第二章 一元函数微分学.doc

1、第二章 一元函数微分学一元函数微分学在高等数学中占有重要地位，是考试的主要内容之一，应深入加以理解。在运算方面，应掌握导数的四则运算法则，以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等，并会求函数的微分。本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态，并能解决一些简单的应用问题。第三，微分中值定理是导数应用的基础，应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。2-1 导数和微分本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。导数与微分虽然是两个不同的概念，但它们之间也有关系： d()dfx。因此只要求出 ()fx的导数，由此关系式即可得到它的微分。所以，下面

2、主要是总结求函数的导数的方法。一、重要概念和重要公式1. 导数概念 000000()()lim.()()li .xxfxfffxff导 数 ：左 导 数 ： ，右 导 数 ：()fx在 处 可 导2. 导数的几何意义与物理意义 0 000()().1()()fyfxfxffyxxf 为 曲 线 在 点 ， 处 切 线 的 斜 率 ， 切 线 方 程 和 法 线 方程 分 别 为物 理 意 义 ： 导 数 可 表 示 为 质 点 的 即 时 速 度 ， 棒 状 物 质 的 线 密 度 ， 电 路 中 的电 流 强 度 ， 转 动 物 体 的 角 速 度 等 .3. 微分概念 0 00 000()

3、()()ddd0).()()().yfxfxyoyfxyyxff 若 函 数 在 处 可 微 即 可 导 ， 且 ， 则 与 的 关 系 ：由 于 ， ， 故 有 ， 且 ，均 为 的 一 阶 无 穷 小在 处 连 续 是 在 处 可 微 即 可 导 的 必 要 但 非 充 分 条 件4. 幂指函数求导公式()()ln().vxvxuu 5. 由参数方程确定的函数的二阶导数2()ddd .xty ttytxxt 若 ， 则6. 几个重要的 n阶导数公式() ()() 1()1sini coss)1! (!ln.) )nn nnx xaa xa ； ；7. Leibnitz 公式()()1()(

4、) ().nnknknuvCuvuvCuv 8. 回答下列问题 00 0000()()(1)lim()()2.| lim.2()().h xhfxfhAfxAhyyfxf 若 为 常 数 ， 能 否 导 出 ？否 例 如 ， ， 不 存 在 ， 但若 增 加 条 件 ： 存 在 ， 则 可 导 出答 00000(2) li (). ()()lim()li()()()lili.xxxxxAfAffffff A 若 在 处 连 续 ， 且 ， 能 否 导 出 ？能 因 为 ，故 有 答 000 002(3)a()b(c) ()()a() .1().()0()1()xgFfGxfFxfgxffxg

5、若 在 处 ， 可 导 ， 不 可 导 .在 处 是 否 可 导 ？在 处 是 否 可 导 ？若 在 处 也 不 可 导 ， 问 在 处 是 否 可 导 ？在 处 必 不 可 导 ， 否 则 在 处 可 导不 一 定 如 ， ， 在 处 ， ，答 30() 00.(c).|()| ()()|0().GxfgGfx fFg F ，； 而 ， ， 在 处 ， ， ，不 一 定 如 ， ， 在 处 ， 和 不 存 在 ，但 而 ， ， 在 处 ， ， 不 存 在 ，也 不 存 在00 0(4) ().uuxyfuyfx若 在 处 不 可 导 ， ， 而 在 处 也 不 可 导 ，问 函 数 在 处

6、是 否 一 定 不 可 导 ？否 如答00()00. xux uyfufxx，在 处 不 可 导 ， 且 ，在 处 也 不 可 导 ， 但在 处 可 导二、用导数定义求导数这种方法用于求函数在某一点的导数（称为点导数） ，常见于求分段函数在分界点的导数及未假定函数的导数存在的条件时，但要求其导数等问题. 20 0200()() 11(A)limcos.(B)lim().C(in).D2(1(1cos)s1)lcosli 0).(Bi hh hhhffxhfef fff h设 ， 则 在 处 可 导 的 充 要 条 件 为存 在 存 在存 在 存 在例解 002 2200() (.C)()|(s

