1、高考数学(浙江专用),7.4 基本不等式及不等式的应用,考点一 基本不等式 (2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是 . 答案,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,解析 b2+c22bc,即2(b2+c2)b2+c2+2bc=(b+c)2,b2+c2 ,由a+b+c=0,得b+c=-a,由a2+ b2+c2=1,得1-a2=b2+c2 = ,a2 ,- a , 故a的最大值为 .,考点二 不等式的综合应用 1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)= |sin 2x|,ai=
2、 ,i=0,1,2,99.记Ik=|fk(a1)- fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3,则 ( ) A.I1I2I3 B.I2I1I3 C.I1I3I2 D.I3I2I1,答案 B ai0,1,且a0a1a99,而f1(x)在0,1上为增函数,故有f1(a0)f1(a1)f1(a99),则I1= f1(a1)-f1(a0)+f1(a2)-f1(a1)+f1(a99)-f1(a98)=f1(a99)- f1(a0)=f1(1)-f1(0)=1. f2(x)在 上为增函数,在 上为减函数,而a49 a50,且a49+a50=1,即有f
3、2(a49)=f2(a50),故I2=f2(a1)- f2(a0)+f2(a50)-f2(a49)+f2(a50)-f2(a51)+f2(a98)-f2(a99)=f2(a50)-f2(a0)+f2(a50)-f2(a99)=2f2 -f2(0)-f2(1)=4 = =1- (0,1).,f3(x)在 上为增函数,在 上为减函数,在 上为增函数,在 上为减函数,即f3(x) 在a0,a24上为增函数,在a25,a49上为减函数,在a50,a74上为增函数,在a75,a99上为减函数.又f3(a24) = = sin , f3(a25)= = sin ,则f3(a25)f3(a24).f3(a4
4、9)= = sin ,f3(a50)= = sin ,即有f3(a49)=f3(a50).f3(a74)= = sin , f3(a75)= = sin = sin f3(a74). 故有f3(a0)f3(a1)f3(a24)f3(a25),f3(a25)f3(a26)f3(a49)=f3(a50), f3(a50)f3(a75)f3(a99). 从而I3=f3(a1)-f3(a0)+f3(a25)-f3(a24)+f3(a25)-f3(a26)+f3(a49)-f3(a50)+f3(a51)- f3(a50)+f3(a74)-f3(a73)+f3(a74)-f3(a75)+f3(a98)-f
5、3(a99)=f3(a25)-f3(a0)+f3(a25)-f3(a50)+ f3(a74)-f3(a50)+f3(a74)-f3(a99)=2f3(a25)-2f3(a50)+2f3(a74)-f3(a0)-f3(a99)= - + = sin - sin + sin = . 而sin sin = ,sin = 1. 所以I2I1I3.,2.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+ ,x0,1.证明: (1)f(x)1-x+x2; (2) ,所以f(x) . 综上, f(x) .,疑难突破 (1)将证明f(x)1-x+x2转化为证明1-x+x2-x3 成立,而左边= = =右边
6、,从而问题得证. (2)运用放缩思想,由0x1x3x,从而f(x)=x3+ x+ ,而x+ =x+ - + =+ ,由(1)及f = 得f(x) ,从而问题得证.,考点一 基本不等式 1.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交 AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 .,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,解析 本题考查基本不等式及其应用. 依题意画出图形,如图所示.易知SABD+SBCD=SABC, 即 csin 60+ asin 60= acsin 120, a+c=ac, + =1, 4a+c=(4a+c) =
7、5+ + 9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”. 一题多解1 作DECB交AB于E, BD为ABC的平分线,答案 9, = = , DECB, = = = , = , = . = + . = , 1= + +2 | | | , 1= ,ac=a+c, + =1,4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”. 一题多解2 以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(1,0).AB=c,BC=a, A ,C . A,D,C三点共线, , + c =0, ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当
8、 = ,即a= ,c=3时取“=”.,2.(2018天津文,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 . 答案 解析 本题主要考查运用基本不等式求最值. a-3b+6=0,a-3b=-6, 2a+ =2a+2-3b2 =2 =2 = . 当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+ 取得最小值,为 . 易错警示 利用基本不等式求最值应注意的问题: (1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件.,3.(2017山东文,1
9、2,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .,答案 8,解析 本题考查基本不等式及其应用. 由题设可得 + =1,a0,b0, 2a+b=(2a+b) =2+ + +24+2 =8 . 故2a+b的最小值为8.,4.(2017天津文,13,5分)若a,bR,ab0,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题考查基本不等式的应用. a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立), =4ab+ , 由于ab0,4ab+ 2 =4 当且仅当4ab= 时“=”成立 , 故当且仅当 时, 的最小值为4. 规律方法 利用基本不等式求最值,若需多次
10、应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须 一致.,5.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .,答案 8,解析 sin A=2sin Bsin C, sin(B+C)=2sin Bsin C, 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C) =- = , 又ABC为锐角三角形, tan A= 0,tan B+tan C0,tan Btan C1, tan Atan Bta
