1、第四章 随机变量的数字特征注意： 这是第一稿（存在一些错误）1、 解 每次抽到正品的概率为： ，放回抽取，抽取 次，抽到正品的平均次数为：NMnNnM2、方案一：平均年薪为 3 万方案二：记年薪为 X，则 ，(1.2)0p(4.2)08pX1.04.286E故应采用方案二3 、解 由于： 20201()ln()|()xxfddx所以 的数学期望不存在。X4、 ， ， ， ，128p134pX38pX157pX， ， ，567124。536762142EX5、 解 每次向右移动的概率为 ，到时刻 为止质点向右移动的平均次数，即 的期望pnn为： ()np时刻 质点的位置 的期望为：nS()(1)
2、(21)nESpnp6、不会7 、解 方法 1：由于 ，所以 为非负随机变量。于是有：(0)1PTT0003()() (1)24ttETFtdtded方法二：由于 ，所以，可以求出 T 的概率函数：,()1(2),0ttfte于是 03)()4Ettfdtf8、 ，2200,xxxXffydey0（1） 1xXE（2） 312（3） 。201, 4xxYxyfdyed9解 设棍子上的点是在0,1之间的，Q 点的位置距离端点 0 的长度为 q。设棍子是在 t 点处跌断，t 服从0,1的均匀分布。于是：包含 Q 点的棍子长度为 T，则：，,10min(,)qtTtq1t于是包 Q 点的那一段棍子的
3、平均长度为：11200()()qEdxttdq10、 ，8,9XU:8,9Y:8 3xyfxy小 时即先到的人等待的平均时间为 20 分钟。11、解 (I)每个人化验一次，需要化验 500 次（II）分成 k 组，对每一组进行化验一共化验 次，每组化验为阳性的概率为：50k，若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要 k 次，于是该方法需要化验的10.7次数为：。5(.)kk将（II）的次数减去（I）的次数，得： 501(1.7)50(0.7)k kk于是：当 时，第二种方法检验的次数少一些；当 时，第一种方法检验的10.7k .k次数少一些；当 时，二种方法检验的次数一样多。.0k12、
4、,().teft。88081t teETd13、解 由题意知：， ，21,(,)0xyfxyr在 圆 内， 其 他 值 2,()0Xrxfx， 其 他 值 2,()0Yryf， 其 他 值（1） 计算可得 ()rEYd（2） A 的位置是（x，y） ，距中心位置（ 0，0）的距离是： ，于是所求的平均2xy距离为：22221() 3xyr rEXYdxyr14、 （1） 时， ，a21450nCp1425nCp14253nCE时， ， ，a21520ap1522aCp2215aCp1252215aaCE由 得， 。2430（2） ， ， ，45199pC541099Cp6310599Cp， ，
5、721059981059901599。455463728190101010510505159999996CCEC15、解 22| ,(,)()0YXXrxyrxfxyfy， 其 他 值| 31(,),2()20YXXrrf yrfy， 其 他 值于是： 231(|)0rEYXyd16、记 为进入购物中心的人数， 为购买冷饮的人数，则X1mkkXYmkppCp!kkmke1!mkkmkp0!e10!kpmpme!kpe故购买冷饮的顾客人数服从参数为 的泊松分布，易知期望为 。p17、解：由题意知 ，其中 。于是1()PXk0,12k(,)0,PYki()|),01,1iYkiik从而 00(),
6、ki iPXi于是：10()7.5kiEYi又11)()kiPZk从而101()()3.2()kiEi18、 .222211551544460333aaaCCD19、解 10 ()() ,()akkxkEXxed2112 20 0 ()(1)()()()aax xDed 20、 ，EXfd221xe2221xDXEXed21、解 (1)设 p 表示从产品取到非正品的概率，于是有：，(198%)*0.7(190).*(74%)0.6用 X 表示产品中非正品数， X 服从二项分布 B(100，0.06)，有：10()().6kEP（参考 77 页的例 4.2.5）5.4Dp（3） 用 Y 表示在该
