1、用二分法求方程的近似解山东省枣庄市薛城舜耕中学高中数学组 李勇教学目标 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一教学重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识教学难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解教材分析本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函
2、数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与 轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.学情分析通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联
3、系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板 4.06 中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握 Microsoft Excel 软件一些基本的操作.教学媒体分析多媒体微机室、Authorware7.02 中文版、几何画板 4.06 中文版、Microsoft Excel、QBASIC 语言应用程序教学方法动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践教学环节设计流程图教学设计理念1.构建共同基础，提供发展平台；2.提供多样解法，
4、适应个性选择；3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式；4.注重提高学生的数学思维能力；5.发展学生的数学应用意识；6.与时俱进地认识“双基”；7.强调本质，注意适度形式化；8.体现数学的文化价值；9.注重信息技术与数学课程的整合；10.建立合理、科学的评价体系.教学过程与操作设计：环节教学内容设计 师生双边互动 信息技术应用情境导航中外历史上的方程求解在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的 解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数 的零点（即 的根），对于 为一次或二次函数，我们有
5、熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在九章算术，北宋数学家贾宪的黄帝九章算法细草，南宋数学家秦九韶的数书九章中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果1824 年，挪威年轻数学家阿贝尔（N. H. Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解1828 年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函
6、数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入课题生：感受到数学文化方面的熏陶，最大限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性.Authorware7.02课件展示探索发这节课就让我们来共同学习一下 3.1.2用二分法求方程的近似解想一想我们已经知道，函数 在区间（2，3）师：一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通几何画板 4.06中文版演示计算现内有零点，且 0，
7、 0.进一步的问题是，如何找出这个零点？做一做第一步：取区间(2，3)的中点 2.5，用计算器算得 (2.5)0.084.因为 (2.5) 0，所以零点在区间(2.5，3)内. 第二步：取区间(2.5，3)的中点 2.75，用计算器算得(2.75)0.512. 因为 (2.5) (2.75)0，所以零点在区间(2.5，2.75)内. 结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见下表和图)过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.师：引导学生分析理解求区间 ， 的中点的方法生：用计算器算得(2.5
8、)0.084(2.75)0.512结果探索发现师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.例如，当精确度为 0.01 时，由于|2.53906252.53125|=0.00781250.01，所以，我们可以将=2.53125 作为函数零点的近似值，也即方程Authorware7.02课件展示根的近似值.探索发现议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数 零点近似值的步骤吗？1.二分法的意义对于在区间 ， 上连续不断且满足 0 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的 区间一分为二，使区
9、间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)2.给定精确度 ，用二分法求函数 零点近似值的步骤如下：(1)确定区间 ， ，验证 0，给定精确度；(2)求区间 ， 的中点 ； (3)计算 ： 师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤师：分析条件“ 0”、“精确度 ”、“区间中点”及“ ”的意义生：结合求函数在区间（2，3）内的零点，理解二分法的算法思想与计算原Authorware7.02课件展示1 若 = ，则 就是函数的零点；2 若 0，则令 = （此时零点 ）；3 若 0，则令 = （此时零点 ）；(4)
10、判断是否达到精确度 ；即若 ，则得到零点近似值 （或 ）；否则重复步骤 2-4结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.思考：为什么由 ，便可判断零点的近似值为(或 )？理合由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助几何画板 4.06 中文版软件和 Microsoft Excel 软件来完成计算.我们还是以求函数 的零点为例学生在教师引导下操作师：第一步：打开几何画板 4.06 中文版软件.第二步：点击工具栏中的“图表”，选中“绘制新函数(Ctrl+G)”，或在工作区中点击右键，选中“绘制新函数”.几何画板 4.06中文版作探究第三步：在弹出的对话框
11、中输入，点击“确定”.环节教学内容设计 师生双边互动 信息技术应用合作探究第四步：观察函数图象，确定零点所在的大致区间为(2，3).几何画板 4.06中文版第五步:打开Microsoft Excel 软件第六步: 分别在单元格 A1、B1、C1 输入、 、精确度，在 C2 输入0.5，分别在 A2、A3输入 2、2.5，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值 4 时为止，完成自动填充.Microsoft Excel 软件环节教学内容设计 师生双边互动 信息技术应用合作探究第七步: 在 B2 单元格点击“粘贴函数”，输入函数值公式“=lnA2+2*A2-6”，
12、得到与 A2 相应的函数值.第八步:然后双击(或拖动)B2 的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，3)内. 第九步：重复上述操作：将 A1、B1、C1复制到 A7、B7、C7，把精确度设为 0.25，在 A8、B9 分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值 3.25时为止，完成自动填充.复制 B2 到 B8，得到与 A8 相应的函数值，然后双击(或拖动)B8 的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，2.75)内.Microsoft Excel 软
13、件环节教学内容设计 师生双边互动 信息技术应用合作探究结论：借助信息技术求方程近似解(函数零点)的步骤如下：1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间；2.利用然后用 Microsoft Excel 软件逐步计算解答第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于 0.01 为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.生：观察所得函数值，并且精确度为0.00781250.01，所以零点在区间(2.53125 ，2.5390625)内，=2.53125 可以为函数的零点.生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程近似解的方法，并进行讨论、交流、归纳、
14、概括、评析形成结论Microsoft Excel 软件学以致用例题：借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解(精确度 0.1)解：（略） 打开几何画板 打开 Excel尝试练习：1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数 的零点(精确度 0.1)师：首先利用几何画板 4.06 中文版软件画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间，然后用Microsoft Excel 软件逐步计算解答生：独立完成解答，并进行交流、讨论、评析Authorware7.02课件展示几何画板 4.06中文版Microsoft Excel 软件2. 借助计算器或计算机，用二分法求方程 的近似值(精确度 0.01)知识拓展我
15、们也可以借助 QBASIC 语言编写一定的程序来求方程的近似解.（精确到 0.01）程序框图：师：介绍学生感兴趣的计算机编程问题，渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔Authorware7.02课件展示环节教学内容设计 师生双边互动 信息技术应用知识拓展程序语句：INPUT “，=”；，DO=( + )/2=LOG( )+2* 6=LOG( )+2* 6打开 QBASIC 文件师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性QBASIC 语言应用程序IF * 0 THEN= ELSE=END IFLOOP UNTIL ABS( - ) OR =0PRINT END课后实践1.有兴趣的同学可以自学 QBASIC 语言或其他计算机语言，编写程序，来检验做题结果正确与否.2.查找有关资料或利用 Internet 查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？ 将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学论坛上.师：继续激发学生学习数学的热情；感受数学文化方面的熏陶；充分地利用学校资源进行后续学习和交流.Authorware7.02课件展示2009-09-09 人教网
