1、- 1 -函数的基本性质复习教学目标：函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性教学过程一、单调性1定义：对于函数 ，对于定义域内的自变量的任意两个值 ，当)(xfy 21,x时，都有 ，那么就说函数2x)(2121 xff或在这个区间上是增（或减）函数。)(fy2证明方法和步骤：（1 ） 设元：设 是给定区间上任意两个值，且 ；21,x 21x（2 ） 作差： ；)(ff（3 ） 变形：（如因式分解、配方等） ；（4 ） 定号：即 ；0)(0)(2121 xffxff或（5 ） 根据定义下结论。3二次函数的单调性：对函数 ，cbaf2)()(a当 时函数 在对称轴 的左侧单调减小，右侧单调增
2、加；0a)(xf当 时函数 在对称轴 的左侧单调增加，右侧单调减小a2例：讨论函数 在(-2,2)内的单调性。32axf()4复合函数的单调性：复合函数 在区间 具有单调性的规律)(xgfy),(ba见下表： )(ufy增 减 xg增 减 增 减 )(fy增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减” 。例：函数 的单调减区间是 （ ）32xyA. B. C. D.,(),11,(),1- 2 -5函数的单调性的应用：判断函数 的单调性；比较大小；解不等式；)(xfy求最值（值域） 。例 1：奇函数 在定义域 上为减函数，且满足)(xf)1,(，求实数 的取值范围。0
3、)(2af a例 2：已知 是定义在 上的增函数， ，且 ，)(xf,01)2(f，)(yyf（1 ）求 ；（2）满足 的实数 的范围。)4(,f )3()(xff x二、奇偶性1定义：如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 ，那么函数 f(x)就叫)(xff偶函数；如果对于 f(x)定义域内的 任意一个 x,都有 ，那么函数 f(x)就叫奇)(ff函数。2奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函数 为奇函数，且在 x=0 处有定义，则 ；)(xf 0)(f3判断一个函数的奇偶性的步骤 先求定义域，看是否关于原点对称; 再判断 或 是否恒成立。)(xff
4、)(xff例：判断函数 的奇偶性。21)f分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（ 2）化简函数表达式；（ 3）判断函数的奇偶性- 3 -奇偶性的定义的等价形式：对不易找到函数 与 关系时，常用以下)(xf)(f等价形式：；0)()( fxffxf。 )当 时，也可用 来判断。0(xf 1)(xf4奇偶函数图象的性质奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象关于 y 轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数为偶函数。5常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇。(2)奇
5、函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。例:设 是 上的奇函数，且当 时， ，求当)(xfR)0,(x)1()3xf时 的解析式。,0f例 3：已知：函数 定义在 R 上，对任意 x，yR，有)(xf )()(yxff且 。)(2yfx0(1)求证： ；(2)求证： 是偶函数；1)(xf- 4 -例 4：判断下列函数的奇偶性：（1） （2）log)(3xf 11)(2xxf（3） （4）1例 5：设函数 的定义域为 ，且对任意的)(xfy,0,D都有 。 （1）求 的值；（2）判断Dx21, )(2121xff )(f的奇偶性，并加以证明。)(f 课后专
6、练1.已知函数 在 上递增，那么 的取值范围是_.582axy),1a2已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(，5)上单调递减，对任意实数 t，都有f(5t) f (5t)，那么下列式子一定成立的是（ ）Af( 1)f (9)f(13) Bf (13)f(9)f (1) Cf (9)f (1) f(13) Df(13)f(1)f(9)3设 是 上的减函数，则 的单调递减区间为 .yx3yx4函数 f(x) = ax24(a1)x3 在2， 上递减，则 a 的取值范围是_ 5已知函数 f(x)=ax2+bx+c (a 0)是偶函数，那么 g(x)=ax3+bx2+cx 是 ( )A. 奇函数
7、 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D.非奇非偶函数6已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数，且其定义域为 a-1,2a，则 a=_ ,b=_7已知 f(x)=x5+ax3+bx-8，且 f(-2)=10，那么 f(2)等于 ( )A. -26 B. -18 C. -10 D. 108若函数 f（x）为偶函数，且当-2x0 时，f （x ）=x+1，那么当 0x2 时，f（x）=_.9.已知 在区间 上是增函数，则 的范围是（ ）5)2(2ay(4,)a- 5 -A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:
8、/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j aaaa10.当 时，求函数 的最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,03)()(f11.已知 在区间 内有一最大值 ，求 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j22()4fxx0,5a12已知 f(x)是定义在(2， 2)上的减函数，并且 f(m1)f (12m)0 ，求实数m 的取值范围13.若 的定义域为 R，对任意 有 = ,当)(f Rba,)(bf)(bfa时 且0a1)2(f(1)判断 在 R 上的单调性； （2）若 ，求 的取值)(xf 2)3()2xff范围。