7、in)|sin|silimli 0.1(D)() ()()()1(lilih2 2hhhheeffxf hxfxxfffh取 ， 则 不 存 在 ， 但 ，取 ， 它 在 处 不 连 续 ， 从 而 不 存 在 ， 但， 0.(B).故 选 10()1()lim()_.xxfff2设 ， 存 在 ， 则例 ()11001(0)li()li()(.fxfxxxfxfffe解0()()(1|sin|)()0(A)0. B0.C().(D)().|sin| .() ()0.()limlixxfxFxfxFxf fgxfxFfgxfFg 3设 可 导 函 数 ， ， 若 欲 使 在 处 可导 ， 则

8、有 设 ， 则因 和 在 点 处 可 导 ， 故 在 处 可 导 而例解 00sin)lim().()() .(0)(B). xfffgfff 故即故 选 231100()| _.()| 10limli2()|.()().()|lili()xxxxf xff ff4的 不 可 导 的 点 的 个 数 为， 故 只 须 考 虑 ， ， 三 个 点 因故 在 点 处 可 导 且又 因例解 0|2|(1)|2lim()1. xxff 不 存 在 ， 故 在 处 不 可 导 .同 理 可 证 ， 在 处 不 可 导故 的 不 可 导 的 点 为 及002)(3(9)(0)_.()limli2139!x

9、x fff xx 5 若 ， 则例解0()50(1sin)3(1sin)8()()0 (6). (6)1(6)1.030(1).(1sinlimxfxxfxfo yfxffffxffff 6若 是 周 期 为 的 连 续 函 数 ， 它 在 的 某 个 邻 域 内 满 足 关 系 式 ：，其 中 ， 且 在 处 可 导 .求 曲 线 在 点 ，处 的 切 线 由 周 期 性 得 ，在 已 知 关 系 式 中 令 ， 得 ，故由 已 知 关 系 式 得例解00)3sin8()lim.(si)(si)li1n1n(si)(1sin3si n()34().12.(6)0,()2.(6).xxxxfo

10、ffxxfxfxffffffyx 另 一 方 面故于 是 所 以 所 求 切 线 方 程 为 0() (02)12_.()1()1xf faba fxfx7，设 ， 若 在 ， 内 可 导 ， 则 常 数，这 是 一 个 可 导 性 讨 论 的 反 问 题 ， 由 在 处 可 导 得 在处 连 续 ， 故例解112111lim()li0.()()()lililim2.xxxxxffabfxffab，即又 在 处 可 导 ， 有 ， 即 ，也 即 ，从 而 ，220020001cos0() ()()0() (A).(B).CD.lim()li()1cosli()lilim()(xxxxxxfxg

11、xfxgfgfffx 8，设 ， 其 中 是 有 界 函 数 ， 则 在，处 极 限 不 存 在 极 限 存 在 ， 但 不 连 续连 续 ， 但 不 可 导 可 导因 ， ，故 ，即 例解2002).1cos()lili()limli().()0.D.xxxxfgf gfx 在 处 连 续 又 因 ，故 在 处 可 导 所 以 选 ()|()| (A)0.B0().C()()(|()|limli()|xaxafafafaf ffgfffaf 9设 函 数 在 处 可 导 ， 则 在 处 不 可 导 的 充 分 必 要条 件 为 且 且且 且令 ， 因例解 ()0() ()lim()| |()

12、00 0() ()lim()li()()|()| .B.faf xaxa xaffffggf fagf 当 ， ，时 ， 不 妨 设 ， 则 在 的 某 邻 域 内 单 调 增 加 ， 而 ，因 ，故 ，即 在 处 不 可 导 故 选32()322002()|0_.4().()0()16.lim()li()10().6()0.0nxxfxxf nxffxxfxffffxffx1设 ， 则 使 存 在 的 最 高 阶 数 ，在 处 连 续 .当 时 ，当 时故 ，所 以 ，即 ，在 处 连 续 当 时例解0000()412.lim()li()240().1()0.0()12.lim()li()(

13、0)2.xxxxfxffffxffxxfffffn ，当 时故 ，所 以 ，即 ，在 处 连 续 当 时 ，当 时因故 不 存 在 .从 而三、复合函数求导复合函数求导时，关键要看清楚中间变量 u的选取。2020 001 1220132d()arctn_.dd()()3)arctn.(3)xx xxu uxuxyyffuyff1已 知 ， ， 则设 ， 则例解 222si1ld.1xxxeyey12设 ， 求例 2 2 222 222222 223 32arcsinl()()1 1arcsiarcsinrin.(1)1arcsin()d1x xu xxx xxxuy euueueeey 令 ，