11、n C= tan Btan C = , 令tan Btan C-1=t,则t0,tan Atan Btan C= =2 2(2+2)=8,当且仅当t= , 即tan Btan C=2时,取“=”. tan Atan Btan C的最小值为8.,考点二 不等式的综合应用 1.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)= 设aR,若关于x的不等式f(x) 在R上 恒成立,则a的取值范围是 ( ) A. B. C.-2 ,2 D.,答案 A 本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题. 当x1时,关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于-x2+x-3 +ax2-x+3在R上恒成 立,即有-x2+
12、x-3ax2- x+3在R上恒成立.由y=-x2+ x-3图象的对称轴为x= ,可得在x = 处取得最大值- ;由y=x2- x+3图象的对称轴为x= ,可得在x= 处取得最小值 ,则 - a .,当x1时,关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于- +ax+ 在R上恒成立, 即有- a + 在R上恒成立,由于x1,所以- -2 =-2 ,当且仅当x=时取得最大值-2 ;因为x1,所以 x+ 2 =2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2 a2. 由可得- a2,故选A. 思路分析 讨论当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+ x-3ax2- x+3,再由二次函数的最值求法,
13、可得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得- a + ,再利 用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.,2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总 存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .,答案 30,解析 本题考查基本不等式及其应用. 设总费用为y万元,则y= 6+4x=4 240. 当且仅当x= ,即x=30时,等号成立.易错警示 1.a+b2 (a0,b0)中“=”成立的条件是a=b.,2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.,3.(2014重庆,16,5分)
14、若不等式|2x-1|+|x+2|a2+ a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围 是 .,答案,解析 令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min= ,依题意得a2+ a+2 -1a .,4.(2015课标,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|cd得( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得 + + . (ii)若 + + , 则( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 .,因为a+b=c+d,所以abcd.于是 (a-b)2=
15、(a+b)2-4ab + 是|a-b|c-d|的充要条件.,5.(2015湖南,16(3),6分)设a0,b0,且a+b= + .证明: (1)a+b2; (2)a2+a0,b0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2 =2,即a+b2. (2)假设a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1 矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,评析 本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.,考点一 基本不等式 1.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),9)已知x+y= + +8(x,y0),则x+y的最小值为 ( ) A.5 B.9 C
16、.4+ D.10,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案 B x+y= + +8x+y-8= + (x+y-8)(x+y)= (x+y)=5+ + +45+2 = 9,当且仅当 = ,即y=2x时等号成立. 令t=x+y,则(t-8)t9t2-8t-90(t+1)(t-9)0t-1或t9. 因为x,y0,所以t0,所以t9.故选B.,2.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x0,y0),则x+2y的取值范围为 .,答案 -2,-1),解析 由1=x2+4y2-2xy知1+6xy=(x+2y)2,所以(x+2y)2=1+6xy=1+3x2y
17、1+3 ,所以(x+2y)2 4,故-2x+2y2,又x1,故x+2y-1,因此-2x+2y-1.,3.(2017浙江镇海中学模拟卷三,15)已知正实数a,b,c满足a(a+b+c)=bc,则 的最大值是 .,答案,解析 由基本不等式知,a(a+b+c)=bc ,即a2+(b+c)a- 0,即 + - 0, 所以 ,所以0 ,因此 的最大值是 .,4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为 .,答案 55,解析 由题知,xy+5x+4y=(xy+2x+3y)+3x+y=42+3x+y, 而(x+3)(y+2)=48,因
18、此144=(3x+9)(y+2) ,因此3x+y13,当且仅当3x+9=y+2,即时,取等号.故xy+5x+4y=42+3x+y55,则xy+5x+4y的最小值为55. 一题多解 因为正实数x,y满足xy+2x+3y=42,所以y= ,其中0x21. 则xy+5x+4y=3x+ +42=3 +3132 +31=55, 当且仅当 即 时,取等号. 所以xy+5x+4y的最小值为55.,考点二 不等式的综合应用 1.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,10)已知a,b,cR,且a+b+c=0,abc,则 的取值 范围是 ( ) A. B. C.(- , ) D.,答案 A 由题可知a0,将c=
19、-(a+b)代入abc可得ab-(a+b),所以- 1. 所以 = = = . 当 =0时, =0; 当 时, =- ,设t= ,则t(-,-2), 此时 =- ; 当 (0,1)时, = , 设t= ,则t(1,+), 此时 = .,综上, 的取值范围是 ,故选A.,2. (2018浙江诸暨高三上学期期末,16)已知a,b都是正数,且a2b+ab2+ab+a+b=3,则2ab+a+b的最 小值等于 .,答案 4 -3,解析 将a2b+ab2+ab+a+b=3变形为(ab+1)(a+b+1)=4, 而2ab+a+b=2(ab+1)+(a+b+1)-32 -3=4 -3, 当且仅当 时取到等号.
