1、第二章 函数第 1 页 共 13 页2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法二分法教材分析 “二分法”是第一次进入高中教材，对教师来讲，教学内容是全新的，所体现算法的思想也是全新的，这就需要对“二分法”的本质和教材编写背景进行研究 “二分法”体现了现代信息技术与数学课程的整合，教学中要探索如何将数学教学与信息技术紧密结合，既要恰当渗透算法思想，又要合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台组织教学，这就需要对教学手段进行研究课程标准倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，有要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，在“二分法”教学中能否实践如何改善学生的学习方式教学目标
2、：1、知识与技能（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法； （2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。2、过程与方法（1）通过经历“用二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等。（2）能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备（3）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径。3、情感、态度、价值观（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。（2）在探究解
3、决问题的过程中，培养学生与人合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神。 教学重点难点：重点： 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识难点： 求方程近似解一般步骤的理解和概括。重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤。难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括。教学方法：问题情境式教学第二章 函数第 2 页 共 13 页教学手段：现代信息技术辅助教学教学过程与操作设计：一、复习引入问题 1:你会求哪种方程的解？教师直接以解方程的形式切入主题，多媒体展示数学史资料。让学生对本节课的学习有个清楚的认识，同时，数学史料的给出可以提高
4、学生的学习兴趣，丰富学生的知识。材料：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数 的零点（即 的根） ，)(xfy0)(xf对于 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式） )(xf在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于 4 次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于 3 次和 4 次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多
5、项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题复习：（1）方程的根与函数零点的关系（2）根的存在性定理旧知识的复习为本节课方程的求近似解提供依据。二、教学过程问题 2：如何求方程的近似解？环节 1：学生举例环节 2：师生探究教师利用几何画板做出方程所对应函数图象，学生观察图象。紧紧围绕学生所举方程展开教学，激发学生学习主动性，通过对具体方程解的探究，为学生归纳出二分法的步骤埋下伏笔。通过对探究任务的分解及几何画板作图，进一步分散难点，同时让学生体会数形结合的思想和信息技术的重要作用。下面我们从熟悉的一元二次方程入手，寻找一般的解决问题的方法（板书：
6、不解方程，求方程 x22x1=0 的一个正的近似解（精确到 0.1） ）探究 1.零点的初始区间的确定方法 1：试值法方法 2：图像法第二章 函数第 3 页 共 13 页师生共同从所画图象上选择一个最优区间，作为初始区间。利用多媒体动态展示，请学生讨论缩小区间的方法和过程，重点讲清原理。生：我画出了 f(x)= x22x1 的图象（见图 3） ，发现正根在区间（2，3）内师：为什么可以确定这个正根在区间（2，3）内？生（思考片刻）：因为 f(2)0， f(3)0，所以在区间（2，3）内必有一根师：同学把方程的根与函数图象与 x 轴的交点联系起来，并给出了合理的解释，分析得很好现在根的范围缩小了
7、很多，那么下一步我们该如何研究呢？学生们建议要进一步缩小区间 “如何缩小呢？” ，问题再一次把学生们推向了研究的前沿一番认真探索之后，有学生想表达他的观点探究 2.缩小区间的方法（逼近）找中点，二分区间。缩小区间、逼近零点”是二分法的核心环节，是本课的重点内容，通过学生思考、探究和互动，反复触碰这个核心，不断深化对重点的理解。生：先找区间的中点，把区间一分为二师：为什么？生：因为根必定在区间（2，2.5）或（2.5，3）内而由于 f(2)0， f(2.5)0，所以根必在区间（2，2.5）内师：同学们你们认为此法如何（众学生均表示赞同） 目标又进了一步，但还需努力，下面又该怎么办？受了上面方法的
