1、 s0第三章 一元函数微分学（1，2） 陈建军 主编第一节 导数的概念（1、2）教学目的：掌握导数的概念，会用导数的定义求函数的导数，会用导数描述一些实际问题 的变化率。教学重点、难点：导数概念，会用导数的定义求函数的导数，用导数描述一些实际问题 的变化率。教学形式：多媒体教室里的讲授教学时间：90 分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、引入新课 微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分。在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等，而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速
2、度的方向，即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。二、新授课1导数概念实例 （ 1）、变速直线运动的瞬时速度问题 设动点 作变速直线运动，其经过的路程 是时间 的函数，即 ，求它在时Mst()st刻 的瞬时速度。0t 如右图所示，假定在某一瞬时 ,动点的 位置是 ，0tM0()而经过极短的时间间隔 后,即在瞬时 ,动点的位置到tt达 ，于是动点 在时间间隔 内所走过的路程是：0()st，00()(sstst动点 在 这段时间内的平均速度 为 Mt vtt由于时间间隔 较短，它可以大致说明动点 在 时刻的速度，且时间间隔 取得tM0 t越小，这段时间内的平均速度愈接近 时刻瞬
3、时速度。若令 趋于零，则极限值 0t精确地反映了动点在 时刻的瞬时速度 。00()(limtstst0()vlit 00)(litts（2）、切线问题割线的极限位置切线位置（附： Flash 说明）如图，如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT，直线 MT 就称为曲线 C 在点M 处的切线。 极限位置即 设 。割线 MN 的斜率为 ， ，切线 MT 的斜率为 。 2导数的定义 上面讨论的两个实例，虽然是不同的具体问题，但是它们在计算时都归结为如下的 极限： 00()(limxfxf其中 是函数的增量与自变量的增量之比，表示函数的平均变化率。00()(fxfxy定义：设函数 在点 的某
4、个邻域内有定义，当自变量在 取得增量 时，()f0 0xx相应地函数 取得的增量 。y0)(yfxfx若极限 存在，则函数 在点 处可导，并称此00limlixx()f0极限值为函数 在点 的导数，记为：()f00 00 () | | |xxxdydfy或即 其他形式 ； 。 关于导数的说明： 点导数是因变量在点 处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数 在开区间 内的每点处都可导，就称函数 在开区间 内可导。 对于任意 都对应着 一个确定的导数值。这个函数叫做原来函数 的导函数记作 ， ， 或 。 即或 。注意：1）. 。 2）.导函数(瞬时变化率 )是函数平均变
5、化率的逼近函数。 3由定义求导数 步骤：(1)求增量 ； (2)算比值 ； (3)求极值 。 根据导数的定义求导具有固定的步骤，可以利用 的 语句计算，MathemicLit 步骤如下:1 定义函数 _fx函 数 表 达 式2 根据定义求导 Limt()/,0 hfh例 1 设圆的面积为 ,半径为 ,求面积 关于半径 的变化率。ArAr解（1）: 1 面积关于半径函数关系为 ；2()2 圆半径 的增量 ，则圆面积的增量为 ；r2()rr3 圆面积的平均变化率为 ；Ar4 面积 对半径 的变化率为A20020()()limli2)li)rrr rr解（2）:用 求解Matheic例 2 求函数
6、(C 为常数)的导数。 解（1）：。即 。解（2）用 求解Mathemic课堂练习 P45 第 5 题例 3 根据导数的定义求 的导数，其中 为正整数 。nyxn解（1）：由二项式定理，得122121()()(),.nnnnyxCxxCx于是即 ,10lim,nxy1()nx解（2）：利用 的 语句计算 的导数。MathecLity因此 .1()nx一般地，对幂函数 ，)y为 实 数有 1(x利用这一公式，可以求出幂函数的导数。例如，当 时， 的导数为12120)yx,1122()x即 .x当 时 ， 的导数为11(0)y,112xx即 2()课堂练习 P45 第 6（1） 、 （3） 、 （
