1、智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 1知识内容1 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 来表示，并且 是随着试验的XX结果的不同而变化的，我们把这样的变量 叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 表示,XY如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 为离散型随机变量离散型随机变量的分布列将离散型随机变量 所有可能的取值 与该取值对应的概率 列表表示：ixip(1,2,)nX12 ix nxPp i我们称这个表为离散型随机变量 的概率分布，或称为离散型随机变量 的分布列X2几类典型的随机分布两点分布如果随机变量 的分
2、布列为XX10Ppq其中 ， ，则称离散型随机变量 服从参数为 的二点分布01pqpXp二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 ，不合格记为 ，已知产品的合格率10为 ，随机变量 为任意抽取一件产品得到的结果，则 的分布列满足二点分布8%X10P.82两点分布又称 分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分01布又称为伯努利分布超几何分布一般地，设有总数为 件的两类物品，其中一类有 件，从所有物品中任取 件NMn，这 件中所含这类物品件数 是一个离散型随机变量，它取值为 时的概率()nN nXm为， 为 和 中较小的一个 C()mMNnPX(0l n)我们称离散型随
3、机变量 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 服从参数为 ，X XN， 的超几何分布在超几何分布中，只要知道 ， 和 ，就可以根据公式求出Nn数学期望智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 2取不同值时的概率 ，从而列出 的分布列X()PXmX二项分布1独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果 及 ，并且事件 发生的概率相同在相AA同的条件下，重复地做 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为 次n n独立重复试验 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为k()C(1)kknnPp(0,12,)n2二项分布若将事件 发生的次数设为 ，事件 不发生的概
4、率为 ，那么在 次独立重复AXA1qpn试验中，事件 恰好发生 次的概率是 ，其中 于k()CknkP0,12,是得到 的分布列X01 PCnpqn knkpq 0Cnpq由于表中的第二行恰好是二项展开式 01 0() Cnnnknknqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量 服从参数为 ， 的二项分布，X记作 ,XBp二项分布的均值与方差：若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则np， ()En()Dxnq(1)正态分布1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 ，则这条曲线称为
5、 的概率密度曲线XX曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 ，而随机变量 落在指定的两1X个数 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积ab，2正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量正态变量概率密度曲线的函数表达式为 ，2()1()xfxe，其中 ， 是参数，且 ， xR0式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差期望为 、标准差为 的正态分布通常记作 2(,)N正态变量的概率密度函数的图象叫做正
6、态曲线标准正态分布：我们把数学期望为 ，标准差为 的正态分布叫做标准正态分布01重要结论：正态变量在区间 ， ， 内，取值的概率(,)(2,)(3,)分别是 ， ， 68.3%95.4.7正态变量在 内的取值的概率为 ，在区间 之外的取值的概()1()，x=Oyx智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 3率是 ，故正态变量的取值几乎都在距 三倍标准差之内，这就是正态分布的0.3%x原则若 ， 为其概率密度函数，则称 为概率分2()N， (fx()()xFxPftd布函数，特别的， ，称 为标准正态分布函数201)N， 21()txed()()xP标准正态分布的值可以通过标准
7、正态分布表查得分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可3离散型随机变量的期望与方差1离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量 所有可能的取的值是 ， ， ，这些X1x2nx值对应的概率是 ， ， ，则 ，叫做这个离散型随1p2np12()nExpp机变量 的均值或数学期望（简称期望） X离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平2离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量 所有可能取的值是 ， ， ，这些值对应的X1x2nx概率是 ， ， ，则 叫1p2np2 21()()()()nDxEpEpEp做这个离散型随机变量 的方差离散型
8、随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度） 的算术平方根 叫做离散型随机变量 的标准差，它也是一个衡量离散型随()DX()xX机变量波动大小的量3 为随机变量， 为常数，则 ；ab， 2()()()()EabbDaX，4 典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量 的期望取值为 ，在 次二pn点分布试验中，离散型随机变量 的期望取值为 Xnp二项分布：若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则 ，()E()Dxnpq(1)超几何分布：若离散型随机变量 服从参数为 的超几何分布，NM，则 ， ()MEXN2()1nN4事件的独立性