20、,3.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4yx0,且 + m 恒成立,则m的最小值是.,答案 2,解析 由题意知,当4yx0时,m 恒成立. = + = = =2 (当且仅 当x=2y时等号成立),m2 ,故m的最小值为2 .,4.(2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得 = ,则实数x的最大值为 .,答案,解析 将条件变形为 - =4y+5x,易知 -5x=4y+ 4(当且仅当y=2时,等号成立),所以0,解得x(-,-1 ,故x的最大值为 .,一、选择题 1.(2018浙江宁波模拟(5月),10)已知x,y均为非负实数,且x+y1,则4x2+4y2+(1-x-y)2
21、的取值范围 为 ( ) A. B.1,4 C.2,4 D.2,9,B组 20162018年高考模拟综合题组 (时间：30分钟 分值：42分),答案 A 解法一:令 =z,则x+y+2z=1,满足x,y,z0,问题转化为求4(x2+y2+z2)的取值范围. 设点A ,B(1,0,0),C(0,1,0),点P(x,y,z)可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点,则| OP|2=x2+y2+z2,于是问题转化为求|OP|的取值范围. 显然|OP|1,|OP|的最小值为O到平面ABC的距离,可以利用等积法计算.因为VO-ABC=VA-OBC,于是 可以得到|OP| ,所以|OP|2 ,即4(x2+
22、y2+z2) .,解法二:因为x,y0,所以 x2+y2(x+y)2, 令t=x+y,则0t1. 4x2+4y2+(1-x-y)24t2+(1-t)2=5t2-2t+14. 当xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0时取等号. 另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)22t2+(1-t)2=3t2-2t+1 . 当x=y= 时取等号. 所以4x2+4y2+(1-x-y)2 .,2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x0,yR,则x+y的最小值是 ( ) A. B.3 C.1 D.2,答案 A 由x2+4xy-3=0,得y= ,即有x+y=x+ =
23、 .x0, x+ 2,即x+y , 当且仅当x= ,即x=1,y= 时,x+y取得最小值 .故选A.,3.(2016浙江镇海中学测试(三),4)已知2a+b+2ab=3,a0,b0,则2a+b的 ( ) A.最大值为2 B.最大值为3- C.最小值为2 D.最小值为3-,答案 C a0,b0,3-(2a+b)=2ab , 即(2a+b)2+4(2a+b)-120,2a+b2,故选C.,二、填空题 4.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),16)已知x3y0或x3y0,则(x-2y)2+ 的最小值 是 .,答案 8,解析 (x-2y)2+ (x-2y)2+ =(x-2y)2+ 8,当4y=x
24、,x-2y=2时取等号.,5.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),15)已知a0,b0,ab+2a+b-3=0,则 + 的最小值 为 .,答案,解析 由ab+2a+b-3=0可得(a+1)(b+2)=5,故 + 2 = ,当且仅当 =时取等号.,6.(2018浙江台州第一次调考(4月),14)若实数x,y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32,则x+2y的最小值为 , (x+2y)+2xy的最大值为 .,答案 -4 ;16,解析 将x2+4y2+4xy+4x2y2=32整理,得(x+2y)2+(x2y)2=32, 设 则 作出可行域.显然u的最小值为-4 .设 (x+2y)+2xy=
25、t,即 u+v=t, 当 u+v-t=0与圆u2+v2=32相切时, u+v取得最值,此时 =4 ,解得t=16或t=-16(舍),所以,u+v的最大值为16.,评析 我们也可以利用柯西不等式求 u+v的最大值, u+v =16,当且仅当= = =2,即u=2 ,v=2时取等号.,7.(2017浙江五校联考(5月),17)设实数x0,y0,且x+y=k,则使不等式 恒 成立的k的最大值为 .,答案 2,解析 解法一:设x=m+t,y=m-t,其中m= ,0tm. 则原不等式化为 ,所以t2 恒成立. 由 0,解得0m22+ ,所以m2的最大值为2+ ,所以k的最大值为2 . 解法二:由基本不等
26、式,知k=x+y2 ,所以xy , 当且仅当x=y= 时,等号成立.=xy+ + -2=xy+ -2,因此有 , 故k4-16k2-160,解得k24 +8,因此k的最小值为2 .,8.(2017浙江镇海中学模拟卷四,16)已知正数x,y满足 + =1,则 + 的最大值是 .,答案,解析 设u= ,v= ,则问题转化为“已知正数u,v满足u+2v=1,求 + 的最大值”.+ =3- =3- (u+1)+2(v+1)=3- 3- (5 +4)= . 当且仅当 = ,即u=v= 时,取等号.,9.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足 则xyz的最小值为 .,答案 9 -32,解析 将 变形为 由|xy| 知,|1-2z| ,即- 1-2z ,解得2- z -2. 所以xyz=(1-2z)z=-2z2+z在2- , -2上的最小值为9 -32.,10.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,16)已知正数a,b满足3a+b=14,则 + 的最小 值为 .,答案 3,解析 由a,b0,得 + a, + b, 所以 + a+b- = =3, 当且仅当 即a=4,b=2时取等号. 故 + 的最小值为3.,
