1、1第 9 讲 随机变量的数学期望与方差教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。教学重点：1随机变量的数学期望2随机变量函数的数学期望3数学期望的性质4方差的定义5方差的性质教学难点：数学期望与方差的统计意义。教学学时：2 学时。教学过程：第三章 随机变量的数字特征3.1 数学期望在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么 X 的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变
2、量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。1离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量，如何定义 X 取值的平均值呢？若统计 100 天，32 天没有出废品，30 天每天出一件废品，17 天每天出两件废品，21 天每天出三件废品。这样可以得到这 100 天中每天的平均废品数为 27.10317203120这个数能作为 X 取值的平均值吗？2可以想象，若另外统计 100 天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的 100 天一般不会完全相同，这另外 1
3、00 天每天的平均废品数也不一定是1.27。对于一个随机变量 X，若它全部可能取的值是 ， 相应的概率为 ,21x，则对 X 作一系列观察(试验)所得 X 的试验值的平均值是随机的。但是，如,21P果试验次数很大，出现 的频率会接近于 ，于是试验值的平均值应接近kxKP1kpx由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义 1 设 X 是离散随机变量，它的概率函数是 ,21,)()kPxXxpKk如果 收敛，定义 X 的数学期望为1|kkx 1)(kpxE也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。例 1 某人的一串钥匙上有 n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串
4、钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望。解 设试开次数为 X，则， nkp1)(n,2 于是 nkE1)()(12. 连续随机变量的数学期望为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设 X 是连续随机变量，其密度函数为 ，把区间 分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量 X 落在任)(xf ) ,(3意小区间 内的概率，则有 ,(dx=)(dxXpdxtf)(dxf)(由于区间 的长度非常小，随机变量 X 在 内的全部取值都可近似为 ,(x ,，而取值的概率可近似为 。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引xxf)(入连续随机变量数学期望的定义。定义
5、2 设 X 是连续随机变量，其密度函数为 。如果)(xfdx|收敛，定义连续随机变量 X 的数学期望为 fE)()(也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。由连续随机变量数学期望的定义不难计算：若 ，即 X 服从 上的均匀分布,则),(baUX) (ba2baE若 X 服从参数为 的 泊 松 分 布 ， 则)(X若 X 服从 则 ),(2N)(E3.随机变量函数的数学期望设已知随机变量 X 的分布，我们需要计算的不是随机变量 X 的数学期望，而是 X的某个函数的数学期望，比如说 的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变)(g量函数的数学期望计算问题。一种方法是，因为 也是随机变量
6、，故应有概率分布，它的分布可以由已知)(X的4X 的分布求出来。一旦我们知道了 的分布，就可以按照数学期望的定义把)(Xg计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数 的分布，一般是比较)(gE )(Xg复杂的。那么是否可以不先求 的分布，而只根据 X 的分布求得 呢？答案)( )(E是肯定的，其基本公式如下：设 X 是一个随机变量， ，则)(XgY连 续离 散XdxfpEkk,)()()(1当 X 是离散时, X 的概率函数为 ； ,21 ,( kPxPKk当 X 是连续时，X 的密度函数为 。)f该公式的重要性在于，当我们求 Eg(X)时,不必知道 g(X)的分布，而只需知道X 的分布就可
7、以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。4.数学期望的性质（1）设 C 是常数，则 E(C)=C 。（2）若 k 是常数，则 E(kX)=kE(X)。（3） 。) XE(2121推广到 n 个随机变量有 。niiniiE11)(（4）设 X、Y 相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y)。推广到 n 个随机变量有 niinii115.数学期望性质的应用例 2 求二项分布的数学期望。解 若 ，则 X 表示 n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们),(pnBX来求 X 的数学期望。若设5i=1,2， n次 试 验 失 败如 第 次 试 验 成 功如 第 iXi01则 ， 因为 ，n
8、21 PXi)1( qPXi 1)0(所以 ，则pqEi )()(EnpEniinii11)(可见，服从参数为 n 和 p 的二项分布的随机变量 X 的数学期望是 np 。需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。例 3 设随机变量 X 服从柯西分布,概率密度为xxf,)()1(2求数学期望 。)(E解 依数学期望的计算公式有dxX12)(因为广义积分 不收敛，所以数学期望 不存在。dx12 )(XE3.2 方差前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均
9、值附近的离散程度，这就是我们要学习的方差的概念。1. 方差的定义 定义 3 设随机变量 X 的数学期望 存在，若 存在，则称)(XE)(2XE(3.1)2为随机变量 X 的方差，记作 ，即 。)(D)()(2方差的算术平方根 称为随机变量 X 的标准差，记作 ，即X)(X6)()(XD由于 与 X 具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。)(方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若 X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若 X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差 =0，则随机变量 X 以概率 1 取常数值。)(D由定义 1 知，方差是随机变量 X 的
10、函数 的数学期望，故2)()(XEg连 续 时当 离 散 时当dxfExpXkk ,)()(21当 X 离散时, X 的概率函数为 ； ,21 ,)kPXPKk当 X 连续时，X 的密度函数为 。)(xf计算方差的一个简单公式：22)()XEXD证 2222)()()XEx请用此公式计算常见分布的方差。例 4 设随机变量 X 服从几何分布，概率函数为, k=1,2,n1)(kpP其中 0p1，求 。)(D解 记 q =1-p1)(kXE1)(kq1)(kp)(qp1+E(X)122)(kp)(11kk1(k7pq1)(pq1)(23222)()XEXD22. 方差的性质（1）设 C 是常数,则
11、 D(C)=0。（2）若 C 是常数,则 。)()2X（3）若 与 独立，则XY。)()(YDY证 由数学期望的性质及求方差的公式得)( )(2)()()( 22222YDXYEEXxXED可推广为：若 , ， ， 相互独立，则12nniiiiX11)(niiniiDCD121)(（4） D(X)=0 P(X= C)=1， 这里 C =E(X)。请同学们思考当 与 不相互独立时， Y?Y下面我们用例题说明方差性质的应用。例 5 二项分布的方差。解 设 , 则 X 表示 n 重贝努里试验中的“成功” 次数。)(pnBX若设i=1,2， n次 试 验 失 败如 第 次 试 验 成 功如 第 ii018则 是 n 次试验中“成功”的次数， ，故niiX1 pqXEi 10)(， )()()( 222 ppXEDiii ,2in由于 相互独立，于是 = np(1- p)。n,21 niiD1)(例 6 设随机变量 X 的数学期望 与方差 都存在， ,则)(XE(2X0)(X标准化的随机变量)(*证明 , 。0)(*XE1)(*D证 由数学期望和方差的性质知_()*()22()(0) 1()()XEXD
