1、1,第二章 一元函数微分学,2,考试内容,1.导数和微分的概念,(1)导数的定义,第一定义:,第二定义:,(2)微分的定义,二者关系:,3,2.导数的几何意义和经济意义,3.函数的可导性与连续性之间的关系,4.平面曲线的切线与法线,经济学中, 边际 = 导数, 弹性 = 相对导数, 即,切线方程:,法线方程:,例如:,4,5.导数和微分的四则运算,6.基本初等函数的导数,7.复合函数、反函数和隐函数的微分法,8.高阶导数,莱布尼茨公式:,5,10.微分中值定理,9.一阶微分形式的不变性,费尔马引理,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,泰勒展开定理:,拉格朗日型余项,6,11.洛必达(LHospi
2、tal)法则,12.函数单调性的判别,13.函数的极值,极值可疑点:,驻点(一阶导数为零的点)或一阶导数不存在的点.,极值存在的第一充分条件:,7,极值存在的第一充分条件,称为“一阶导数变号法”.,8,极值存在的第二充分条件:,称为“二阶导数非零法”.,注:此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点.,9,14.函数图形的凹凸性、拐点及渐近线,凹向判定定理:,10,拐点判断定理:,曲线的渐近线,(1)水平渐近线,11,曲线的渐近线,(2)铅直渐近线,(3)斜渐近线,斜渐近线求法:,12,15.函数图形的描绘,第一步,第二步,第三步,第四步,第五步,16.函数的最大值与最小值,13,考试要求,1.理
3、解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.,3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.,5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.,4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.,2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.,14,7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握
4、函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.,8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.,9.会描述简单函数的图形.,6.会用洛必达法则求极限.,15,典型例题分析,例1,解,16,例2,解,注 此题不能用导数的乘法法则计算.,例3,解,17,解,18,19,例5,解,20,先化简,所以,例6,解,21,(1)式两边再关于 x 求导,得,例7,解,22,例8,解,对数求导法,例9,解,23,例10,解法一,由Leibniz公式,24,例10,解法二,由麦克劳林公式,得,25,例11,证明,注,本例也可以构造辅助函数,运用罗尔中值定理证明.,26,例12,证,27,解,根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有3个,三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点, 且是两个极小值点,一个极大值点;,本题应选C.,28,例14,解,29,故本题应选D.,例14,解,30,例15,解,非奇非偶函数.,列表,/,拐点,极小值点,间断点,/,31,作出函数的图形.,B(-2, -3),曲线有水平渐近线y = -2和铅垂渐近线 x = 0。,A,B,C,D,描点:,A(-3, -26/9)，,/,拐点,极小值点,间断点,/,32,例16,解,33,END & THANK YOU!,