7、5）题利用导数的定义还能够比较容易地求出 ： 1(log); (ln);ln (si)cs; (cos)i.ax xex三、本节小结：导数定义，和几个常见的导数公式四、课外作业：P45 习题 31 第 3 题3将一个物体铅直上抛，经过时间 （单位： ）后，物体上升高度为ts（单位： ） ，求下列各值：20stgm（1）物体在 到 这段时间内的平均速度； s(1 )ts（2）物体在 时的瞬时速度；（3）物体在 到 这段时间内的平均速度；0tt（4）物体在 时的瞬时速度；第 4 题4设 ，试按导数定义求 。21yx1|xy第三章 一元函数微分学（3,4）第一节 导数的概念（3,4）教学目的：掌握可
8、导与连续关系，求导举例教学重点、难点：几何意义、可导与连续关系教学形式：多媒体教室里的讲授教学时间：90 分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、回顾上次课内容1各种增量比值（变化率）模型：2导数的定义：3传统方式求函数的导数：4用 的 语句求函数的导数：MathemicLit 5一些已经求出来的基本函数的导数公式。二、新授课1左导数与右导数定义 2： 由于导数为 ，则 和00()(limxfxf00()(limxfxf分别称为函数 在点 处的左导数与右导数，分别记为00()(limxfxf()f0。+ 和2可导与连续的关系 定理一 函数在 点 处可导的充分必要条件是 在点 处的左导数与右()y
9、fx0 ()fx0导数都存在且相等。证明 略。1、 函数 连续，若 则称点 为函数 的角点，函数在角点不可导。 .例题 1 判断函数 , 在点 处是否可导 ( 如右图 ) ,0| xyx。解 由于 ，所以 |0|xOxy=|000|limlilim1|xxxy因为左、右极限不等，故极限 0lixy不存在，即函数在点 处不可导。x从几何直观上看，它的图像在点 处没有切线。再例如， 在 处不可导， 为 的角点。 定理二 凡可导函数都是连续函数。 证 设函数 在的点 处可导， 函数 在点 连续。 注意：该定理的逆定理不成立，即若函数 在点 处连续，在点 处未必可导，即()fx00x连续是函数可导的必
10、要条件，但不是充分条件。 连续函数不存在导数举例 2、设函数 在点 连续，但，称函数 在点 有无穷导数。(不可导) 例如， ，在 处不可导。 3、设函数 在连续点的左右导数都不存在(指摆动不定) ，则 点不可导。例如， 在 处不可导。 4、若 ，且在点 的两个单侧导数符号相反，则称点 为函数 的尖点(不可导点) 。 例 2 讨论函数 ，在 处的连续性和可导性。 解 是有界函数， 。 在 处连续。 但在 处有 ， 当 时， 在-1 和 1 之间振荡而极限不存在， 在 处不可导。 证明 略。3导数的几何意义 1、几何意义 表示曲线 在点 处的切线的斜率，即 ，( 为倾角 ) 切线方程为 ； 法线方
11、程为 .例 3 求等边双曲线 在点 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。 解 由导数的几何意义，得切线斜率为 所求切线方程为 ，即 。法线方程为 ，即 。 三、本节小结：连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件1、导数的实质：增量比的极限； 2、 ； 3、导数的几何意义：切线的斜率； 4、函数可导一定连续，但连续不一定可导； 5、求导数最基本的方法：由定义求导数。 6、判断可导性 外独立完成的作业：推导一遍基本初等函数的导数公式。第三章 一元函数微分学 (5,6）第二节 导数的运算（1、2）教学目的：掌握导数的运算法则和基本公式。教学重点、难点：可导函数四则运算的导数法则。教学
12、形式：多媒体演示、讲授法教学时间：90 分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、引入新课复习导数的概念，熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式1()x()0c1log; ln;ln() ()sics; cosi.ax xex基本初等函数与初等函数的关系。二、新授课1、可导函数的和、差、积、商的求导法则定理三 设函数 在点 处可导，则函数 在点 处可导，且有：(),uxvx(0)uv、 、 x（1 ）若 ，则 ， 为常数；()()()f()()()fxv,（2）若 ，则 ，xuvx uvux推广： ；() ww（3）若 ， ，则 。()xfv02()() xvxvf证明（1）： 对于自变量 ，取得其
