1、3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！开锁次数的数学期望和方差例 有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开用它们去试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放回求试开次数的数学期望和方差分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第 k 次打开不过，一般我们应)(kP1k从简单的地方入手，如 ，发现规律后，推广到一般3,21解： 的可能取值为 1，2，3，n ;1212)1()1)3( ;2,)1( nnnnPn nkkk 123)( ；所以 的分布
2、列为：1 2 k nPn 1；2312nE nnknD 1)2(1)2()3()()( n222 131124)()()1(62 nn说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键次品个数的期望3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！例 某批数量较大的商品的次品率是 5，从中任意地连续取出 10 件， 为所含次品的个数，求 E分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率
3、都是 0.05， 可能取值是：0，1，2，1010 次抽取看成 10 次独立重复试验，所以抽到次品数 服从二项分布，由公式 可得解npE解：由题， ，所以 05.,1B5.0.1E说明：随机变量 的概率分布，是求其数学期望的关键因此，入手时，决定 取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点此题 ，应觉kkkCP1010)5.().)(察到这是 05.,1B根据分布列求期望和方差例 设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求 值，并求 q D E、1 0 1P 2 2分析：根据分布列的两个性质，先确定 q 的值，当分布列确定时， 只须按定D E、义代公式即可解： 离散型随机变量的分布满足（1） ,
4、32,10 i Pi （2） .所以有 解得 .1,20q .21q 故 的分布列为3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！1 0 1P 2231)(021)(E .23 23)1()2()1()1( 2D3)2()2( .12163 小结：解题时不能忽视条件 时， ， 否则取了iipkP)(0i ,21q的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算产品中次品数分布列与期望值例 一批产品共 100 件，其中有 10 件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取 5 件，求在抽取的
5、这 5 件产品中次品数分布列与期望值，并说明 5 件中有 3 件以上（包括 3 件）为次品的概率 （精确到 0001）分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在 3 件以上的概率是 3，4，5 三种情况的和解：抽取的次品数是一个随机变量，设为 ，显然 可以取从 0 到 5 的 6 个整数抽样中，如果恰巧有 个（ ）次品，则其概率为k 5,4321,05109)(CkP按照这个公式计算，并要求精确到 0001，则有 .0)5( ,)4( ,7.)3( ,723.8 PP 故 的分布列为 0 1 2 3 4 5P 0.583 0.340 0.070 0.007 0 03eud 教育网 http
6、:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！.501047.30.234.158.0 E 由分布列可知， .7)( ,P这就是说，所抽取的 5 件品中 3 件以上为次品的可能性很小，只有 7评定两保护区的管理水平例 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区： 0 1 2 3P0.3 0.3 0.2 0.2乙保护区： 0 1 20.1 0.5 0.4试评定这两个保护区的管理水平分析：一是要比较一下甲、乙两个保护
7、区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小 （当然，亦可计算其标准差，同样说明道理 ）解：甲保护区的违规次数 的数学期望和方差为：1;3.120.23.0.1 E ;21.0)3.1(2.0)()()( 2D乙保护区的违规次数 的数学期望和方差为：2;3.1405.1.02 E；41.0).2(5)()3(22 D因为 ，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，2121,D但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动（标准差 这两个值在科学计算器上容易获得，64.0,.2211 显然， ）3e
8、ud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等） ，这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差） 方差大说明随机变量取值分散性大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差例 某射手进行射击练习，每射击 5 发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完 5 发子弹后才能进入下
9、一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为 0.8，求在这一组练习中耗用子弹数 的分布列，并求出 的期望 与方差 （保留两位小数） E D 分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解解： 该组练习耗用的子弹数 为随机变量， 可以取值为 1，2，3，4，51，表示一发即中，故概率为 ;8.0)1(P 2，表示第一发未中，第二发命中，故 ;16.2.).()2( 3，表示第一、二发未中，第三发命中，故 ;032.8.0)8.1()3( 22P 4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故 64.2.).()4( 33 5，表示第五发命中，故
10、.01.1)8.0()5(44P 因此， 的分布列为1 2 3 4 5P 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016016.56.04.36.028.1 E ,282593eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！016.)25.(064.)25.14(03.)25.1(6.0)25.1(8.0)25.1( D 489说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解对应的概率准备礼品的个数例 某寻呼台共有客户 3000 人，若寻呼台准备了 100
11、 份小礼品，邀请客户在指定时间来领取假设任一客户去领奖的概率为 4问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？分析：可能来多少人，是一个随机变量 而 显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行解：设来领奖的人数 ，所以)30,21(,k，可见 ，所以，kkCP3030)4.).()( 04.,B（人） （人） 124E答：不能，寻呼台至少应准备 120 份礼品说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题数字期望反映了随机变量取值的平均水平用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值因此，要想到用期望来解决这一问题