14、 则故 解 3d.22333222111()1()()d3.114()()|ddd443(dsxxxxMyxsxAsxyykys tx13设 是 抛 物 线 上 任 意 一 点 ， 处 的 曲 率 半径 ， 是 该 抛 物 线 上 介 于 点 ， 与 点 之 间 的 弧 长 ， 计 算， ，故 ，从 而 ，所 以 例解 2)614x，2232 2236d6.14d63(4)()9.1xsxxxs从 而四、高阶导数求高阶导数的方法一般有两种：一种是先求出一阶、二阶、三阶导数，从中观察、归纳找出规律，从而得出 n阶导数的表达式（称为归纳法） ；另一种是利用简单函数的 n阶导数的结果及 Leibni

15、tz 公式求高阶导数。 2() 1 12 2324(4)5()()()A!(). (B).(CD!()3!(nn nnfxfxfnfxf fxfxffxfffx 4已 知 函 数 具 有 任 意 阶 导 数 ， 且 ， 则 当 时 ，等 于因 ， ，归 纳 可 得例解 1!()(A). nf，故 选 11d()1()_.()()d1.nnmn nmxnnnxPx Px15 设 ， ， 均 为 正 整 数 ， 则因例解() 1(1)1 1()1()1()Leibntz() ).)!0.(1)!.nmnxn nn xmnnxknPxxCxxPm 由 公 式因 ，故22 ()22()() 2()()

16、22()3cos_.6()2)(1cos6s!0().Leibntz2()!(1)cos6nnnnnknn nxx xxfxfxfxxuvufuv 16设 ， 则因 ，令 ， ，则 ，由 公 式例解 !.n2(1)()2(1)arcsi 0(3)0.nnnyyyynN 17设 ， 试 证 明 关 系 式成 立 ， ， 并 求因例解22222(1)21()2(1)2()(1)2(1)1(arcsin)1rsi.1.Leibntz0)nn nnnyxxyyxxyCyxyxyC ，故两 边 求 导 ，即在 上 式 两 边 关 于 求 次 导 数 结 合 公 式即(2(1)()2()2(4)2120.

17、000(.()!nnnn nmxyyym 令 ， 得 ， 为 奇 数， 为 偶 数 ，五、隐函数求导 d()0()yFxyyxx设 方 程 ， 确 定 了 隐 函 数 ， 求 的 方 法 为 ： 将 方 程 两 边 对求 导 是 中 间 变 量 ， 求 导 后 从 结 果 中 解 出 ， 可 得 其 表 达 式 .22 21 0() d()sind0.cos (*)d01yxt xyx yyxeexy 18设 由 方 程 所 确 定 ， 求两 边 对 求 导 ， 得由 所 给 方 程 得 时 ， 故例解202()02201.(*) dsin)0d01d.xyxxxyexxyye式 两 边 再

18、对 求 导 ， 得 ，将 ， ， 代 入 上 式 ， 得022 2()1()(0)_.dd()1(*)0.d(*) d10d0yyxyyexxyxyxyeexxx 19设 由 确 定 ， 则两 边 对 求 导 ， 得 ，由 所 给 方 程 得 时 ， 所 以式 两 边 对 求 导 ， 得 ，将 ， ，例解 0201d()3.xxy代 入 ， 得六、参数方程确定的函数求导 20(1)0d() .01.d2.y tt yy xetxxt 2已 知 函 数 由 方 程 组 确 定 ， 求因 时 ， ， 由 第 一 个 方 程 得例解1002 22 0d.1dd.(1)2dd(1)2(1)()d(1)

19、ddyyt tyyyyy yttettetxextetetttetxx tyx 第 二 个 方 程 两 边 关 于 求 导 ，解 得所 以 ， ，两 边 再 对 求 导 ， 得 ，故21210()().eearctn302320 021d() (02)5_.(2)d11(arctn)d.d02tt ttxuyyetxyytetty 1设 由 所 确 定 ， 则 过 点 ， 的 切 线 方 程为 因 为 点 ， 对 应 ， 由 第 一 个 方 程 得 ，第 二 个 方 程 两 边 关 于 求 导将 ， 代 入 ， 解 得例解0(02)3.d.3.tyxy，所 以因 此 ， 切 线 方 程 为七、

