1、- 1 -第二章一元函数微分学（30 学时）微积分学包括微分学与积分学两大组成部分。 微分学中最重要的两个概念就是导数与微分。导数，从本质上看，它是一类特殊形式的极限，它是函数变化率的度量，它是刻画函数对于自变量变化的快慢程度的数学抽象。 微分，它是函数增量的线性主部， 它是函数增量的近似表示。 微分与导数密切相关， 这两个函数之间存在着等价关系。导数与微分都有实际背景，都可以给出几何解释，因而它们都会有广泛的实际应用。它们在解决几何问题，寻求函数的极值与最值，以及寻求方程的近似根等问题中有重要作用。本章分两部分，第一部分在深入研究导数概念的基础上，讨论函数求导的基本公式，以及函数求导的运算法
2、则。相应地，将推出函数微分的基本公式与运算法则，同时，还将介绍可导与连续的关系，高阶导数、隐函数、由参数方程决定的函数的导数的概念及计算方法。第二部分首先建立导数应用的理论基础微分中值定理，然后相继讨论导数的一些重要应用：函数的多项式逼近（泰勒公式） 、求未定式的极限的一种方法（洛必达法则） 、函数单调性和凹凸性的研究、函数图形的描绘、函数的极值和最值的求法、某些函数恒等式或不等式的证明以及曲率的计算等等。 具体的要求如下：1理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。2会用导数描述一些物理量。3掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数
3、的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。4了解高阶导数的概念。5掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。6会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。7理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日（Lagrange）定理。8了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。9理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。10. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描述函数的图形（包括水平和铅直渐近线） 。11. 会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。12. 会用洛必达（LHospital）法则求不定式的极限。13. 了解曲率和曲率半径的概念
4、并会计算曲率和曲率半径。14. 了解求方程近似解的二分法和切线法。2-1 导数的概念一、导数概念的引入- 2 -问题：瞬时速度问题。直线运动方程 s=s(t)时间间隔的平均速度t0 0)(tsv时刻的瞬时速度0t 00)(lim)(0ttt问题：曲线切线的斜率。 )(xfyNMkMtan0000TyoM0y=f(x)x0 M x0+xNxffkkxTMM )(limtanlim0000二、导数的定义定义 1：设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量在 取得增量 时，)(fy0 0xx相应地函数 y 取得的增量 ，若极限 存在，则称函数)(0xfxyx0lim在点 处可导，称这个极限为 在点
5、处的导数，记为)(xf0 y， ， ，0|xy0|xd0|)(xf即 0 )()limlixxffx- 3 -定义 2（导函数） xffxf)(lim)(0导函数 导数（值）0|)f2-2 求导法则一、函数的线性组合、积、商的求导法则1若 ，则 为常数)()(xvuxf)()( xvuf,2若 ，则 x推广： )(vwvw3若 ， ，)(xuf02)()()( xvuxf例 1求下列函数的导数（1） ；87324y（2） ；xx（3） ；)cos4sin(ey（4） ，求 ；ttc3|td例 2设 ，求 y；xyan例 3设 ，求 y；sec二、反函数的导数在 单调、连续 反函数 在 单调、连