13、改变量 ，从而函数 取得改变量xx()yfx00()()() limli() ()xxyuxvuvxxuvxyuvu ()()vxuxv即同 理 可 证 ：证(3) 设 ， 在 处可导。 推论 (1) ； (2) ； (3) .例 1 求 的导数。43278yx4332() )(897xx解 ：课堂练习一：（1）设曲线 在点 处的切线斜率为 ，则点 的坐标为 ；2yM3M例 2 求 的导数。()sinfx22 ()i(i)sncosx解 ：课堂练习二：（2）设函数 ，则 ；(1)2(3)yxx(0)y例 3 求 的导数。 解 即 同理可得 例 4 求 的导数。 解 同理可得 课堂练习三：（3）
14、设 ，则 ；1xyy三、本节小结：1、可导函数的和、差、积、商的求导法则定理三 设函数 在点 处可导，则函数 在点 处可导，且有：(),uxvx(0)uv、 、 x（1 ）若 ，则 ， 为常数；()()()f()()()fxv,（2）若 ，则 ，xuvx uvux推广： ；() ww（3）若 ， ，则()xfv02()() xvxvf2、基本初等函数的导数 2 (tan)sec; (2)sectan3o4sco.xxx1 ；四、课外作业：P50 第 2 题（1） 、 （2） 、 （3）第三章 一元函数微分学 (7,8）第二节 导数的运算（3、4）教学目的：掌握导数的基本公式，用 Mathema
15、tica 软件求函数的导数，会求反函数的导数。教学重点、难点：会用 Mathematica 软件求函数的导数，会求反函数的导数。教学形式：多媒体演示、讲授法教学时间：90 分钟教学年级：各专业一年级教学过程二、引入新课复习导数的概念，熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式1()x()0c1log; ln;ln() ()sics; cosi.ax xex经过求导法则所得到的基本初等函数的导数： 2 (tan)e; (2)ectan3cosc4sso.xxx1 ；二、新授课1、利用 求导数Mathemi在求函数导数的过程中，会遇到大量的运算，需要特别仔细。但是，求函数导数的步骤却是有规律的，特别符合
16、计算机运算的要求。利用 求导数的格式为tic 函数表达式，求导变量 D例 利用 求解前面的基本初等函数的导数。1ahet注：Loga=lna. 2、反函数的导数 定理 如果函数 在某区间 内单调、可导且 ，那么它的反函数在对应区间 内也可的导，且有 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 证 任取 ，给 以增量 由 的单调性可知 ， 于是有 ， 连续， ，又知 即 例 1 求函数 的导数。 解 在 内单调、可导，且 ， 在 内有 同理可得 ；我们也可以更快地用 Mathematica 软件求得此二函数的导数例 2 求函数 的导数。 解 在 内单调、可导， 且 ， 在 内有特别地 我们也可以更
17、快地用 Mathematica 软件求得此二函数的导数三、本节小结：1、用 Mathematica 软件求函数的导数 函数表达式，求导变量 D2、反函数求导方法四、课外作业：用传统方式求 arctanx、及 arccotx 的导数。第三章 一元函数微分学（9,10）第二节 导数的运算（5、6）教学目的：掌握复合函数的求导法则教学重点、难点：复合函数的概念。熟练复合函数的求导教学形式：多媒体讲授、演示教学时间：90 分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、引入新课默写公式 1()0 ()lna 1 (log) (sin)coscsix xCex， ， ， ， ， ， 22 22 ta(t)c (e