20、求切线和法线 22(01)()cos()1()(01)_.ddsin()0,2.d21.xyxyyxeeyfxyexxyx2，设 函 数 由 方 程 所 确 定 ,则 曲 线在 点 ， 处 的 法 线 方 程 为由 隐 函 数 求 导 法 ，故所 以 法 线 方 程 为 ，即 例解2()()()(0)2cos,sin,eeexeye 3对 数 螺 线 在 点 ， ， 处 的 切 线 的 直 角 坐 标 方 程 为_.点 ， 对 应 的 直 角 坐 标 为 ， ， 对 数 螺 线 的 参 数 方 程 为故 例解0d(cosin)1xyeyex 所 以 切 线 方 程 为 ，即 (0)11()2(

21、0) .1(2)yxaayx24求 由 点 ， 向 曲 线 作 的 切 线 方 程设 切 点 为 ， ， 则 切 线 方 程 为 ，将 ， 代 入 得所 以 切 线 方 程 为即 例解2-2 中值定理及其应用本节主要是利用中值定理及 Taylor 公式证明“中值等式命题”及“不等式” ，并用零点定理或罗尔定理证明方程根的存在性，利用单调性来讨论方程的根，这些内容是导数应用的重要组成部分.一、重要公式1. Rolle 定理()() ()()0.fCabDfababf 若 ， ， ， 且 ， 则 至 少 存 在 一 点 ， ， 使 得2. Lagrange 中值定理()()().f abfbaf若

22、 ， ， ， 则 至 少 存 在 一 点 ， ， 使 得3. Cauchy 中值定理(0()().fgCaDgxabffba若 ， ， ， ， 且 ， 则 至 少 存 在 一 点 ， ， 使 得4. Taylor公式 0 2000 0() (1)10(1) 0() ()(1)()()!)!LagrneTaylor(nnnnfxabnabfxfxfxxffx 若 在 含 有 的 某 个 开 区 间 ， 内 具 有 直 到 阶 的 导 数 ， 则 对 任意 ， ， 有 ，其 中 是 与 之 间 的 某 个 数 .上 式 称 为 带 余 项 的 公 式 .若 存 在 ， 则 有 200 0() ()

23、()!.!PeanoTaylor.nnnfxfxo上 式 称 为 带 余 项 的 公 式5. 零点定理 ()0()()0.fCbfbabf若 ， ， 且 ， 则 至 少 存 在 一 点 ， ， 使 得二、证明“中值等式命题”这个内容与证明“定积分命题”是一元函数范围内考察逻辑推理能力及分析构造能力的重要部分。这里一般方法如下：先把题求中的“等式”改写成某个中值定理的形式，然后作出适当的辅助函数 ()Fx及相关区间 ab， ，再对 ()Fx在 ab， 上应用相关的中值定理。()()0. ()().()()()()0.() ()()()()()fgabgcfcffagcffgfcbFxxbxFaa

24、bff1设 ， 在 ， 上 可 微 ， 且 证 明 存 在 一 点 ， ，使 得 即 证令 ， 则 在 ， 上 连 续 ， 在 ， 内可 导 ， 且例证 ().()()Role 0.()()().fxfxFafgbcFcfgfffgbfafcgbc又 ，由 定 理 ， 至 少 存 在 一 点 ， ， 使 得 即 ，也 即00200()01(0)1.(01)().()Role(1).)()1(1)2fxffffCfxfxFfFxf 2设 函 数 在 ， 上 二 阶 可 导 ， 求 证 ： 存 在 ， ，使 得 因 ， ， 在 ， 内 可 导 ， 且 ， 故 由 定 理 知 ， 至少 存 在 一

25、点 ， ， 使 得令 ， 则 在 ， 上 连 续 ， 在 ， 内 可 导 ， 且例证 0().()Role 1()()2()(0.1 xfxFff 又由 定 理 知 ， 得 至 少 存 在 一 点 ， ， ， 使 得 ，即因 ， 故 有 .ff331()1)()(1)20(2)(.)()()12(12)()0.Role(12()3xxfCxxffFefFeffxFff3设 ， ， 在 ， 内 存 在 ， 且 ， 又 ，证 明 ： ， ， 使 得令 ， 则 在 ， 上 连 续 ， 在 ， 内 可 导 ， ，又故 由 定 理 知 ， 至 少 存 在 一 点 ， ， 使 得 ，即 例证 0.()f，