6、续。)(yxI)(xfyI，0)(xff y1)(1yf例 4求反正弦函数 的导数。yarcsin解 是 （ ）的反函数，xyarcsin2y0oi21cossin1)(arci xyxy- 4 -类似地 21)(arcosx例 5求反函数 的导数。yrtan解 221sect)(arctnxyx类似地 2ox例 6求对数函数 （ ）的导数yalg,0解 ，特别地xxyya ln1l)(1(log x1ln三、复合函数的导数，)(ufy)()(ufx， ，v)(dxvuyd例 7求下列复合函数的导数（1） ；xy2sin（2） ；（3） ；43)7(xy（4） 。29例 8求下列函数的导数（1
7、） ，求 f(1)；xefsin)(（2） ；y4coi（3） ；)lnsil(xx（4） ；y例 9冥指函数的求导法， ，xxsin )(ln)(xuvxveuy比如 ，求 y。234)(1y- 5 -四、高阶导数设 ， ， ，)(xfy)(xfdy)(2xfdy)()( xfdynn例 10求 的 n 阶导数；xe例 11求 （n 为正整数）的 n 阶导数，n+1 阶导数，并求 ， ；y 0)(|xny1)(|xn例 12求 的 n 阶导数；xsi例 13证明函数 满足关系式 ；2y013y例 14设 f 二阶可导，求 或 的一阶、二)(xfxef22)(sin)(ixff阶导数；例 15
8、设 f 二阶可导，求 的二阶导数。)(3fy复习 P.99-112习题 2-2（P.112 ）2（3） （7） （9） （12） （13） （14） ，3，4，5，6（1）（8） （11）（13）（15） （18）（20） （22） （23） ，7，8（1） （3） ，9，10（2） （5） （6） ，122-3 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数方程 函数隐 函 数显 函 数（显化）013yx31xy（不能显化，或很难显化）5sin45y )(例 1 求由方程 所确定的隐函数 的导数 ；exyxydy例 2 求由方程 所确定的隐函数 y 在 x=0 处的导数 ；753s
9、ix 0|x例 3 求由方程 确定的曲线在点(0,0)处的切线方程；yxcos)n(2例 4 求由方程 确定的隐函数 y 的二阶导数 y。164二、由参数方程确定的函数的导数表示圆)(tyxsincoryx- 6 -)(/txydtxytdxy)(1)()()( 22 ttxtdxy dty例 5抛射体运动的参数方程 ，求时刻 t 的运动速度 ；221gtvyx v解 ， ，1vxtgtyt2 221)( gtvxtt 且 的方向： 12angvydt例 6求摆线方程 所确定的函数的二阶导数。)cos1(intyx三、相关变化率， ，且 x 与 y 之间存在联系，从而 ， 之间也存在一定关系。
10、)(tx)(t dtxy复习 P.114-121习题 2-3（P.123 ）1，2，3（1） （4） ，5，62-4 函数的微分一、微分的定义引入：边长为 的正方形全导法加热，问薄板面积改变了多少？0x定义：设函数 在 的某个邻域内有定义，当自变量在 处取得增量 时，)(fy0 0xx如果函数的增量 可以表示为)(xfx)(xAy其中 A 是与 有关而与 无关的常数， 是比 高阶的无穷小量，则函数0xx在点 处可微， 称为微分，即)(fy- 7 -xAdy定理：函数 在点 处可微的定义的充分必要条件是函数 在点 处)(xfy0 )(xfy0可导。证：若可微， ， )(AxAy)(Af)(0若可
11、导， ， ，lim00xfyx 0fxy可导 可微 连续 极限存在二、微分公式与运算法则微分形式不变性： )(),(),(),( xfdxyfyxufy 故 udu 令例 1求函数 的微分；xy2ln1例 2填空：（1）d( )=xdx (2) d( )= (3) d( )= (4) d( )=cosxd22xd)0(td三、微分的意义与应用 yxfdyff )( )()()(000微分任何意义如图所示。，dyFQ)(xM由 ，ffxf )(000 x)(令 ， ，则有x00x)()(00xfff 特别地，当 ， 很小时，有0xx例 3证明如下一次近似式：（1） ；（2） ；e1x)1ln(证