18、)tan1ot rcsi1(arcs), xxxx ， ， ， ， ， (at), ot x。二、新授课1、 复合函数的导数定理 如果函数 在点 处可导，函数 在对应点 处可导，则复合()ux()yfu函 数 在点 处可导，且 ，或记为()yfx()dyfxxuxy证 由 在点 可导，故则。推广 设 ，则复合函数 的导数为例 1 求 的导数。21(7)yx解 函数 可以看作由函数 和 复合而成。1yu27x由复合函数求导法则，得 110210210()(7)()()yux我们用 Mathematica 软件求此函数的导数课堂练习：P50 2求下列各函数的导数: （ 为常数）,Aabn（2） （
19、4）2()yx2(1)yx（5） sint例 2 求 的导数。l解 由 复合而成，nyxl,lyux所以 。11(l)lnl用 Mathematica 软件求此函数的导数对复合函数的复合过程熟悉后，可不必写出中间变量，直接按照复合的次序，由外到里，层层求导。例 3 求 的导数。10(2)yx解 9 9()201x例 4 求 的导数。lnsiy2coi tx解 :用 Mathematica 求得上面两函数的导数例 6 用 Mathematica 求函数 在 处的导数值。()cosinfxx6解：求导函数 DCosx-Sinx,x 1:In-Cosx-Sinx OutIn2:=%/.xPi/623
20、1t课堂练习7利用 求下列各函数在给定点处的导数值:Mathemic（1） ，求osnyx64| ,|.xxyy（2） ，求1tacs24|.三、本节小结：初等函数的求导问题 1、复合函数的求导法则 设 ，而 则复合函数 的导数为 或 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决。 注意：初等函数的导数仍为初等函数。 例 1 求函数 的导数。 解 例 2 求函数 的导数。 解 四、课外作业：P502、 （11） （12）2ln()yxa2cosyx（13） 7、利用 求下列各函数在给定点处的导数值:Mathemic（1） ，求osnyx64| ,|.xxyy（2） ，求1tacs24|.第三章
21、 一元函数微分学（11，12）第三节 隐函数和参数方程所确定的函数的导数（1，2）教学目的：会求隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数教学重点、难点：求隐函数的导数教学形式：多媒体讲授法教学时间：90 分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、引入新课变量 与 之间对应的函数关系有不同的表达方式。例如： ，yx sin,l1yx直接给出自变量 和因变量 的对应关系，用这种方式表达的函数称为显函数。y还有另一种表达方式，如 ，其中因变量 不一定能用210,xxey自变量 直接表达出来。这种函数被称为由方程 所确定的隐函数。在实际问题x (,)0F中，有时需要计算隐函数的导数。二、新授课1隐函数求导
22、法则若 中 是 的函数，从方程 出发求 。(,)0Fxyx(,)0xyy（1）将 两端对 求导。求导过程中视 为 的函数；（2）求导后得到一个关于 的方程，解此方程则得 的表达式，在此表达式中允许含xy有 。y例 1 求由方程 确定的隐函数的导数 。1yedx解 将 两端对 求导数：yx, , ()e0()yxeye故 。1yx例 2 求曲线 上点 处的切线方程。32y(1,)解 方程两端对 求导数，得x2 yx解出 ，得 y223 (0)(1,)|y则所求切线方程为 (1)x即 20y2. 利用 求隐函数的导数Mathemic求隐函数的导数是由求导和解方程两个步骤组成，因而，在 中可使用Ma
23、themic和D语句，求由方程 所确定的隐函数的导数。Solve(,)0Fxy例 3 求由方程 所确定的隐函数的导数 。24dyx解 方程两边求导，得1:= 2+4 2=4, 1=2+8 =0从求导结果中解出隐函数的导数2:= % , 2= ( 4 )或者将两个步骤合并为3:= 2+4 2=4 , , 3= ( 4 )注意 在 中 意义是一样的，都表示函数 D y x , x 与 = ( )的一阶导数。例 4 求方程 所确定的隐函数的导数。 +ln=10 解 1:= y x + y x =10 , 1= y x + +( ) ( )=02:= % , 2= y x 21+ y x 即 = 2