9、如果事件 是否发生对事件 发生的概率没有影响，即 ，AB(|)(PBA这时，我们称两个事件 ， 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件如果事件 ， ， 相互独立，那么这 个事件都发生的概率，等于每个事件发12nAn生的概率的积，即 ，并且上式中任意多个1212()()()n nPPA 事件 换成其对立事件后等式仍成立i5条件概率对于任何两个事件 和 ，在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率叫做条件ABAB智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 4概率，用符号“ ”来表示把由事件 与 的交（或积） ，记做 （或(|)PBAABDAB） DA典例分析【例 1】 某种种子每
10、粒发芽的概率都为 ，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每0.9粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 ，则 的数学期望为（ ）XA100 B200 C300 D400【例 2】 某射手射击所得环数 的分布列如下：7 8 9 10Px0.10.3y已知 的期望 ，则 的值为 8.9Ey【例 3】 随机变量 的概率分布率由下图给出：x78910P0.3.50.2.5则随机变量 的均值是_；【例 4】 甲、乙两人各进行 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概312率为 ，求：23 记甲击中目标的次数为 ， 的概率分布及数学期望； 乙至多击中目标 次的概率；2 甲恰好比乙多击中目
11、标 次的概率【例 5】 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 的函数： R， ， ， ， ， 1fx22fx33fx4sinfx5cosfx62fx现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 5的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望【例 6】 设 是不等式 的解集，整数 S260x mnS， 记使得“ 成立的有序数组 ”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件；mn， 设 ，求 的分布列及其数学期望 2E【例 7】 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到
12、达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止令 表示走出迷宫所需的时间 求 的分布列； 求 的数学期望【例 8】 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 6家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专
13、家评审的概率均为 ，复审的稿件能通0.5过评审的概率为 ，各专家独立评审0.3求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；记 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 的分布列及期望X X【例 9】 如图，由 到 的电路中有 4 个元件，分别标为 ， ， ， ，电流能通过MN1T234T， ， 的概率都是 ，电流能通过 的概率是 电流能否通过各元件相1T23p40.9互独立已知 ， ， 中至少有一个能通过电流的概率为 1T23 .求 ；p求电流能在 与 之间通过的概率； 表示 ， ， ， 中能通过电流的元件个数，求 的期望1234 NM T3T4T2T1【例 10】 某同学参加 3 门课程的
14、考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 ， （ ） ，且不同课程45 pq智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 7是否取得优秀成绩相互独立记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0 1 2 3p6125ad2415求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率；求 ， 的值；q求数学期望 E【例 11】 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶 ”或“谢谢购买” 字样，购买一瓶若其瓶盖 内印有“奖励一瓶” 字样即为中奖，中奖概率为 甲、乙、丙三位同学16每人购买了一瓶该饮料求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；求中奖人数 的分布列
15、及数学期望 E【例 12】 某射手每次射击击中目标的概率是 ，且各次射击的结果互不影响23假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标另外 2 次未击中目标的概率；假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记 为射手射击 3 次后的总的分数，求 的分布列【例 13】 如图，一个小球从 处投入，通过管道自上面下落到 或 或 ，已知小球MABC智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方
16、差. 题库 8从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 ， ， ，则分别设ABC为 1，2，3 等奖已知获得 1，2，3 等奖的折扣率分别为 ， ， ，记随机变量 为50%790获得 等奖的折扣率，求随机变量 的分布列及数学期望()k.E若有 3 人次（投入 1 球为 1 人次）参加促销活动，记随机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 (2)P (图19图图)C A BM【例 14】 在甲、乙等 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集6中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 ，1， ） ，求：
17、2甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；甲、乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与期望【例 15】 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 9元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地10停在任一位置 若指针停在 区域返券 元；停在 区域返券 元；停在 区A60B30C域不返券 例如：消费 元，可转动转盘 次，所获得的返券金额是两次金额2182之和若某位顾客消费 元，求返券金额不低于 元的概率；3若某位顾客恰好消费 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为0（元） 求随机变量 的