12、：（1）令 ， ，当 x=0 时，f (0)=1,f(0)=1，xef)(f)(- 8 -由 ，即 ；xfxf)0()(xf1)(xex1（2）令 ， ，当 x=0 时，f(0)=0,f(0)=1，1ln由 ，即 。xfxf)()( xf)(x)ln(复习 P.124-133习题 2-4（P.133 ）1，2，4，5，62-5 微分中值定理引理（费马定理）：设函数 在点 的某邻域 内有定义，且在 处可)(xfy0)(0xU0x导，若 ，有)(0xU（或 ）)(0xff)(0xff则 定理 1（罗尔中值定理）：设函数 满足：（1）在闭区间a,b上连续；（2）)(xfy在开区间（a,b ）内可导；
13、（3）f(a)=f(b)。则在（a,b）内至少存在一点 ，使得（ ） 。0)(f),(ba定理 2（拉格朗日中值定理）：设函数 满足：（ 1）在闭区间a,b 上连续；)(xfy（2）在开区间（a,b）内可导。则在（a,b）内至少存在一点 ，使得，abff)()(，)()(abfafb),(b推论：在区间 I 内，若 ，则 f(x)=C。0xf定理 3（柯西中值定理）：设函数 f(x)，g(x)满足如下条件：（1） 在闭区间a,b上连续；（2） 在开区间（a,b）内可导；（3） 在开区间（a,b）内 。0)(xg则在（a,b）内至少存在一点 ，使得- 9 -（ ）)()(gfabgfba柯西定理
14、 拉格朗日定理 罗尔定理 x)( )(f例 1 证明当 x0 时， 。x)1ln例 2 证明：当 时， 。x0cosi例 3 证明 （ ） 。2arcosrsin1x证：令 ， ，xxfi)( 0)( 22xf由推论知 f(x)=常数！再由 ，故 。2)0(f arcosrsinx例 4 若方程 有一个正根 ，0110 axann 0x证明方程 必有一个小于 的正根。)(21n证明：令 ，在闭区间 上满足罗尔定理的三个xxxf nn110)( ,0x条件，故 )1210)( nnn axaxf01 a上式表明 （ ）即为方程 的根。x0x110 xxnn复习 P.134-140习题 2-5（P
15、.140 ）2，3，4，5，7，92-6 泰勒公式xfdy)(0)()(00xfxff nnn aaaPxf )( 2201 要求 （k=0,1,2,n）()()0xfk- 10 -易得： ， ， ，)(0xfa)(01xfa)(!210xfa)(!10xfnannP)( )(2定理 1（泰勒中值定理）：如果函数 f(x)在含 的某个开区间（a,b）内具有直到0x（n+1）阶导数，即 ，则对于 ，有),(1baDfn),(ba)()(!1!2)( 0)(2000 xRxfnxfxxf n其中 ， 在 与 x 之间。10)1()!nnnfR0例 1 求出函数 的 n 阶麦克劳林公式；xef)(解
16、： ， ，xfxf )()(xnef)(110，00)(n由 1)1()(2 !)()( nnnxfxfxffxf得 （ ）)1(2!1!1nxnx ee0，nx x!2 11)!()!() nxnxeR当 x=1 时， ，!1!1ex )!(3)!(en例 2 求出函数 的 n 阶麦克劳林公式；xfsi)(解： （ ）2)( xfn,10，时当 时当 ,)1(0)( mfn ,2于是，有 )()!1(!715!3si 2xRxmxx m（ ）122)!2(in)( mmxxR0- 11 -当 m=1 时， ， 。xsin6!3)2sin()( 32 xxR定理 2：如果函数 在含有 的开区间
17、（a,b）内具有直到 n 阶的导数，且)(f0在（a,b ）内连续，则 在（a,b）内有 n 阶带皮亚诺余项的泰勒公式。)(xfn x )()(!)(!2)()( 000)(20000 nnn xxfxffff 证：由定理 1，有 的（n-1 ）阶泰勒公式：xf nnn xfxfxfffxf )(!)()!1)(!2)()( 0)(100(20000 由条件， 在 可导，则在点 处连续，故当 时， ，)(fn0x0x00)(ffnn因而有 ， （ 是当 的无穷小量）)()(fn 0于是有： nnn xxfxfxfxf )(!)()!1)(!2)()( 010(2000 ，它是比 高阶的无穷小，
18、记为nnR!0n0 0n练习：1 设 ，求 y；tyx6arc32 计算下列各题：（1） 设 f(x)=25，求 ；)(xf（2） 设 ，求 ；x1)(（3） 设 ， ，求 ， ；farcsinx)()(xf)(f3 设 （x1） ，求 y；xyln)(4 设曲线方程为 ，求此曲线在纵坐标为 y=0 的点处的切线方程；32yey5 证明：当 x0 时， ；xxarctn- 12 -6 证明：方程 （a,b0）至少有一个正根，并且它不超过 a+b；bxasin复习 P.138-149习题 2-6（P.149 ）2（1） （3） ，3，5。2-7 洛必达法则定理 1：设 f(x),g(x)在点 的