26、也 即23()1 (1)0()1(0). ()()0Taylor()() ().!10()0()2!fx fff ffffxfxxfff 4设 在 闭 区 间 ， 上 具 有 三 阶 连 续 导 数 ， 且 ， ，证 明 ： 至 少 存 在 ， ， 使将 在 点 展 开 成 公 式 在 与 之 间分 别 令 和 并 注 意 到 ， 得例证 12 )(0)3()()6.()(1) ()()().2fffx fxMmffM ，两 式 相 减 得因 在 ， ， 上 连 续 ， 由 最 大 值 定 理 知 在 ， 上 有 最 大值 和 最 小 值 ， 从 而 1()()(3.ffff由 介 值 定 理

27、 得 ， 至 少 有 一 点 ， ， ， 使 得 ，即 () )()(01)1()0.lim.2fxxhffxhfx 5h0设 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 ，证 明 ：例 2210Tayor()()()(0)()().Lagrne01()()()limhhfxffxfhfffxhfxfxfhfx 由 公 式 得 ， ，与 条 件 式 相 减 得由 定 理 ， 存 在 ， ， 使 得从 而因 是 连 续 函 数 ， 故证 0()1()li .2hfxfx()()()1.1.().Lagrne().()()()()x bx xfxababfabeffeCaDabeFefFaf 6设 在 ，

28、 上 连 续 ， 在 ， 内 可 导 ， 且 证 明 ：存 在 ， ， ， 使 得即 证令 ， 则 ， ， ， 由 定 理 ， 存 在 ， ，使 得 令 ， 则 ， ， ， 且例证 .xLagrn().()()()()()1.bababaeffefffefeabf由 定 理 ， 存 在 ， ， 使 得由 条 件 得 ，所 以 ，即 存 在 ， ， ， 使 得三、证明不等式证明不等式的方法主要有：利用函数单调性方法，利用 Taylor 公式方法及对不等式组利用最值方法。 12220().ln()(1)l.()()ln0,)l(ln(1)1()0()0().)xxexxxffxxfxfxfx 7证

29、 明 ： 当 时 ，即 证 当 时也 即令 ， 则 ，而 ，所 以 当 时 ， 单 调 增 加 又 因 在 ， 上 连 续 ，例证 0( )0. xff 故 当 时从 而 当 时 ， 单 调 增 加 又 因 在 ， 上 连 续 ， 故 当 时2120()ln.().xxxe即 当 时也 即 2222(01)(1)ln.()()1ln()01ln()l()()l()2.(01ln()0xxf xfxxfxfx 8设 ， ， 证 明 ： ；令 ， ， ， 则 ，当 ， 时 ， ， 故 ，所 以 当例证22222)().1(01.01.()0()(1)ln().(2)ln()(1)ln()l1fx

30、xffxffxxx xx ， 时 ， 单 调 增 加 又 在 ， 上 连 续 ， 故 当 ， 时 ，从 而 ， 时 ， 单 调 增 加 又 因 在 ， 上 连 续 ， 故 当 时 ，即 当 ， 时 令 ， 则 20(1)(0)()0.1(01)1limxxxx x ，由 第 小 题 知 ， 当 ， 时 ，故 当 ， 时 ， 单 调 减 少 又 在 ， 内 连 续 ， 故 当 ， 时 ，而 200 01ln1ln(1)()limlili li2(1)1.ln2l()xx xx + 洛 必 达 法 则x0 ， ，所 以 当 ， 时2220ln1.()ln()LagrneLagrneln1.ln(0

31、)1() 02()ababfxfxababxx axaxxa9设 ， 证 明 不 等 式设 ， 则 在 ， 上 满 足 定 理 条 件 ， 由定 理 ， 存 在 ， ， 使 得令 ， 则 ，由 在 例证2 ()0.0()ln1.l.bbababa， 上 连 续 ， 当 时所 以 当 时 ， ， 即综 上 所 述 ， 当 时 1()(0)()(0)1|()|42.1(1)|()|2fxffbffxaxafa 0设 存 在 ， 且 ， ， ， 又 ， 证 明 ： ， ， ；例 Lagrne2|()|.4() 1|1|()0|()|240(2)|()|.are2(0)(0)(1) 1|()|()|(