24、1+ 课堂练习：P543利用 求由下列方程所确定的各隐函数 的导数 ：Mathemic ()yxdy（1） （2） ;xy arctn;3、参数方程所确定的函数的导数 函数 与自变量 不是直接由 表示，而是通过一个变量 t 来表示，即y x = ( )=() =( ).其中 t 为参数，上式称为函数的参数方程。下面求由参数方程确定的 对 的导数 。y x 设 有连续的反函数 ，又 与 存在，且，则 ，则 =() =1( ) () ( ) ()0 y为复合函数 =( )=1( )利用反函数和复合函数求导法则，得()()dyttxt例 1 已知圆的参数方程为 求 。= cos = sin , 解
25、(sin)cos/idyxatttt4利用 参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的求导步骤是：先求 和 的导数，再求它们的= ( )= ( )商。因而，利用 求参数方程所确定的函数的导数可以用Dy , t/ Dx , t例 2 求参数方程 ，所确定的函数的导数。=2 2 =3 3 .解 1:= 3 3 , /2 2 , 9Out4例 3 求参数方程 导数。= (1sin ) =cos , 的 解 1: = , / (1Sin ), 1= Sin 1t Cos t -Sin 例 4 求参数方程 的导数。= cos = sin3 ,解 1:= Sin3 , /Cos , 1= Cos3
26、csc 可以用 命令绘制参数方程所确定函数的图形。 2: = Cos ， Sin3 ， ,0,2 -1 -0.5 0.5 1-1-0.50.51例 7 不计空气的阻力。以初速度 ，发射角 发射炮弹，其运动方程为求 (1)炮弹在时刻 的运动方向； (2)炮弹在时刻 的速度大小。 解 (1)在 时刻的运动方向即轨迹在 时刻的切线方向，可由切线的斜率来反映。 (2)炮弹在 时刻沿 x，y 轴方向的分速度为 在 时刻炮弹的速度为 课堂练习：5求由下列参数方程所确定的函数的导数 ：dyx（1） （2） 2xatby 1ty三、本节小结：隐函数求导法则：直接对方程两边求导； 参数方程求导：实质上是利用复合
27、函数求导法则； 四、课外作业：P543利用 求由下列方程所确定的各隐函数 的导数 ：Mathemic ()yxdy（3） （4）;yx22.x6曲线 上对应于的点 处的切线方程和法线方程。231atxyt2t第三章 一元函数微分学（13，14）第四节 高阶导数（1、2）教学目的：了解高阶导数概念，会求二阶导数及简单函数的 阶导数。n教学重点、难点：能熟练地用 D 语句求各种形式的函数的导数、高阶导数；教学形式：多媒体教室的讲授教学时间：90 分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、引入新课问题：变速直线运动的加速度。 设 ，则瞬时速度为 加速度 是速度 对时间 的变化率 二、新授课1定义 如果函
28、数 的导数 在点 处可导，即 存在，则称 为函数 在点 处的二阶导数。 记作 或 . 二阶导数的导数称为三阶导数， 。 三阶导数的导数称为四阶导数， 。 一般的，函数 的 阶导数的导数称为函数 的 阶导数，记作 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。 相应地， 称为零阶导数； 称为一阶导数。 2高阶导数求法举例 （1）、由高阶导数的定义逐步求高阶导数。 例 1 求函数的 二阶导数。= sin的 解 = sin+ cos= (sin+cos )= (sin+cos )+ (cossin)=2 cos 例 2 设 ，求 。 解 若 为自然数 ，则 ， . 注意：求 n 阶导数时，求出 1-3 或
29、 4 阶后，不要急于合并，分析结果的规律性，写出 n阶导数。(数学归纳法证明) 例 3 设 ，求 。 解 例 4 设 ，求 。 解 同理可得 例 5 设 (a，b 为常数)，求 。 解 （ 2.）高阶导数的运算法则： 设函数 和 具有 阶导数，则 1) 2) 3、利用 求高阶导数Mathemic在 中，求 阶导数的语句格式为 (2)D 函数表达式，求导变量，n 例 1 求函数 的十阶导数。 ( )=解 1:= ,10 1= 解方程，得 。 10=例 2 求 的二阶导数。=(1+ 2)tan 解 (1+x 2)2:= , ,2 2OutArcTanxx例 3 求 的六阶导数。1y解 In:=D,62x7408Out3(1)例 4 求 的三阶导数。=2 2+ln