19、某去心邻域内可导，且 并满足条件：0x0)(xg（1） ， ；)(lim0x )(li0gx（2）极限 存在或为 。)(li0fx则： )(lim)(li00xgfxf证明：补充定义：在 与 x 为端点的闭区间上， ， ，f(x),g(x)满0 f0)(x足柯西定理的三个条件，故（ 介于 与 x 之间）)()(0gfxgfxf0故有 )(lim)(li)(lim000 gfffxxx 例 1求下列极限（1） ； （2） ；123li1xx xx1arctnli（3） （ ，n 为正整数） ； （4） ；xnelim0)1ln(2taimx例 2求下列极限（1） （n0） ；nxli0（2） ；
20、)ta(sec2x- 13 -（3） ；210)sin(colimxx例 3求 ；xil2例 4 ；cosi例 5验证极限 存在，但不能用洛必达法则得出。xxin1lm20复习 P.149-154习题 2-7（P.154 ）1（3） （5） （6） （8）（11） （13） （14） ，4，5习题课参考习题一、计算下列各题：1设 ，求 ；25)(xf)(xf2设 ，求 ；13设 （x0） ，求 ；xyarcsindxy4设 ， ，求 ， ；i)()(f)(xf二、设 ，求 ；tyx6arcn32dxy三、求由方程 确定的曲线在 x=1 处的切线方程与法线方程；yx2四、设 f(x)和 g(x)
21、在a,b上连续，在（a,b）内可导，且 f(a)=f(b)。证明： 在（a,b）内有根；0)()( xgff五、设 f(x)在0,a上连续，在（0,a）内可导，且 f(a)=0。证明：存在一点 ，使得),(a0)(ff六、设 f”存在，求 的一阶、二阶导数；)(xfxefy七、设 f存在，求 的一阶导数；arctn2- 14 -八、证明：当 x0 时， 。xxarctn32-8 函数单调性与凸性的判别法一、函数单调性的判别法从直观观察可得到结果；用拉氏中值定理可证明结果； 函数单调性的判别法：设函数 ，且,baf),(baDf（1）若 ，有 ，则 f(x)在a,b 上单调增加；),(bax0)
22、(x（2）若 ，有 ，则 f(x)在a,b 上单调减少。f例 1判定下列函数在指定区间上的单调性：（1） ，0, ；xfsin)(2（2） ， （ ，+ ） ；1eyx例 2确定函数 的单调区间；32)5()xf例 3证明：当 x1 时， ；1二、函数的凸性及其判别法函数的凸性在近代分析与优化两大领域中具有重要作用。设函数 的图形如右，曲线是凹的。)(xfy（ ） ，其中任一点为 （ ） ，弦 AB 的方程21,2121)(xx10为 )()(2122xfffy)(2ff定义（凸函数）：设函数 f(x)在区间 I 内有定义， （ ） ，且对任一Ix1,21x，总有)1,0(- 15 -)()(
23、1)1( 212xffxf 则称函数 f(x)在 I 内是凸的（凸函数） ；反之，为凹的（凹函数）如果 f(x)之在点（ ）改变了凸性，称该点为拐点。)(,0fx函数凸性的判别法 1：设 ，且导函数 f(x)在 I 内单调增加（减少） ，那么函ID数 f(x)在 I 内是凸（凹）的。函数凸性的判别法 2：设 ， ，若 f(x)0，则函数 f(x)在 I 内是)(2IxfIx凸的，其图形在 I 内是凹的！例 4讨论下列函数的凸性： （1） ； （2） ；3y3xy例 5讨论函数 的凸性。32)5()xxf解：定义域：（ ） ，, 3310)5( xxf 332323 91)(110)( xxxf
24、 当 x=0 时，f(x) 不存在，f”(x)不存在；当 时，f”(x)=0。列表讨论：X )21,()0,21(0 （0，1） 1 ),(f(x) + + + 不存在- 0 +f”(x) - 0 + 不存在+ + +f(x) 拐点 极值例 6讨论函数 的凸性，当 时，a,b 为任意的实数，xyln10证明： baba)1(1解：（1） ， ，在定义域（0，+ ）内，y”=0，故 y=lnx 是凹函xy 2“数（图形是凸的）（2）由凹函数的定义 )1ln(ln)1( baba)ln(ln)1( babaee)l()l(1e- 16 -证毕。复习 P.155-164习题 2-8（P.164 ）1