7、条件下正品数， Y 服从二项分布 B(100,0.98)，于是()10.98E(0.)1.96X22、 12ppY（1） 1,0YXYpXY011pXpp34（2） 0 11001YEYpXY 1pX22111YYYDXEEX0 12 2001ppXY11XY223、解 证明： 22222222()()()()(),()()()()()DXYEYEXYXDD由 于 相 互 独 立=24、 2,0,.xXef4,0,.yYef21,0.xXF41,0.yYFy（1） min,Z61,0,11.zZ XYezpzzz故 服从参数为 的指数分布，故 ， 。故 。66EZ3D1DZCvE（2） max
8、,ZXY241,0,0,.zzZ YeFzpzFz，0712ZEd，204931ZDzd故 。37CvE（3) ，ZXY， ，34EZXY516DZXY5Cv25、解（1）由相关系数的定义，得：，其中(,)XoXD(,)()()CovXEXE通过计算得 ，即 ，从而说明 是不相关的。(,)0Cv0,（2）很显然， 不是相互独立的。X与26、(1) ，1,2Xfxfydx， ，()0E2213DEd同理 ，,Yfyfxyy，()13 1 1cov,()()49XEXYxydxy，故 和 正相关。,13YD又 ，故 和 不独立。(,)XYfxyfyY（2） 12222 21cov,()()()()
9、 049EEXDYxyxdy故 ，即 和 不相关。0Y又 22, ,XYFxypxy,XYyyxftvdx所以 ，故 和 相互独立。2, 11()4XYf mnyy2XY27、解（1）由题意得：()(1)346612EA，sinisini(cos)cos612EA结合已知条件，可求出： ，4由于 A 和 B 是独立同分布的，于是（A,B）的联合分布律为：A B P(A=i)361/16 1/8 1/16 1/41/8 1/4 1/8 1/241/16 1/8 1/16 1/46（2） 2(sin)i()(sinco)(sin)31co0.968ECBAEBA（3） ，其中(,)ACvD(,)(
10、,)(,)ov(,)(,)()ovABCovABCovAD)2D所以： ，说明 A 和 C 是负相关的。(,1)ACovD28（1）不会写（2） 111cov,cov,cov,nni ji jiijXxXXDn（3） 011,nkkkijijST01,nkijij0 001 1 1cov,cov,cov,nk nkkij ij ijij inj ijXXX ，001kiinD，1kiiDSX，01nkjjT。0cov,kSnD29.解 （1）证明：由于 X 和 Y 相互独立，于是由题意得()()EYE22 2()()()4(1)1)DEYXp从而有 (0,1)N（2） 222(,)(,)(,)
11、()()() 21XCovovXCvYEXYDEYEp当 时， 和 是不相关的；当 ，即 时，说明 和 是正相关的1p0XC当 ，即 时，说明 和 是负相关的20XC显然， 和 是 不独立的30 （1） ，2, 05pYpXp，10,1X，0，1, 15pYpXp， ， ， ，305X21530Y215pY，故 和 不独立。,0X（2） cov()()YEX,0,1,0pYpYpXY11,125pXYpXY故 和 正相关。XY31、解 （1）泊松分布的表示式为： ，于是通过计算有：(),0,!keP()1PXk故：,1(),kk当当当因此若 为正整数，则众数为 和 -1；当 不为正整数时，则众
12、数为 的整数部分 。 32 （1）由 知， 和 不相关，等价于 和 相互独立。0XYXY，,XN:1,4:， ，EabEaba， ，222DY2224DYXb和 分别为 和 的标准化变量。24ab 24abcov,c,XY2ovcov,c,XY5abDab22cov,4（2) 时， ，1, 1XYDY，Eab22 2cov,4abaXYab则 24DCv（3）因 ，aYbEXa22 2cov,4DYbaYab2,4Naba:故定义知 的中位数为 ，众数为 。（4） 2cov(,)cov, 2XYabDYab故 或 时， 和 不相关。bab又正态分布的独立性与相关性相同，故 或 时， 和 独立且
13、不相关，否则不独立且相关。233、解 （1）由题意可知：，说明 1(),()0DXE1(0,)XN，说明 1 26，说明 33()4,()3(,4)（2）对于二维正态而言，两变量不相关等价于两变量独立。由于 ，所以 与 相关且不独立 12(,)0CovX1X2由于 ，所以 与 相关且不独立33由于 ，所以 与 不相关且独立2(,)v32从而（由 88 页性质 4）可以判断出 ， 与 不相互独立1X3（3）计算有 ，112()0EY21()EYX1 1212(,),(,(,)3CovvXCovovCovX21231313()(),)0X11(,),(,(,)7vYovvvv于是 ，其中 ，12,(,)N0107
