：（1）焦点 F（0，c） （c0）到直线 l：x y2=0 的距离，解得 c=1，所以抛物线 C 的方程为 x2=4y（2）设 ， ，由（1）得抛物线 C 的方程为 ， ，所以切线 PA，PB 的斜率分别为 ， ，所以 PA： PB ： 联立可得点 P 的坐标为 ，即 ， ，又因为切线 PA 的斜率为 ，整理得 ，直线 AB 的斜率 ，所以直线 AB 的方程为 ，整理得 ，即 ，因为点 P（x 0，y 0）为直线 l：xy2=0 上的点，所以
42、 x0y02=0，即 y0=x02，所以直线 AB 的方程为 x0x2y2y0=0第 27 页（共 30 页）（3）根据抛物线的定义，有 ， ，所以 =，由（2）得 x1+x2=2x0，x 1x2=4y0，x 0=y0+2，所以 =所以当 时，|AF| BF|的最小值为 【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性21 （12.00 分）已知函数 f（x）= +bex，点 M（0 ，1）在曲线 y=f（x ）上，且曲线在点 M 处的切线与直线 2xy=0 垂直（1）求 a，b 的值；（2）如果当 x0 时，都有 f（x） +ke
43、x，求 k 的取值范围【分析】 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线与 2xy=0 垂直，可得a， b 的方程，解方程可得 a，b 的值；（2）由题意可得 +ex +kex，即有（1 k）e x ，即 1k，可令 g（x）= ，求出导数，判断单调性，可得最值，即可得到 k 的范围【解答】解：（1）f（x） = +bex 的导数为f（x ）= bex，由切线与直线 2xy=0 垂直，可得第 28 页（共 30 页）f（0）=1，f（0）= ，即有 b=1， ab= ，解得 a=b=1；（2）当 x0 时，都有 f（ x） +kex，即为 +ex +kex，即有（1k ）e x ，即 1k
44、 ，可令 g（x ）= ，g（x）= =g（x ） ，即有 g（x ）为偶函数，只要考虑 x0 的情况由 g（ x）1= ，x0 时，e xe x，由 h（x）=2x ex+ex，h （x ）=2（e x+ex）2 2 =0，则 h（x）在 x0 递减，即有 h（x）h（0）=0，即有 g（x ）1故 1k1，解得 k0则 k 的取值范围为（，0【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，求出导数，判断单调性，求出最值，考查运算能力，属于中档题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐
45、标系与参数方程22 （10.00 分）选修 44；坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程是 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 =2，正方形 ABCD 的顶点第 29 页（共 30 页）都在 C2 上，且 A，B ，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ） （1）求点 A，B，C ，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1 上任意一点，求 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围【分析】 （1）确定点 A，B ，C，D 的极坐标，即可得点 A，B，C ，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出 P 的坐标
46、，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围【解答】解：（1）点 A，B ，C，D 的极坐标为点 A，B，C，D 的直角坐标为（2）设 P（x 0，y 0） ，则 为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2sin 20，1t 32，52【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23设 f（x） =|x|2x1|，记 f（x ） 1 的解集为 M（1）求集合 M；（2）已知 aM，比较 a2a+1 与 的大小【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即 M 即可；（2）作差，通过讨论 a 的范围，比较大小即可第 30 页（共 30 页）【解答】解：（1）由 f（x）1，得 或 或解得 0x2，故 M=x|0x2（2）由（1）知 0a2，因为 ，当 0a1 时， ，所以 ；当 a=1 时， ，所以 ；当 1a2 时， ，所以 综上所述：当 0