25、，2（1） （3） （4） ，3（1） （4） ，5（2） （6） ，6，72-9 函数的极值与最值一、函数的极值及其求法极值 ，最值极 小 值 点极 小 值 极 大 值 点极 大 值 最 小 值 点最 小 值 最 大 值 点最 大 值 可疑极值点 不 可 导 点驻 点定理 1（第一充分条件）：设函数 f(x)在点 处连续，在点 的某去心邻域可导。0x0x1若点 的左右两侧，导数变号，则点 为极值点；0x2若点 的左右两侧，导数不变号，则点 不是极值点。0x进一步，导数从+变为， 为极大值点；从变为+ 为极小值点。0x例 1求函数 的极值；32)5(y例 2求函数 的极值；42x解： )323
26、(2)6()3() 24432 xxxxf 2416令 f(x)=0，驻点为 x=0,x=1,x=-1。例 3求函数 的极值。593)(2xxf二、最大值与最小值问题例 4求函数 在1，3 上的最大值、最小值；)1()(efx解：由例 3 知 f(-1)=10，f(3)=-22 ，再求出 f(-2)=3，f(4)=-15，比较可得出最大值与最小- 17 -值。例 5AB=100km，AC=20km 且 ，选择点 D，公路与铁路运费之比为 3:5，ABC使运费最省，D 去何处？ 解： （ ）)10(340532xkxkDCky 10令 y=0，得 x=15（唯一驻点）)40(2x且 ， ，kyx
27、|0kyx380|152510|1kyx例 6已知平面曲线 L 的方程为 ，考虑把 L 围在内部且各边平行于坐)(2标轴的矩形，试求这些矩形的面积的最小值；解：虽然，L 通过原点（0，0） ，关于 x 轴对称，且位于右半平面（ ）上，易求0x出 L 与 x 轴的另一个交点为 x=2，即（2，0） 。为求把 L 围在内部，且各边平行于坐标轴的矩形面积的最小值，可转化为求函数（ ）28y0x的最大值。令 ，得 （驻点唯一）最大值点0y312x（最大值）62431|3xy于是所求矩形一边长的最小值为 2，另一边长最小值为 ，故矩形面积的啊6432y小值为 6min432S复习 P.166-174习题
28、 2-9（P.174 ）1（1） （3） （6） ，2，3，4（1） （4） ，6，7，92-10 曲线的曲率一、曲率的概念1 ，切线转过角度 ；2M，切线转过角度 ；3， 比较平直， 比较弯曲。2132M- 18 -2 ， 切线转角均为 ，但一个弧长，一个弧短，长者比较平直。21M21N3平均曲率平面光滑曲线 C： ， 为变量的基点，记 ，点 处切线倾角为100 10MS1，而 ，点 处切线倾角为 ，S202KSKMM1212limli)(处设 ， 二阶可导，由导数任何意义：)(xfyf tany即 ， ，则tanddxyrctan2)(1dx另一方面 2202200 1)(lim)(lim
29、li yxxyxSx故有 2320 )1(“lili12 yxSkM例 1计算抛物线 上任意一点处的曲率，并且求出曲率最大处的位置；cbaxy2解： ， ， ，k 最大，分母最小，y2“23)(1bak故 2ax+b=0， 顶点处曲率最大。abx习题课一、求 在 上的最大值和最小值；xfln)(14二、确定函数 的单调区间；y2cos三、求曲线 的凹凸区间；x2四、证明不等式： ；e- 19 -证： ，比较 与 ，只要比较 与 即可。lnlneelnelne令 ， ， 时，f(x)0，由于xxf)(xf1)( 2且 ，lne0ef又 （e1）单增，故xyln得 。e五、证明不等式：当 时， ；201x12tanx证：令 ， ，xftan)(2sec)(xf为证明 f(x)0，引入辅助函数 xtan0sec2)( x且 ，故0)(0)(x)1ff即可证得。六、求曲线 在 处的曲率半径 R；y12七、设 f(x)在 可导，且对于一切 x，有 证明：曲线x 0)(3xff与 ox 轴的交点最多只有一个；)(xfy八、设 f(x)和 g(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：f(x)g(x)+f(x)g(x)=0 在（a,b）内有解。复习：本章习题 2-10（P.182 ）1（2） （4） ，2