32、)|.bffxfffxafffafaf fa 公 式由 条 件 得 ，其 中 在 与 之 间 .先 证 由 定 理 得 ， ，故 由 知证 |(|.Lgrane2()()()1|()|()|1()|()|.2|()|()|.24fbffbbfabffffafabfa再 证 由 定 理 在 与 之 间故从 而10 0 000ln()ln()1(). ()()0.11max()ln(ln).()RxxfxxRxffxxfxfffx 1若 为 正 常 数 ， 使 得 不 等 式 对 任 意 正 数 成 立 ， 求 的 最小 值 .令 ， 则 ，令 得 驻 点 当 时 ， ； 当 时 ，所 以由 题

33、意 得 ，例解 ln1 ee故 有 ，从 而即 的 最 小 值 为四、讨论方程的根 ()0 ()()Role()fx fxFxf对 方 程 的 实 根 的 存 在 性 ， 可 利 用 零 点 定 理 或 对 的 原 函 数使 用 定 理 .至 于 根 的 个 数 可 利 用 函 数 的 单 调 性 予 以 判 断 .0 000 011(1) ()()2(2)()()(1)1)()d01()()dxyxfxfxff f xftxft设 是 区 间 ， 上 的 任 一 非 负 连 续 函 数 .试 证 ： 存 在 ， ， 使 得 在 区 间 ， 上 以 为 高 的 矩 形 面 积 ，等 于 在 区

34、 间 ， 上 以 为 曲 边 梯 形 的 面 积 .又 设 在 ， 内 可 导 ， 且 ， 证 明 中 的 是 唯 一的 .令 ， 则 ， ， 在 ， 内 可 导例证010010 01Role()(d().()1(2)()()d()xxx fxftfxxyfFftfx，且 ，由 定 理 知 ， 存 在 ， ， 使 得 ， 即也 即 存 在 ， ， 使 得 在 区 间 ， 上 以 为 高 的 矩 形 面 积 ， 等 于 在 区间 ， 上 以 为 曲 边 的 曲 边 梯 形 的 面 积 .令 ， 则 2().()0fxfFx由 条 件 知 ，0()1()0(1)(1)FxFx从 而 在 ， 上 单

35、 调 减 少 ， 所 以 在 ， 内 只 有 一 个 根 ， 即 中 的是 唯 一 的 .0ln() (A). (B.CD)()ln1().()0.()0()0)() .1limxxexfeexffxxffxeeffe 3方 程 在 ， 内无 实 根 有 一 个 实 根有 两 个 实 根 有 无 穷 多 个 实 根令 ， 则令 得 驻 点 当 ， 时 ， ， 从 而 在 ， 内 单 调 增加 ； 当 ， 时 ， ， 从 而 在 ， 内 单 调 减 少 又 因 ，例解 ()ln1li()lini .()0(C).xxxfeexf ，因 此 在 ， 内 有 两 个 实 根 .故 选 2332201

36、0().()1().0() ()lim()10xkkxfxkfkxf fff4+设 当 时 ， 方 程 有 且 仅 有 一 个 解 ， 求 的 取 值 范 围 .题 目 条 件 当 于 方 程 在 ， 上 有 且 仅 有 一 个 解令 ， 则 在 ， 上 连 续 ， 且当 时 ， ， ， ， 所 以 在 ， 内 单 调 减 少 .又 ， ，由 零 点 定 理 及例解 000 032 20 2()()()2. ()()3()()(). 28474()1179xfkxxfxfxkfkfxkk 的 单 调 性 知 ， 方 程 在 ， 上 有 且 仅 有 一 个 根 .当 时 ， 令 得 驻 点 当

37、， 时 ， ， 故在 ， 内 单 调 减 少 ； 当 ， 时 ， ， 故 在 ， 内 单 调增 加 又 ，00 0lim()()()()2390.xffxf fxkk，故 当 且 仅 当 时 方 程 有 唯 一 实 根 .由 解 得综 上 所 述 ， 的 取 值 范 围 为 ： 或2-3 函数性态的讨论本节是利用导数研究函数及平面曲线的性态，如单调性、极值、凹凸性与拐点、最大最小值等简单的应用问题。本节的关键是导数计算一定要准确，并且对各种判别方法要了然于胸。一、重要概念与重要公式单调性、极值、凹凸性与拐点的判别法，同学已经比较熟悉，此略。1. 曲线的渐近线 0 0lim() ()()lili

