1、数学运算之浓度问题专题（一）十字交叉法是进行二组分混合物平均量与组分量的计算中常用的一种简便方法。凡是一般的二元一次方程组（Aa +Bb = c( A +B )关系式）的习题，均可用十字交叉法。该法解题的关键是准确找出平均值。其解题原理为：AaBb(AB)c整理变形后可得 (acb)cabBA其中 c 为平均值十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。（二） 浓度问题溶液溶质+溶剂浓度溶质的质量分数=溶质溶液浓度溶液溶质浓度注意：一种溶剂可以同时和几种溶质互溶。有关溶液
2、混合的计算公式是：m(浓)c(浓)+m(稀)c(稀)= m(混)c(混)由于 m(混)=m(浓)+m(稀)，上式也可以写成：m(浓)c(浓)+m(稀)c(稀)= m(浓)+m(稀)c(混)此式经整理可得：m(浓)c(浓)-c(混)=m(稀)c(混)-c(稀)（三）常用方法方程法，利用溶质相等或者浓度相等来构造等量关系十字交叉法，混合问题的简便计算方法分析猜答案法，深刻理解混合本质，分析题目猜出答案【例题】甲杯中有浓 度为 17的溶液 400 克，乙杯 中有 浓度为 23的溶液 600 克。现在从 甲、 乙两杯中取 出相同总量的溶液 ， 把从 甲杯中取 出的倒 入乙杯中， 把从乙杯 中取出的倒入
3、甲 杯 中，使甲、 乙两杯溶 液的浓度 相同。问 现在两杯 溶液 的浓度是多 少（ ）A.20 B.20.6 C.21.2 D.21.4【解析】B。由于混合后浓度相同，那么现在的浓度等于（总的溶质）（总的溶液） ，即：（40017%+600+23%）（400+600）100%20.6%。注意：答案不可能是 A，看起来很简单的答案往往不是答案（公务员考试是复杂的） 。如，一个人从一楼爬到三楼，花了 6 分钟，那从 1 楼到 30楼，需要几分钟？解：不要定向思维选 60，1 楼到 3 楼爬了 2 层，每层 3 分钟，1 楼到 30 楼，爬了 29 层，29*3=87，答案是 87【例题】在 20时
4、 100 克水 中最多能 溶解 36 克食盐 。从中取出 食盐水 50 克，取 出的溶液 的浓度是多 少？A.36.0% B.18.0% C.26.5% D.72.0%最多能溶解，即溶解度，此时浓度为 36/100+36=C注：最多能溶解=无论再往里面加多少克食盐，因为无法溶解，浓度都不变。【例题】一种溶液 ， 蒸 发一定水 后， 浓度为 10%； 再 蒸发同样的 水， 浓 度为 12%； 第三次 蒸 发同样多的 水后，浓 度变为多 少？（ ）A. 14% B. 17% C. 16% D. 15%解：10%到 12%，溶质不变，溶液改变，因此将分子设为最小公倍数 60，分母为 600 到 50
5、0，蒸发了 100 分水，因此，第三次的水是 400，溶质不变，所以是 D熟记这些数字：10%，12%，15%，20%，30%，60%（蒸发或增加了同样的水）【例 1】甲杯中有浓度 17%的溶液 400 克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液 600 克，现在从甲，乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲，乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？【解析】方程法：利用浓度相等，我们可以构造方程设：从甲乙两杯中分别取出 x 克，则解出 x，带入到方程的任何一边，可以求出现在两杯的浓度。但是，解方程的过程是非常麻烦的，在行测考试当中我们最缺的就是时间，所以要快速
6、准确解出答案，我们可以采用十字交叉法：17% 2.4 400 2X ：23% 3.6 600 3左面列纵向做差，23-17=6，把 6 按照 2：3 来分，分成 1.4和 4.4，则求出 x=20.6%。如果我们对混合本质理解的深刻，可以用分析法：题中说从甲乙杯中取出相同的溶液，交叉导入另一杯中，则甲乙杯的溶液质量不变。而且最后两杯溶液浓度相等。所以题干的过程我们可以转化为：把甲乙杯中的溶液先倒入一个大杯中，混合均匀后，再倒入甲杯 400 克，乙杯 600克。则最后两杯的浓度为可见，对题目和方法理解的不同，则计算的速度也会不同。【例 2】现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶
7、液。若从甲中取 2100 克，乙中取 700 克混合而成的消毒溶液的浓度为 3%；若从甲中取 900 克，乙中取2700 克，则混合而成的消毒溶液的浓度为 5%。则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为：A.3% 6% B.3% 4% C.2% 6% D.4% 6%【解析】首先可以根据溶质相等，构造方程。方程法：设甲、乙溶液的浓度分别为 x、y。则，2100x+700y=3%*（2100+700）900x+2700y=5%*（900+700）解二元一次方程组可以得到答案。但是可以看出解方程组比较麻烦，会用很多的时间。所以我们应该寻找更为简便的做法。分析猜答案法：题目中说一定量的甲溶液和一定量的乙溶液混
