1、2017 年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）已知集合 A=xN|x1，B=x |1x 2，则 AB=（ ）A0 ，1 B1，0，1 C 1，1 D12 （5 分）已知复数 （i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C （ ，2） D3 （5 分）设 x，y 满足约束条件 且 z=x+ay 的最小值为 7，则 a=（ ）A 5 B3 C5 或 3 D5 或 34 （5 分）已知 的最大值为 A，若存在
2、实数 x1，x 2 使得对任意实数 x 总有 f（x 1）f（x）f（x 2）成立，则 A|x1x2|的最小值为（ ）A B C D5 （5 分）设 f（x ）= ，则 f（x ）dx 的值为（ ）A + B +3 C + D +36 （5 分）一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为c（a ，b，c（0，1） ） ，已知他投篮一次得分的数学期望为 2，则 的最小值为（ ）A B C D47 （5 分）在如图所示的程序框图中，若输出 i 的值是 3，则输入 x 的取值范围是（ ）A （4 ，10 B （2，+） C （2，4 D （4，+）8 （5
3、分）若 的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1024，则该展开式中的常数项是（ ）A 270 B270 C90 D909 （5 分）若等边ABC 的边长为 3，平面内一点 M 满足 ，则 的值为（ ）A2 B C D 210 （5 分）已知抛物线 C：y 2=2px（0p4）的焦点为 F，点 P 为 C 上一动点，A（4，0） ，B（p， p） ，且|PA|的最小值为 ，则|BF|等于（ ）A4 B C5 D11 （5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D412 （5 分）已知函数 满足条件：对于x 1R，且 x10
4、，唯一的 x2R 且x1 x2，使得 f（x 1）=f（x 2） 当 f（2a）=f（3b）成立时，则实数 a+b=（ ）A B C +3 D +3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）函数 的最大值为 14 （5 分）设 ，则 a1+a2+a3+a4+a5= 15 （5 分）已知平面向量 的夹角为 120，且 若平面向量 满足，则 = 16 （5 分）设数列a n（ n1，n N）满足 a1=2，a 2=6，且 an+22an+1+an=2，若x表示不超过x 的最大整数，则 = 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推
5、理、验算过程.17 （12 分）已知 a，b，c 分别为锐角ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且（a +b）（sinAsinB）=（c b）sinC（）求A 的大小；（）若 f（x）= sin cos +cos2 ，求 f（B）的取值范围18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= （1）求证：平面 PQB平面 PAD；（2）设 PM=tMC，若二面角 MBQC 的平面角的大小为 30，试确定 t 的值19 （12 分）
6、近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 918 亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为 80 次（1）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行 5 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X：求对商品和服务全为好评的次数 X 的分布列（概率用组合数算式表示） ；求 X 的数学期望
7、和方程P（K 2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（K 2= ，其中 n=a+b+c+d）20 （12 分）已知椭圆 C1： + =1（ab 0）的离心率为 ，P（ 2，1）是 C1 上一点（1）求椭圆 C1 的方程；（2）设 A，B，Q 是 P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于 AB 的直线 l 交 C1 于异于 P、 Q 的两点 C，D，点 C 关于原点的对称点为 E证明：直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形21 （12 分）已知函
8、数 f（ x）=xlnx x2x+a（aR ）在定义域内有两个不同的极值点（1）求 a 的取值范围；（2）记两个极值点 x1，x 2，且 x1x 2，已知 0，若不等式 x1x2e 1+ 恒成立，求 的取值范围请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑 选修 4-4：参数方程与极坐标系22 （10 分）在直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）若直线 （t 为参数）与圆 C 交于 A，B 两点，且 ，
9、求 m 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|x+ 2|2|x1|（）求不等式 f（x） 2 的解集 M；（）对任意 xa，+） ，都有 f（x）x a 成立，求实数 a 的取值范围2017 年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分） （2017天心区校级一模）已知集合 A=xN|x1，B=x|1x2，则 AB=（ ）A0 ，1 B1，0，1 C 1，1 D1【分析】集合 A 与集合 B 的公共元素构成集合 AB【解答】解：