38、() ()xxxfcyyfxfkfkbkbyfx若 ， 则 为 曲 线 的 水 平 渐 近 线 .若 ， 则 为 曲 线 的 铅 垂 渐 近 线若 ， 且 ， 则 为 曲 线 的 斜 渐近 线 .2. 曲率与曲率半径公式 00 32|()|()() .1fxyfxfxkk 上 点 ， 处 ， 曲 率 ， 曲 率 半 径3. 回答下列问题(1)() ()fxaxa若 在 ， 内 严 格 单 调 递 增 ， 是 否 对 任 意 ， ， 均 有30 0230 013()()(0.(2)()1() ()1(3)()1()(1)fxyxf yf xf fxxfyfxfy ？否 .例 如 ， 当 ， 时

39、， 严 格 单 调 增 加 ， 但若 是 的 极 值 点 ， 是 否 有 ？不 一 定 .例 如 是 的 极 小 值 点 ， 但 在 处 不 可导 .若 点 ， 是 的 拐 点 ， 是 否 必 有 ？否 .例 如 点 ， 是 的 拐 点 ， 但 不 存 在 .答答答二、函数性态 ()0lim2(A) (B)()C()()D()()li()li0mxaxaxaffxxa fxfyffffx1设 的 导 数 在 处 连 续 ， 又 ， 则是 的 极 小 值 点 . 是 的 极 大 值 点 .， 是 曲 线 的 拐 点 不 是 的 极 值 点 .因 ，例解 2.(B). 故 选2()()(0)(A)

40、0BC()()(D) 0().Taylor()0()fxfxfxfffyfffxffxffxo2设 满 足 关 系 式 ， 且 ， 则是 的 极 大 值 .是 的 极 小 值点 ， 是 曲 线 的 拐 点 .不 是 的 极 值 ， 点 ， 也 非 拐 点 .解 已 知 式 中 令 ， 由 条 件 可 得由 公 式例 22.().xff从 而 0()0.(0)()C.ffyfx 所 以 ， 使 当 时 ， 当 时因 此 ， 为 的 拐 点 .故 选 322341(1)23(1)().()1003.6(). xyyxx3已 知 函 数 ， 求函 数 的 增 减 区 间 及 极 值 .函 数 图 形

41、 的 凹 凸 区 间 及 拐 点函 数 图 形 的 渐 近 线定 义 域 ， ， 因 ，令 得 驻 点 ， 又 因 ，令 令 例解 x(0)， 01， (3， (3)，y+ 0 + - 0 +- 0 + + + +拐点 极小3 32132(1)()(013)(13)27.4()()(0)(0).lim()1lili1.()x xxxyxy函 数 的 单 调 增 区 间 为 ， ， ， ， 单 调 减 区 间 为 ， ，极 小 值 函 数 图 形 的 凹 区 间 为 ， ， ， ， 凸 区 间 为 ， ， 拐 点 为 ，因故 为 函 数 图 形 的 铅 直 渐 近 线 .又 因3221limli

42、1.()lililim.()2xxxxxxyyx故 为 函 数 图 形 的 铅 直 渐 近 线 .又 因故 为 函 数 图 形 的 斜 渐 近 线 .311233()ln()0.)0()1()(2nxxf fCffxxefxeeffef 4在 ， ， ， ， 中 求 最 大 的 一 个 数 .设 ， ， ， 则 ， ， 且 ，令 得 驻 点 在 ， 内 ， ， 故 在 ， 上 单 调 增 加 ；在 ， 内 ， ， 故 在 ， 上 单 调 减 少 又 因所 以 最 大 项 是例解 24CyxC5已 知 抛 物 线 为 ， 试 从 它 的 那 些 与 抛 物 线 的 法 线 相 重 合 的弦 中 ， 求 长 度 为 最 短 的 弦 的 长 度 .例112 2121 122121(40) .d.48(0).PPtPttyxttktttt如 右 图 ， 设 切 点 为 ， 由 对 称 性 ， 不妨 设 ， 与 法 线 重 合 的 弦 为 ， ， 因故 法 线 斜 率 ， 因 此 ，从 而 解222211121 1212 4211 122232111()()().4668(3).40.(0)0mintdttt tttt tt tdtdt d 所 以 弦 长令 得 唯 一 驻 点 当 ， 时 ， ； 当 ， 时 ， 故 为 最 小 值 点 ， 所 以 1263.t自我检测题(