8、合，得到 3%的溶液，则可以说明，甲乙溶液浓度一种大于 3%，一种小于 3%，同理可得，甲乙溶液浓度一种大于 5%，一种小于5%。综合得出甲乙溶液，一种大于 5%，一种小于 3%。从选项看出，答案为 C。通过对题目的简单分析，我们不需要计算便可以快速得到答案，这就是我们所追求的，也是命题专家想让我们运用的方法。【例 3】甲，乙两种含金样品熔成合金，如甲的重量是乙的一半，得到含金 68%的合金；如甲的重量是乙的 3.5 倍，得到含金（62 ）%的合金。则乙的含金百分数为多少？A.72% B.64% C.60% D.56%【解析】我们采用分析猜答案法：据题中“如甲的重量是乙的一半，得到含金 68%
9、的合金；如甲的重量是乙的 3.5 倍，得到含金（62 ）%的合金。”可以看出，乙的重量所占比例要是高，则合金的含金量高，乙的重量所占比例低，则合金的含金量低，由此可以判断出，乙的含金量大于甲的含金量。又因为，有一块合金的含金量为 68%，所以必定甲乙一个大于 68%，一个小于 68%。根据上一段的结论，则推出，乙的含金量一定大于 68%，则只有 A 答案。【例 4】有甲乙两种糖水，甲含糖 270 克，含水 30 克。乙含糖 400 克，含水 100 克，现要得到浓度为 82.5%的糖水100 克，问每种应取多少克？A 30 70 B 25 75 C 20 80 D 35 65【解析】甲含糖 9
10、0%，乙含糖 80%90 2.5-1 -2582.580 7.5-3 -75选 B【例 5】 （浙江 2007 年二类-19）浓度为 70%的酒精浓液 100克与浓度为 20%的酒精浓液 400 克混合后得到的浓液的浓度是多少？（ ）A、30% B、32% C、40% D、45%答案：A【解析 1】100 克 70%的酒精浓液中含有酒精：100*70%=70克400 克 20%的酒精浓液中含有酒精：400*20%=80 克混合合后酒精浓液中含有的酒精量：70+80=150 克混合后酒精浓液的总重量为：100+400=500 克混合后酒精浓液的浓度为：150/500*100%=30%【解析 2】
11、用十字相乘法解决：设混合后浓液的浓度为：X%溶液 1：70 X-20 100X浓液 2：20 70-X 400因此：X-20/70-X=100/400 推出 X=30【例 6】 （浙江 2005-19）甲容器中有浓度为 4%的盐水 250克，乙容器中某种浓度的盐水若干克，现从乙中取 250 克盐水，放入甲容器中混合成浓度为 8%的盐水，问乙容器中的盐水浓度是多少？（ ）A、9.87% B、10。14% C、9.33% D、11.27%答案：A【解析 1】甲容器中盐水浓度中含盐量=250*4%=10 克混合后的盐水浓液的总重量=250+750=1000 克混合后的盐水浓液中含盐量=1000*8%
12、=80 克乙容器中盐水浓液的含盐量=80-10=70 克乙容器中盐水溶液的浓度为=70/750*100=9.33%【解析 2】用十字相乘法做，假设乙容器中盐水的浓度为：X%甲：4 X-8 2508乙：X 4 750因此：X-8/4=250/750 X=9.33【例 7】 （江苏 2006C-15）把浓度为 20%、30%和 50%的某溶液混合在一起，得到浓度为 36%的浓液 50 升，已知浓度为30%的溶液用量是浓度为 20%的浓液用量的 2 倍，浓度为 30%的溶液用量是多少升（ ）A、18 B、8 C、10 D、20答案：D【解析 1】假设 20%浓度的浓液 X 升，50%浓度的浓液 Y
13、升，则 30%浓度的浓液 2X 升X+2X+Y=5020%X+30%*2X+50%Y=36%*50推出 X=10，Y=20 所以 2X=20【解析 2】用十字相乘法计算，假设 2%的溶液为 L 升，则30%的溶液为 2L 升，先将 20%和 30%的酒精混合，混合后的浓度为 20%*L+30%*2L/L+2L=4/15设 50%浓度的溶液为 Y 升溶液 1：4/15 7/50 50-Y36%溶液 2：50% 7/75 Y因此 7/50/7/75=3/2=50-Y/Y，推出 Y=20【例 8】 （浙江 2004-24）从装有 100 克浓度为 10%的盐水瓶中倒出 10 克盐水后，再向瓶中倒入 10 克清水。这样算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为（ ）A7% B7.12% C7.22% D7.29%答案：D【解析】每次操作从 100 克盐水中倒出 10 克盐水，剩余 90克即剩余 90%，每次操作后浓液中剩余溶质为原来的 90%，又都稀释到 100 克，浓度为操作前浓度的 90%，三次操作后浓度为 10%*90%*90%*90%=7.29%