10、集合 A=xN|x1，B=x|1x2，AB=0，1故选 A【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化2 （5 分） （2017武昌区模拟）已知复数 （i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C （ ，2） D【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：复数 = = + i 的共轭复数 i 的共在复平面内对应的点在第三象限， 0， 0，解得 a ，且 a2，则实数 a 的取值范围是 故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力
11、与计算能力，属于基础题3 （5 分） （2014新课标）设 x，y 满足约束条件 且 z=x+ay 的最小值为 7，则a=（ ）A 5 B3 C5 或 3 D5 或 3【分析】如图所示，当 a1 时，由 ，解得 当直线 z=x+ay 经过 A 点时取得最小值为 7，同理对 a1 得出【解答】解：如图所示，当 a1 时，由 ，解得 ，y= 当直线 z=x+ay 经过 A 点时取得最小值为 7， ，化为 a2+2a15=0，解得 a=3，a=5 舍去当 a1 时，不符合条件故选：B【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题4 （5 分） （2017
12、江西二模）已知 的最大值为 A，若存在实数 x1，x 2 使得对任意实数 x 总有 f（x 1）f （ x）f（x 2）成立，则 A|x1x2|的最小值为（ ）A B C D【分析】根据题意，利用三角恒等变换化简函数 f（x ）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出 A|x1x2|的最小值【解答】解：=sin2017xcos +cos2017xsin +cos2017xcos +sin2017xsin= sin2017x+ cos2017x+ cos2017x+ sin2017x= sin2017x+cos2017x=2sin（2017x+ ） ，f（ x） 的最大值为 A=2；由题
13、意得，|x 1x2|的最小值为 = ，A|x 1x2|的最小值为 故选：B【点评】本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目5 （5 分） （2017江西二模）设 f（x）= ，则 f（x）dx 的值为（ ）A + B +3 C + D +3【分析】根据定积分性质可得 f（x ）dx= + ，然后根据定积分可得【解答】解：根据定积分性质可得 f（x ）dx= + ，根据定积分的几何意义， 是以原点为圆心，以 1 为半径圆面积的 ，= ， f（x ）dx= +（ ） ，= + ，故答案选：A【点评】本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分
14、计算公式等知识，属于基础题6 （5 分） （2017福建模拟）一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为b，不得分的概率为 c（a，b ，c （0，1） ） ，已知他投篮一次得分的数学期望为 2，则的最小值为（ ）A B C D4【分析】由题意可得：3a+2b+0c=2 ，即 3a+2b=2 a，b，c（0，1） ） ，再利用“乘 1 法” 与基本不等式的性质即可得出【解答】解：由题意可得：3a+2b+0c=2 ，即 3a+2b=2a，b，c（0，1） ） ， = = = ，当且仅当 a=2b= 时取等号故选：C【点评】本题考查了数学期望计算公式、 “乘 1 法”与基本不
15、等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7 （5 分） （2016株洲一模）在如图所示的程序框图中，若输出 i 的值是 3，则输入 x 的取值范围是（ ）A （4 ，10 B （2，+） C （2，4 D （4，+）【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：设输入 x=a，第一次执行循环体后，x=3a 2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a 8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a 26，i=3 ，满足退出循环的条件；故 9a8
16、82 ，且 27a2682，解得：a （4，10，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8 （5 分） （2017武昌区模拟）若 的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1024，则该展开式中的常数项是（ ）A 270 B270 C90 D90【分析】 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于 为展开式中所有项系数的绝对值之和，令 x=1 可得：4 n=1024，解得 n=5利用 的通项公式即可得出【解答】解： 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于 为展开式中所有项系数的绝对值之和，令 x=1 可得：4 n=1024，解得 n=5 的通项公式为：T r+1= =（1） r 35r ，令 =0，解得 r=3该展开式中的常数项是 =90故选：C【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