8、启发，马上有学生建议能否依次类推于是师生按此法进一步探究，即先分区间，再判断，依次类推当根所在区间为（2.375，2.4375）时，由于在精确度0.1 的情形下，2.375 和 2.4375 的近似值即为 2.4至此问题终于得到了解决，为了进一步加深学生对上述方法的直观理解，教师又用线段表示区间（2，3） ，并演示线段不断被对折缩短的过程，即不断对分区间的过程（见图 4） 生：第一步画出图象观察根所在的区间；第二步对分区间：根据 f(a) f(b)0，来判断根所属的区间，并不断对分区间；第三步是根据所给精确度，当区间两端的近似值相等时，即可得出近似解师：归纳总结得很好同学们能否给这种求方程近似
9、解的方法取个名称生：对分法师：取得很好，很直观习惯我们把这种方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法本节课我们就来探讨如何用二分法来求方程的近似解 （随即，教师在黑yxO-1-2 2-231图 3第二章 函数第 4 页 共 13 页板上板书课题：用二分法求方程的近似解） 教师给出精度 的定义。探究 3.零点的精确化比如要求精确到 0. 1，结果是多少？为什么？师生共同完成学生所举例子，帮助学生规范解题格式。培养学生的探究意识，进一步感受精确与近似的相对统一；在经历解决问题的过程中获得方法，建构新知。探究 4：当区间达到精度时，区间内的每一个值都可以看成方程根的近似解，为什么？用区间端点做
10、近似解时取哪个端点更好？（再取一次中间值，体会零点离哪个端点更近）问题 3：什么是二分法？二分法：对于在区间 ， 上连续不断，且满足 的函数 ，通过ab)(afbf0)(xfy不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进)(xf而得到零点近似值的方法叫做二分法。问题 4：用二分法求零点近似值的步骤是什么？给定精度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：)(xf(1)确定区间 ， ，验证 ，给定精度 ；abab0(2)求区间 ， 的中点 ；()1(3)计算 ：1xf若 = ，则 就是函数的零点；0 +2 3 +2 2.5 3 +2 2.25 2.5 3 +2 2.
11、375 2.5 3 +2 2.375 2.475 3第二章 函数第 5 页 共 13 页若 0)5.1(f11， 1.5 0)5.(f11， 1.5 020.51.25，1.5 037.10.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步例 2借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到 ） 73x1.0解：（略） 思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？结论：图象在闭区间 ， 上连续的单调函ab数 ，在 ， 上至多有一个零点)(xf)师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范
12、方法、步骤与书写格式生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论环节 呈现教学材料 师生互动设计探究与发现3） 函数零点的性质从“数”的角度看：即是使 的实数；0)(xf从“形”的角度看：即是函数 的图象与轴交点的横坐标；x若函数 的图象在 处与 轴相切，)(xf0x则零点 通常称为不变号零点；0若函数 的图象在 处与 轴相交，f师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围第二章
13、函数第 12 页 共 13 页则零点 通常称为变号零点0x4） 用二分法求函数的变号零点二分法的条件 表明用二分法)(afbf0求函数的近似零点都是指变号零点尝试练习1） 教材 P106 练习 1、2 题；2） 教材 P108 习题 31（A 组）第 1、2 题；3） 求方程 的解的个数及其大致logx所在区间；4） 求方程 的实数解的个数；029.x5） 探究函数 与函数 的图y3xy3.0log象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过 的点1.作业回馈1） 教材 P108 习题 31（A 组）第 36 题、（B 组）第 4 题；2） 提高作业：已知函数 112)()2mx
14、xf（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个m交点？（2）如果函数的一个零点在原点，求 的值借助于计算机或计算器，用二分法求函数 2的零点（精确到 ） ；)(3xf 01.用二分法求 的近似值（精确到 ） 3环节 呈现教学材料 师生互动设计第二章 函数第 13 页 共 13 页课外活动查找有关系资料或利用 internet 查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois） ，增强探索精神，培养创新意识收获与体会说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？教学程序与环节设计：创设情境组织探究探索发现尝试练习作业回馈课外活动由二分查找及高次多项式方程的求问题引入二分法的意义、算法思想及方法步骤体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题二分法应用于实际1 二分法为什么可以逼近零点的再分析；2 追寻阿贝尔和伽罗瓦
