1、不等式的应用,2003年名师课堂辅导讲座高中部分,学习内容 一、求最值： 1、若a,bR+且ab=p（p为常数）则（当且仅当a=b时取等号） 2、若a+b=S(a,bR+,则 （当且仅当a=b时取等号）,3、若a,b,cR+且abc=m（m为常数） ，则 (当且仅当a=b时取等号) 4、若a,b,cR+且a+b+c=n（n为常数） ，则 (当且仅当时取等号) 注：用均值不等式求最值要注意三点：正数定值检验等号是否成立,二、关于恒成立，求参数范围问题 1、若f(x)a对xD恒成立，只须f(x)min(xD)a即可 2、若f(x)a对xD对恒成立，只须f(x)min(xD)a即可 三、应用问题,学
2、习要求 1、掌握应用不等式知识求最值问题 2、初步学会不等式知识的综合应用 学习指导 1、本讲重点：求最值问题，求参数范围问题 2、本讲难点：不等式的综合应用 3、剖析：本讲的难度较高，必须有扎实的基础知识，才能灵活运用，提高综合能力,典型例题解析 例1：求下列函数的最值 的最小值 的最小值 的最大值 的最小值 的最小值, 的最小值 的最小值 的最大值 的最小值 的最大值 的最小值,解： （当且仅当 ，即x=1时取等号）当c1时，x=1时，ymin=2 当0x1时， 在(0,c上递减 当x=c时， 当且仅当 ，即 时取等号,若 当 时， 若 在m,n上递减 x=n时，若 时， 在上递增 x=m
3、时， 当且仅当 ，即 时，, 当且仅当 ，即 时， 当且仅当 ，即 时， 当且仅当 ，即x=0时，ymin=1, 令 在t2,+)递增 当t=2时， 当且仅当x2=4r2-x2，即 时，ymax=2r2 当且仅当 ，即x=2时，,当且仅当 ，即 时， 当且仅当 ，即 时，,例2：已知x0,y0,lgx+lgy=1，求 的最小值 解：由已知xy=10且x0,y0当且仅当 即 时取等号当x=2,y=5时， 有最小值2,例3：已知a,b是正数且a+b=1， 求 的最小值 解：（法一）当且仅当 ，即 时，ymin=9,（法二）当且仅当 时取等号当 时，ymin=9,例5：若正数a,b满足ab=a+b+
4、3,求ab的取值范围 解：（方法一） （当且仅当a=b时取等号）令 ，则 ，又,（方法二） ， 又当且仅当 ，即a=3时，取等号 ab9,例6： 恒成立，则的取值范围是3,4)对一切实数x，若不等式|x-3|+|x+2|a恒成立，则实数的范围是a5 例7：若x2+y2=1,x+y-k0对x,yR恒成立，求k的取值范围 解：x+y-k即x+yk， x2+y2=1可设则,例8：对R，不等式cos2-32mcos-4m恒成立，求实数m的取值范围 解：（方法一）原不等式令 对 恒成立 设或 或,（方法二）令t=cos，则t2-mt+2m-20 t2-2-m(t-2)0 m(t-2)t2-2，对 恒成立
5、 令当且仅当 ，即 时取等号 g(t)的最大值为,例9：已知关于x的方程x2-2(a+2)x+a2-1=0的两根都大于2，求实数a的取值范围？ 若一根大于2，一根小于2呢？ 解：（方法一）设f(x)=x2-2(a+2)x+a2-1=0 对称轴x=a+2 若两根都大于2，则 a5,(方法二)设两根分别为x1,x2，则x12,x22 x1-20,x2-20即a5,（方法三）只须 若一根大于2，一根小于2 （方法一）f(2)0 （方法二） （方法三）,例10：方程9x+(3+a)3x+4=0有解，求a的取值范围 解：（方法一）令3x=t0， 则t2+(3+a)t+4=0在(0,+)有解， 设f(t)
6、=t2+(3+a)t+4 对称轴 在(0,+)上有两根，则在(0,+)上有一根，则f(0)0,40不可能 综上：a-7,（方法二）当且仅当 时，即t=2时取等号， 故a-7,例11：关于的方程 有负数解，求k的取值范围 解：原方程或,例12：若关于x的方程lg(x-1)-lg(x-5)=1有实数解，试确定a的取值范围 解：原方程由得：(a-10)x=49， 当a10,例13：一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，求这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形的宽为xm，则长为(l-2x)m， 则 当且仅当l-2x=2x，即 时， 答：这个矩形的长为 ,宽为时 ，面积最大为,例14：某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台 (xN*)且每批需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当按排每批进货的数量，使资金够用？,解：设每批购入电视机x台，全年费用为y元，保管费与每批电视机总价值的比例系数为k，则 ，当x=400时， y=43600代入上式得(x-120)20 x=120 答：每批进货120台，资金够用。,谢谢,