18、分布列和数学期望XX【例 16】 如图，两个圆形转盘 ，每个转盘阴影部分各占转盘面积的 和 某,AB124“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到 转盘阴影部分时，分别赢得积分,分和 分先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转1020另一个转盘，此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动记先转 转盘最终所得积分为随机变量 ，则 的取值分别是多少？AX如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 10【例 17】 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行 4 轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者 进入下一
19、轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 、 、 、 ，且各 轮问题能否正确回答互不影响56431求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；求该选手至多进入第三轮考核的概率；该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列和期XX望【例 18】 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是 两人投篮 3 次，且第一1,32次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响求 3 次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；若投篮命
20、中一次得 1 分，否则得 0 分，用 表示甲的总得分，求 的分布列和数学期望智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 11【例 19】 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件 个，是否加工出精品均互不影2响已知师父加工一个零件是精品的概率为 ，师徒二人各加工 个零件都是精32品的概率为 1.9求徒弟加工 个零件都是精品的概率；2求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；设师徒二人加工出的 个零件中精品个数为 ，求 的分布列与均值 4E【例 20】 某公司要将一批海鲜用汽车运往 城，如果能按约定日期送到，则公司可获A得销售收入 万元，每提前一天送到，或多获得 万元，每迟到一天送到，将
21、少301获得 万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线1只能选择公路 或公路 中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示2记汽车走公路 1 时公司获得的毛利润为 （万元） ，求 的分布列和数学期望；E假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润 销售收入 运费）统计信息汽车行驶路线 不堵车的情况下到达所需时 间（天） 堵车的情况下到达所需时间（天） 堵车的概率 运费（万 元）公路 1 2 3 101.6公路 2 1 4 20.8智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 12【例 21】 袋中装有标有数字 的小球各 个
22、，从袋中任取 个小球，每个小球被1,23433取出的可能性都相等求取出的 个小球上的数字互不相同的概率；3用 表示取出的 个小球上所标的最大数字，求随机变量 的分布列和均值X X【例 22】 袋子里有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球，今从袋子里随机取球若有放回地取 3 次，每次取 1 个球，求取出 1 个红球 2 个黑球的概率；若无放回地取 3 次，每次取 1 个球求在前 2 次都取出红球的条件下，第 3 次取出黑球的概率；求取出的红球数 的分布列和均值（即数学期望） X【例 23】 一个盒子中装有 张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是 、5 1、 、 、 ，现从盒子中随机抽取卡片2
23、34 若从盒子中有放回的取 次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数3字为偶数的概率； 若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数 的分布列和期望X智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 13【例 24】 某学校高一年级开设了 五门选修课为了培养学生的兴趣爱好，,ABCDE要求每个学生必须参加且只能选修一门课程假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；设随机变量 为甲、乙、
24、丙这三名学生参加 课程的人数，求 的分布列与XAX数学期望【例 25】 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有 个白球和 个黑球，所有球除颜色外5无任何不同，每次从中摸出 个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖2 求仅一次摸球中奖的概率； 求连续 次摸球，恰有一次不中奖的概率；2 记连续 次摸球中奖的次数为 ，求 的分布列3智康高中数学.板块三. 离散型随机变量的期望与方差. 题库 14【例 26】 为保护水资源，宣传节约用水，某校 4 名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立求 4 人恰好选择了同一家公园的概率；设选择甲公园的志愿者的人数为 ，试求 的分布列及期望X【例 27】 在一次考试中共有 8 道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有且只有一个选项是正确的某考生有 4 道题已选对正确答案，其余题中有两道只能 分别判断 2 个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜 求该考生 8 道题全答对的概率；若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得 5 分，不选或选错得 0 分” ，求该考生所得分数的分布列
